Свойство 7.7 (СВ7.7).

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

В (7.11) и (7.12) λAi и λBj - собственные значения соответственно

матриц А и В.

Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ7.2) и (СВ7.3). Примечание 7.5(П7.5). Алгебраические спектры собственных

значений кронекеровских произведений A B и B A в силу ( 7.11) совпадают, аналогичным свойством в силу (7.12) обладают и спектры

кронекеровских сумм A B и B A.
Свойство	7.4(СВ7.4).	Определитель	кронекеровского
произведения квадратных матриц удовлетворяет соотношению
det(A B) = (det A)m (det B)n ,			(7.13)

где A Rn×n и B Rm×m .

Свойство 7.5(СВ7.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению

tr(A B) = m trA + n trB ,

(7.14)

где A Rn×n и B Rm×m .

Свойство 7.6 (СВ7.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию:

rang(A B) = rangA rangB ,

(7.15)

где A Rn×n и B Rm×m .

Приведем без доказательств полезные свойства кронекеровских

произведений	произвольных матриц, в справедливости	которых

читатель может убедиться самостоятельно.
Свойство 7.7 (СВ7.7).		Отформатировано: Уровень 1
(P Q)(W V ) = PW QV .		(7.16)
Свойство 7.8 (СВ7.8).		Отформатировано: Уровень 1
(P + Q) R = P R + Q R ,		(7.17)
P (Q + R) = P Q + P R ,		(7.18)
P (Q R) = (P Q) R .		(7.19)
В (7.16) – (7.19) матрицы P, Q, R, W, V не должны противоречить
правилам перемножения и сложения матриц.
Свойство 7.9(СВ7.9).		Отформатировано: Уровень 1
P Q = (P IQ )(I P Q) ,		(7.20)
(P1 Q1)(P2 Q2 ) (PR QK ) = (P1P2 PK ) (Q1Q2 QK ) (7.21)
(P Q)−1 = P−1 Q−1		(7.22)
I (P1P2 PK ) = (I P1 P1)(I P2 P2 ) (I PK PK ).		(7.23)

В выражениях (7.20) – (7.23) I(*) – единичная матрица по размерности согласованная с матрицей (*).

Свойство 7.10 (СВ7.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения S удовлетворяет соотношению

S(PX QZ) = S(P Q)(X Z) .

(7.24)

7.2. Псевдообращение и псевдообратные матрицы

Псевдообращение матрицы - это процедура обращения

в силу того, что она либо

необратимой, то есть особенной матрицы

Отформатировано: Шрифт: курсив

является прямоугольной, либоили ,

будучи

квадратной,

имеет

неполный ранг

, или в силу того,

что

она

прямоугольная

Псевдообращение матриц - достаточно относительно недавно

аппарата линейной алгебры.

разработаннаямолодая процедура

Разработка ее

связана с такими именами зарубежных математиков как

Фредгольм Э.И., Мур Э.Х., Пенроуз Р., Альберт А. и советских

математиков как Гантмахер Ф.Р., Беклемишев Д.В. и других.

В данном параграфе рассматривается процедура псевдообращения

прямоугольных матриц. Для погружение погружения в проблему,

вынесенную в заголовок параграфа, рассмотрим линейную

алгебраическую систему (ЛАС), описывающую процесс отображения

элемента x арифметического линейного пространства X n в элемент y

арифметического линейного пространства Y m ,

записываемую в виде

векторно–матричного соотношения

y = Ax .

(7.25)

В (7.25) A–(m ×n)– матрица, при этом m ≠ n так,

что матрица A -

прямоугольная. Ставится задача при

известной паре (y, A)

найти

вектор x при условии, что матрица A – необратима, то есть не

существует A−1.

