- •Н.А. Дударенко, О.С. Нуйя, М.В. Сержантова, О.В. СЛИТА, А.В. Ушаков
- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
- •Введение. Основные проблемы управления
- •Рисунок В.1. Структурная схема современной системы управления
- •Примеры и задачи
- •Решение вариантов задач
- •Решение вариантов задач
- •Свойство 7.7 (СВ7.7).
- •Свойство 7.8 (СВ7.8).
- •Свойство 7.9 (СВ7.9).
- •1. Псевдообращение псевдообратимо:
- •Таблица 7.1
- •Тогда для матричных компонентов формулы (7.39) получим
- •Тогда, следуя формуле (7.36) получим
- •Тогда псевдообратная матрица (7.46) получит представление
- •Тогда следуя формуле (7.50), получим
- •Тогда, используя (7.52), (7.54) получим
- •Проверка условий (7.55)–(7.56), выполняется условие (7.55), тогда
- •Примеры и задачи
- •Решение вариантов задач
- •Теперь составим характеристическое уравнение
- •Свойство 7.7 (СВ7.7).
- •Свойство 7.8 (СВ7.8).
- •Свойство 7.9(СВ7.9).
- •1. Псевдообращение псевдообратимо:
- •Таблица 7.1
- •Тогда для матричных компонентов формулы (7.39) получим
- •Тогда, следуя формуле (7.36) получим
- •Тогда псевдообратная матрица (7.46) получит представление
- •Тогда следуя формуле (7.50), получим
- •Тогда, используя (7.52), (7.54) получим
- •Проверка условий (7.55)–(7.56), выполняется условие (7.55), тогда
- •Примеры и задачи
- •Решение вариантов задач
- •Теперь составим характеристическое уравнение
- •9. МОДЕЛИ «ВХОД–СОСТОЯНИЕ–ВЫХОД» ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
- •Завершая рассмотрение свойств и системных характеристик модельных представлений «вход – состояние – выход» объектов управления, опирающихся на возможности векторно – матричного формализма линейной алгебры сделаем следующее примечание.
- •9. МОДЕЛИ «ВХОД-СОСТОЯНИЕ-ВЫХОД» ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
- •Завершая рассмотрение свойств и системных характеристик модельных представлений «вход – состояние – выход» объектов управления, опирающихся на возможности векторно – матричного формализма линейной алгебры сделаем следующее примечание.
- •Матрицы моделей траекторий чувствительности (13.15):
- •14.1. Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры
- •Определение 14.5 (О14.5). Произведением
- •Определение 14.6 (О14.6). Суммой
- •Определение 14.7 (О14.7). Частным от деления
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 3
- •ИЗ ИСТОРИИ КАФЕДРА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ
В (7.11) и (7.12) λAi и λBj - собственные значения соответственно
матриц А и В.
Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ7.2) и (СВ7.3). Примечание 7.5 (П7.5). Алгебраические спектры собственных
значений кронекеровских произведений A B и B A в силу ( 7.11) совпадают, аналогичным свойством в силу (7.12) обладают и спектры кронекеровских сумм A B и B A.
Свойство |
7.4 |
|
(СВ7.4). |
Определитель |
кронекеровского |
произведения квадратных |
матриц удовлетворяет соотношению |
||||
det(A B) = (det A)m (det B)n , |
|
(7.13) |
где A Rn×n и B Rm×m .
Свойство 7.5 (СВ7.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению
tr(A B) = m trA + n trB , |
(7.14) |
где A Rn×n и B Rm×m .
Свойство 7.6 (СВ7.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию:
rang(A B) = rangA rangB , |
(7.15) |
где A Rn×n и B Rm×m .
