4. Показатели вариации

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные абсолютные и относительные показатели (меры) вариаций в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение, квартильное отклонение.

Изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с группировками, в частности, с рядами распределения.

Размах вариации является наиболее простым измерителем вариаций признака. Он представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

Средне линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

, где X_i - i-й вариант признака, - вес i-го варианта, n - объем совокупности.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной соответственно:

и .

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:

1. дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится ;

3. если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз(k раз), то дисперсия уменьшится в k² раз .

Среднеквадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.

- не взвешенное,

- взвешенное.

Для характеристики вариации признаков в совокупности можно применить так называемое квартильное отклонение. Этот показатель также можно применить вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений.

q = (Q₃ – Q₁) / 2;

Наряду с абсолютными показателями существуют и относительные, которые получают из абсолютных путем деления на .

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Относительное квартильное отклонение

Момент распределения

Порядок	Начальный	Центральный	Условный
1
2
          

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель A_S:

.

При нормальном распределении коэффициент асимметрии равен 0. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной.

Может быть также рассчитан показатель эксцесса (островершинности):

.

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении и показатель эксцесса равен 0.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом бывает часто необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии при использовании аналитической группировкой.

Межгрупповая дисперсия , гденомер группы, ачисло единиц вгруппе. Межгрупповая дисперсия характеризует вариации результативного признаказа счет факторного признака.

Внутригрупповая дисперсия - характеризует вариацию внутри группы.

Между дисперсиями существует связь - правило сложения дисперсий , где- общая дисперсия, а- средняя из внутри групповых:

; .

Для оценки тесноты связи между результативным (y) и факторным (х) признаками используется эмпирическое корреляционное отношение , а также коэффициент детерминации, который показывает какая часть вариации, вызвано вариацией. Если данный коэффициент равен нулю, то результативные и факторные признаки не связаны между собой, если же равен единице, то между ними существует функциональная зависимость.