Для решения поставленной задачи представим ЛАС (7.25) в развернутой форме

y = Ax = [A

A ] x2

A x .,

(7.26)

∑

i=1

Таким образом, вектор y есть

линейная

комбинация из

векторов–

столбцов A (i =

)

матрицы A,

имеющая в качестве коэффициентов

1,n

элементы xi (i =

)

искомого вектора x , при этом задача обращения и

1,n

состоит в поиске этих компонентов. Нетрудно видеть что, если вектор y принадлежит образу матрицы A {y Im(A)}, то поставленная задача

имеет точное решение, но это частный случай. Рассмотрим общий случай, когда выполняется условие y Im(A). Для этого

модифицируем первичную постановку задачи и сформулируем ее как

задачу отыскания такого вектора xˆ:dim(xˆ)= dim(x)= n , который

решает задачу минимизации нормы вектора невязки y представления

заданного вектора y Im(A) в форме (7.26), коэффициентами которого

являются элементы вектора xˆ , и заданного вектора y , что записывается

в виде

= argmin{

(y − Ax)

xˆ

(7.27)

Соотношение (7.27) позволяет сформулировать содержательное

определение псевдообратной матрицы.

матрицей A+

Определение

7.5(О7.5). Псевдообратной

для

(m ×n)

матрицы A называется (n ×m)

матрица, связывающая векторы

xˆ и y векторно–матричным соотношением

xˆ = A+ y.

(7.28)

Примечание

7.6(П7.6). Если

m = n и

dim{Im(A)}= n ,

то

(y − Ax)

= 0, xˆ

= x, A

= A

−1

Формальное определение псевдообратной матрицы A+ таково.						(m ×n)
Определение 7.6 (О7.6). Псевдообратной матрицей для
матрицы			A называется (n ×m)–матрица A+ , удовлетворяющая
следующей системе условий:
1.AA+ A = A;
2.A+ AA+			= A+;

						(7.29)
3.(AA+ )T			= AA+;

4. (A	+	T		+
		A)	= A		A;

Примечание 7.7(П7.7). Нетрудно видеть, что если матрица A обратима и существует A−1, то соотношения (7.29) выполняются, если

в них A+ заменить на A−1. Свойства псевдообращения:

1. Псевдообращение псевдообратимо: (A+ )+ = A;

2.Псевдообращение и транспонирование коммутативно: (AT )+ = (A+ )T ; 3.Псевдообращение произведения скаляра на матрицу производится по правилу: (αA)+ = α−1A+;

4.(AA+ )2 = AA+, (A+ A)2 = A+ A;

5.Псевдообращение произведения матриц производится по правилу:

(AB)+ = B+ A+ ,

если у матрицы A являются линейно независимыми столбцы, а у матрицы B являются линейно независимыми строки.

Рассмотрим способы псевдообращения прямоугольной (m ×n)

матрицы A.

Первый способ применим для особого случая, когда m > n и столбцы матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда столбцовый

Отформатировано: Уровень 1

ранг матрицы удовлетворяет условию rang(A)= n . Суть первого

способа представим в виде утверждения.

Утверждение 7.1(У7.1). Если прямоугольная (m ×n) матрица A

такова, что	m > n	и столбцы матрицы	A	являются		линейно
независимыми, то псевдообратная матрица			A+	для матрицы			A
задается формулой
A+ = (AT A)−1 AT .						(7.30)
Доказательство утверждения строится на использовании ЛАС
(7.25), которую необходимо умножить слева на матрицу						AT ,	в
результате чего получим соотношение
AT y = AT Ax .						(7.31)
В силу линейной независимости столбцов			матрицы		A	(n ×n)–
квадратная	матрица	AT A оказывается обратимой, что			позволяет
разрешить ЛАС (7.31) относительно искомого вектора x в форме
x = (AT A)−1 AT y,						(7.32)
откуда следует справедливость утверждения.							■

Примечание 7.8(П7.8). Применительная область первого способа псевдообращения в основном касается задач оценки параметров линейных моделей по экспериментальным данным, когда объем экспериментальных данных заметно превосходит число оцениваемых параметров. Проиллюстрируем эту ситуацию примером. В таблице 7.1 приведены экспериментальные данные некоторой зависимости двух переменных η и ρ, априори была высказана

гипотеза об их линейной связи в форме
η = α0 + α1ρ.	(7.33)
Ставится задача сформировать оценки αˆ 0	и αˆ1 параметров α0 и α1

линейной модели (7.33) по экспериментальным данным.