Приведем без доказательств полезные свойства кронекеровских
произведений |
|
произвольных матриц, в справедливости |
которых |
||
|
|||||
читатель может убедиться самостоятельно. |
|
||||
Свойство 7.7 (СВ7.7). |
Отформатировано: Уровень 1 |
||||
(P Q)(W V ) = PW QV . |
(7.16) |
||||
Свойство 7.8 (СВ7.8). |
Отформатировано: Уровень 1 |
||||
(P + Q) R = P R + Q R , |
(7.17) |
||||
P (Q + R) = P Q + P R , |
(7.18) |
||||
P (Q R) = (P Q) R . |
(7.19) |
||||
В (7.16) – (7.19) матрицы P, Q, R, W, V не должны противоречить |
|||||
правилам перемножения и сложения матриц. |
|
||||
Свойство 7.9 (СВ7.9). |
Отформатировано: Уровень 1 |
||||
P Q = (P |
|
|
(7.20) |
||
IQ )(I P Q) , |
|||||
(P1 Q1)(P2 Q2 ) (PR QK ) = (P1P2 PK ) (Q1Q2 QK ) (7.21) |
|||||
(P Q)−1 = P−1 Q−1 |
(7.22) |
||||
I (P1P2 PK ) = (I P1 P1)(I P2 P2 ) (I PK PK ). |
(7.23) |
В выражениях (7.20) – (7.23) I(*) – единичная матрица по размерности согласованная с матрицей (*).
Свойство 7.10 (СВ7.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения S удовлетворяет соотношению
S(PX QZ) = S(P Q)(X Z) . |
(7.24) |
101
7.2. Псевдообращение и псевдообратные матрицы |
|
|
|
||||||||||
Псевдообращение матрицы –- это процедура обращения |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
необратимой, то есть особенной матрицы в силу того, что она либо |
Отформатировано: Шрифт: курсив |
||||||||||||
является прямоугольной, либоили , |
будучи |
квадратной, |
имеет |
|
|||||||||
неполный ранг |
, или в силу того, |
|
что |
она |
прямоугольная |
. |
|
||||||
Псевдообращение матриц –- достаточно относительно недавно |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
разработаннаямолодая процедура аппарата линейной алгебры. |
|
||||||||||||
Разработка ее |
связана с такими именами зарубежных математиков как |
|
|||||||||||
Фредгольм Э.И., Мур Э.Х., Пенроуз Р., Альберт А. и советских |
|
||||||||||||
математиков как Гантмахер Ф.Р., Беклемишев Д.В. и других. |
|
|
|
||||||||||
В данном параграфе рассматривается процедура псевдообращения |
|
||||||||||||
прямоугольных матриц. Для погружение погружения в проблему, |
|
||||||||||||
вынесенную в заголовок параграфа, рассмотрим линейную |
|
||||||||||||
алгебраическую систему (ЛАС), описывающую процесс отображения |
|
||||||||||||
элемента x арифметического линейного пространства X n в элемент y |
|
||||||||||||
арифметического линейного пространства Y m , |
записываемую в виде |
|
|||||||||||
векторно–матричного соотношения |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = Ax . |
|
|
|
(7.25) |
|
||||||||
В (7.25) A–(m ×n)– матрица, при этом m ≠ n так, |
что матрица A - |
|
|||||||||||
прямоугольная. Ставится задача при |
известной паре (y, A) |
найти |
|
вектор x при условии, что матрица A – необратима, то есть не
существует A−1.
Для решения поставленной задачи представим ЛАС (7.25) в развернутой форме
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y = Ax = [A |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
A |
|
A ] x2 |
= |
n |
A x ., |
(7.26) |
||||||||
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
∑ |
i |
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Таким образом, вектор y есть |
линейная |
комбинация из |
векторов– |
|||||||||||
столбцов A (i = |
|
|
) |
матрицы A, |
имеющая в качестве коэффициентов |
|||||||||
1,n |
||||||||||||||
элементы xi (i = |
|
) |
искомого вектора x , при этом задача обращения и |
|||||||||||
1,n |
||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоит в поиске этих компонентов. Нетрудно видеть что, если вектор y принадлежит образу матрицы A {y Im(A)}, то поставленная задача
имеет точное решение, но это частный случай. Рассмотрим общий случай, когда выполняется условие y Im(A). Для этого
модифицируем первичную постановку задачи и сформулируем ее как
задачу отыскания такого вектора xˆ:dim(xˆ)= dim(x)= n , который
~
решает задачу минимизации нормы вектора невязки y представления
заданного вектора y Im(A) в форме (7.26), коэффициентами которого
102
являются элементы вектора xˆ , и заданного вектора y , что записывается
в виде |
= argmin{ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
(y − Ax) |
|
}. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xˆ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(7.27) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (7.27) позволяет сформулировать содержательное |
|||||||||||||||||||
определение псевдообратной матрицы. |
матрицей A+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
7.5(О7.5). Псевдообратной |
для |
||||||||||||||||
(m ×n) |
матрицы A называется (n ×m) |
матрица, связывающая векторы |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
xˆ и y векторно–матричным соотношением |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xˆ = A+ y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.28) |
|||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Примечание |
|
7.6(П7.6). Если |
m = n и |
dim{Im(A)}= n , |
то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(y − Ax) |
|
= 0, xˆ |
|
= x, A |
+ |
= A |
−1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Формальное определение псевдообратной матрицы A+ таково. |
(m ×n) |
||||||
Определение 7.6 (О7.6). Псевдообратной матрицей для |
|||||||
матрицы |
A называется (n ×m)–матрица A+ , удовлетворяющая |
||||||
следующей системе условий: |
|
||||||
1.AA+ A = A; |
|
|
|
|
|||
2.A+ AA+ |
= A+; |
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.29) |
3.(AA+ )T |
= AA+; |
|
|||||
|
|
||||||
4. (A |
+ |
T |
|
+ |
|
|
|
|
A) |
= A |
|
A; |
|
Примечание 7.7(П7.7). Нетрудно видеть, что если матрица A обратима и существует A−1, то соотношения (7.29) выполняются, если
в них A+ заменить на A−1. Свойства псевдообращения:
1. Псевдообращение псевдообратимо: (A+ )+ = A;
2.Псевдообращение и транспонирование коммутативно: (AT )+ = (A+ )T ; 3.Псевдообращение произведения скаляра на матрицу производится по правилу: (αA)+ = α−1A+;
4.(AA+ )2 = AA+, (A+ A)2 = A+ A;
5.Псевдообращение произведения матриц производится по правилу:
(AB)+ = B+ A+ ,
если у матрицы A являются линейно независимыми столбцы, а у матрицы B являются линейно независимыми строки.
Рассмотрим способы псевдообращения прямоугольной (m ×n)
матрицы A.
Первый способ применим для особого случая, когда m > n и столбцы матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда столбцовый
Отформатировано: Уровень 1
Отформатировано: Уровень 1
103
ранг матрицы удовлетворяет условию rang(A)= n . Суть первого
способа представим в виде утверждения.
Утверждение 7.1(У7.1). Если прямоугольная (m ×n) матрица A
такова, что |
m > n |
и столбцы матрицы |
A |
являются |
линейно |
||
независимыми, то псевдообратная матрица |
A+ |
для матрицы |
A |
||||
задается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
A+ = (AT A)−1 AT . |
|
|
|
|
(7.30) |
||
Доказательство утверждения строится на использовании ЛАС |
|||||||
(7.25), которую необходимо умножить слева на матрицу |
AT , |
в |
|||||
результате чего получим соотношение |
|
|
|
|
|
||
AT y = AT Ax . |
|
|
|
|
(7.31) |
||
В силу линейной независимости столбцов |
матрицы |
A |
(n ×n)– |
||||
квадратная |
матрица |
AT A оказывается обратимой, что |
позволяет |
||||
разрешить ЛАС (7.31) относительно искомого вектора x в форме |
|
||||||
x = (AT A)−1 AT y, |
|
|
|
|
(7.32) |
||
откуда следует справедливость утверждения. |
|
|
|
|
■ |
Примечание 7.8 (П7.8). Применительная область первого способа псевдообращения в основном касается задач оценки параметров линейных моделей по экспериментальным данным, когда объем экспериментальных данных заметно превосходит число оцениваемых параметров. Проиллюстрируем эту ситуацию примером. В таблице 7.1 приведены экспериментальные данные некоторой зависимости двух переменных η и ρ, априори была высказана
гипотеза об их линейной связи в форме |
|
η = α0 + α1ρ. |
(7.33) |
Ставится задача сформировать оценки αˆ 0 |
и αˆ1 параметров α0 и α1 |
линейной модели (7.33) по экспериментальным данным.