Таблица 7.1 Отформатировано: Уровень 1

i	1	2	3	4	5	6
ηi	0.8	1.2	2.2	2.4	3.1	3.6
ρi	0	1	2	3	4	5

Для построение построения аналитической базы формирования оценок запишем (7.33) в форме

1 α0 + ρ α1 = η,

допускающей представления

[1 ρ]

α0

= η H

α = η ;(i =

(7.34)

1,6

где H

= [1

];α =

α0

Hi и элементу ηi

придать значения из

Если теперь элементам строк

таблицы 7.1 , то получим ЛАС вида (7.25), записанную в форме

η = Hα.	(7.35)
В модели (7.35)	H – (6×2)–информационная необратимая матрица,
η− (6×1)–вектор	измерений. Вектор αˆ оценок параметров модели

(7.33) ищется по схеме (7.28) с помощью псевдообратной матрицы H + , вычисляемой с помощью (7.30), что можно записать в форме цепочки соотношений

αˆ =		H	+η =	(H	T	−1		H	T η					(7.35)
		H		(H		H )		H	.					(7.35)
В (7.35)				1		1	1		1	1	1		2.2 2.4	3.1 3.6],
В (7.35)		HT =				1	2		3	4	;ηT = [0.8 1.2		2.2 2.4	3.1 3.6],
				0		1	2		3	4	5
что позволяет вычислить псевдообратную матрицу
H	+	=	0.5238			0.3810					0.2381	0.0952	- 0.0476	- 0.1905
H		=				− 0.0857					− 0.0286	0.0286	0.0857
			- 0.1429			− 0.0857					− 0.0286	0.0286	0.0857	0.1429
и вектор оценок в форме
(αˆ )T = [0.7952						0.5686].

В итоге модель (7.33) по результатам обработки экспериментальных данных с помощью процедуры псевдообращения получает представление

η = 0.7952 + 0.5686ρ. ■

Второй способ применим также для особого случая, когда m < n и на этот раз строки матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда строчный ранг матрицы удовлетворяет условию rang(A)= m . Тогда по

аналогии с (7.30) для этого случая псевдообратная матрица A+ может быть вычислена с помощью формулы

A+ = AT (AAT )−1.

■(7.36)

Третий способ сформирован для любой реализации отношения

размерностей m ≠ n

т.е. он инвариантен относительно отношения

порядка

(< или >)

Метод

основан

на

представлении

псевдообращаемой (m

×n)

матрицы A в виде произведения матриц

A = BC ,

(7.37)

где B − (m ×k)–матрица с k –линейно независимыми столбцами, а

C − (k ×n)−матрица с k –линейно независимыми строками.	Тогда
псевдообратная матрица A+ строится в соответствии с формулой
A+ = СT (ССT )−1(BT B)−1BT .	(7.38)

Примечание 7.9(П7.9). Если (m ×n)- матрицы матрица A имеет

полный столбцовый ранг так, что k = m, то в (7.37) в качестве матрицы B может быть взята (m ×m)–единичная матрица. В свою очередь, если

(m ×n)- матрицы матрица A имеет полный строчный ранг так, что k = n , то в (7.37) в качестве матрицы C может быть взята (n ×n)–

Отформатировано: Отступ: Первая строка: 0 см

Отформатировано: Уровень 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20162.37 Mб14Магистратура ИТМО.doc
#
02.11.201820.26 Mб34Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб1Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
29.08.201954.19 Кб3МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx

Свойство 7.7 (СВ7.7).

Свойство 7.8 (СВ7.8).

Свойство 7.9(СВ7.9).

1. Псевдообращение псевдообратимо: (A+ )+ = A;

Таблица 7.1 Отформатировано: Уровень 1