Таблица 7.1 Отформатировано: Уровень 1
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ηi |
0.8 |
1.2 |
2.2 |
2.4 |
3.1 |
3.6 |
ρi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Для построение построения аналитической базы формирования оценок запишем (7.33) в форме
1 α0 + ρ α1 = η,
допускающей представления
|
[1 ρ] |
α0 |
= η H |
α = η ;(i = |
|
), |
(7.34) |
||||||||
|
1,6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
i |
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где H |
i |
= [1 |
ρ |
|
];α = |
α0 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Hi и элементу ηi |
придать значения из |
||
Если теперь элементам строк |
104
таблицы 7.1 , то получим ЛАС вида (7.25), записанную в форме
η = Hα. |
(7.35) |
В модели (7.35) |
H – (6×2)–информационная необратимая матрица, |
η− (6×1)–вектор |
измерений. Вектор αˆ оценок параметров модели |
(7.33) ищется по схеме (7.28) с помощью псевдообратной матрицы H + , вычисляемой с помощью (7.30), что можно записать в форме цепочки соотношений
αˆ = |
H |
+η = |
(H |
T |
−1 |
H |
T η |
|
|
|
|
(7.35) |
||
|
|
|
|
H ) |
|
. |
|
|
|
|
||||
В (7.35) |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2.2 2.4 |
3.1 3.6], |
||
HT = |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
;ηT = [0.8 1.2 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|||||
что позволяет вычислить псевдообратную матрицу |
|
|
||||||||||||
H |
+ |
= |
0.5238 |
0.3810 |
|
0.2381 |
0.0952 |
- 0.0476 |
- 0.1905 |
|||||
|
|
|
|
− 0.0857 |
|
− 0.0286 |
0.0286 |
0.0857 |
|
|||||
|
|
|
- 0.1429 |
|
0.1429 |
|||||||||
и вектор оценок в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(αˆ )T = [0.7952 |
0.5686]. |
|
|
|
|
|
В итоге модель (7.33) по результатам обработки экспериментальных данных с помощью процедуры псевдообращения получает представление
η = 0.7952 + 0.5686ρ. ■
Второй способ применим также для особого случая, когда m < n и на этот раз строки матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда строчный ранг матрицы удовлетворяет условию rang(A)= m . Тогда по
аналогии с (7.30) для этого случая псевдообратная матрица A+ может быть вычислена с помощью формулы
A+ = AT (AAT )−1. |
■(7.36) |
Третий способ сформирован для любой реализации отношения
размерностей m ≠ n |
|
|
, |
т.е. он инвариантен относительно отношения |
||||||||
|
|
|||||||||||
порядка |
|
(< или >) |
. |
|
|
Метод |
основан |
на |
представлении |
|||
|
|
|
||||||||||
псевдообращаемой (m |
×n) |
матрицы A в виде произведения матриц |
||||||||||
A = BC , |
|
|
|
|
|
(7.37) |
где B − (m ×k)–матрица с k –линейно независимыми столбцами, а
C − (k ×n)−матрица с k –линейно независимыми строками. |
Тогда |
псевдообратная матрица A+ строится в соответствии с формулой |
|
A+ = СT (ССT )−1(BT B)−1BT . |
(7.38) |
Примечание 7.9(П7.9). Если (m ×n)- матрицы матрица A имеет
полный столбцовый ранг так, что k = m, то в (7.37) в качестве матрицы B может быть взята (m ×m)–единичная матрица. В свою очередь, если
(m ×n)- матрицы матрица A имеет полный строчный ранг так, что k = n , то в (7.37) в качестве матрицы C может быть взята (n ×n)–
Отформатировано: Отступ: Первая строка: 0 см
Отформатировано: Уровень 1
105