Решение вариантов задач

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

3.1.10.		0		21	3.1.11	0		5			3.1.12.			0	12
3.1.10.			1		3.1.11						3.1.12.
			1	4		1		− 4						1		4
3.1.13			0	1	3.1.14.		−1		2		3.1.15.		−1			4
3.1.13					3.1.14.						3.1.15.			2
		−15		− 8			8		5					2	− 3
3.1.16.		− 2		0	3.1.17.		0		−15		3.1.18.			7		0
3.1.16.			7		3.1.17.						3.1.18.
			7	6			1		− 8					8	−3
3.1.19.		− 3		8	3.1.20.		6		10				−1			1
3.1.19.			1		3.1.20.						3.1.21.			− 8
			1	−1			0		− 2					− 8		− 7
3.1.22.		5		16	3.1.23.		5	− 8			3.1.24.			12		−7
3.1.22.			1		3.1.23.						3.1.24.
			1	−1			5	− 9						12		−8
3.1.25.		1		−1	3.1.26.		5		8		3.1.27.			5		8
3.1.25.					3.1.26.						3.1.27.
		24		− 9			2	−1						−5		−9
3.1.28.		12		3.5	3.1.29.		−15		4				21		−16
3.1.28.			24		3.1.29.						3.1.30			21
			24	− 8			− 30		7					21	−17
3.1.31.		5		− 4	3.1.32.		6		0		3.1.33.			−15		8
3.1.31.					3.1.32.						3.1.33.
		10		−9			6	− 2		3.1.36.				−15		7
3.1.34.			21	16	3.1.35.		−3	2.67		3.1.36.
3.1.34.					3.1.35.					− 3.33			− 5.33
		− 21		−17			3		−1		2.33		7.33
											2.33		7.33
3.1.37.					3.1.38.						3.1.39.
− 0.5	0.5				21 − 8					2.5		− 4.5
											2.5
− 22.5	− 7.5				42	−17					2.5	− 6.5
3.1.40.
7.33	− 4.67
	−
− 2.67	−	3.33

A = Λ = diag Λii =

Решение задачи 3.1 на примере пары матриц 3.1.15 и 3.1.7. Выдвинем гипотезу, что матрицы

−1		4	и		0	1	подобны.

A =	2			A =
		− 3			5	− 4

Вычислим матричные инварианты этих матриц:

1. Характеристические полиномы, которые принимают вид

λ +1		− 4	= (λ +1)(λ + 3) = λ2	+ 4λ − 5 ;
det(λI − A) = det	− 2
		λ + 3

−1

det(λI − A) = det

= λ(λ + 4) − 5 = λ2 + 4λ − 5.

− 5

λ + 4

det(λI − A) = det(λI −

) ,

поэтому

Гипотеза

верна,

так

как

выбранные матрицы A и

подобны.

2. Алгебраические спектры собственных значений матриц

σ{A}= σ{A

{λ =1;λ

= −5 : λ2 + 4λ − 5 = 0;};

3. Определители (детерминанты) матриц

−1

(−1)(−3) − (2)(4) = 4 − 8 = −5,

det(A) = det

−

= (0)(−4) −

(1)(5) = −5,

det(A) = det

− 4

det(A) = det(

) = λ1λ2 = (1)(−5) = −5,

det(A) = det(

) .

4. Следы матриц

−1

+ A22 = (−1) + (−3) = −4 ,

tr(A) = tr

= ∑ Aii = A11

− 3

i=1

+ A22 = (−1) + (−3) = −4,

tr(A) = tr

= ∑ Aii = A11

− 4

i=1

tr(A) = tr(

) = ∑λi = λ1 + λ2 = (1) + (−5) = −4.

i=1

Вычислим матричные неинварианты этих матриц:

}

1. Спектры собственных векторов

{ξi ;i =1,n}и

{ξi ;i =

1,n

Aξi = λiξi

−1

ξ2 =

;

ξi = λiξ |λ =1,λ =−5 ξ1 = ,

− 3

−1

Aξi = λiξi

ξi = λiξ |λ

=1,

λ =−5 ξ1 =

, ξ

2 =

− 4

− 5

{ξi ;i =1, n} ≠ {ξi ;i =1, n}.

2.Нормы A(*) и A(*) .

2.1.Евклидовы (Фробениусовы) матричные нормы

∑

Aij

= {12 + 22 + 42 + 32 } 2

= 30

i, j =1

= {02 + 52 +12 + 42 }

∑

Aij

= 42

i, j =1

2.2. Операторные (индуцированные) нормы

= max

;

2.2.1. При p =1

p=1;

p=1 − столбцовые нормы.

p=1

= max{

= max{(

1 −1

),(

− 3

)}= 7,

= max{

}= max{(

),(

− 4

)}= 5.

p=1

2.2.2. При p = ∞

p=∞;

p=∞ − строчные нормы.

= max{

A j

p=∞

}= max{(

−1

),(

− 3

)}= 5,

= max{(

),(

)}= 9.

− 4

= max

p=∞

p=2 −спектральные нормы A и

2.2.3.

При

p = 2

p=2 ;

вычисляемые в силу соотношений

= max

=α

(A) :α

(A) =

µ 12

: det(µI − AT A) = 0;

AT A =

−1

2 −1

−10

;

− 3

−10

det(µI − AT A) = µ2 − 30µ + 25 = 0;

µ1 = 29.42; µ2 = 0.858; αM (A) =α1 = 5.424, αm (A) =α2 = 0.9263,

= max

=α

(A) = 5.424 .

= max

=α

(

) :α

(

)

: det(

I −

) = 0 .

5 0

− 20

AT A =

;

− 4

− 20

det(

I −

) =

2 − 42

+ 25 = 0;

2 = 0.7772,

µ1 = 41.396;

2 = 0.604; αM (

) =

α1 = 6.434, αm (

) =

= max

=αM (

) = 6.434 .

спектры σα {A} и σα {A

} сингулярных чисел

Алгебраические

подобных матриц

A и

вычислены в предыдущем пункте и имеют

представления

σα {A}={α1 = 5.424;α2 = 0.9263},

σα {A}= {α1 = 6.434;α2 = 0.7772}.

4.Спектральные числа обусловленности подобных матриц A и

, вычисляемых в силу соотношений

{A}= C

{A}=α

(A)α−1

(A)= 5.424( 0.9263 )−1

= 5.8557,

(

)

■

= C

=α

M (

α−1

= 6.434( 0.7772 )−1

= 8.2787.

{ }

2 { }

)

4. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ. МАТРИЦЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПОДОБИЯ

Рассматриваются подобные	матрицы A и			,	связанные
			A
матричным условием подобия (3.1) с матрицей		M			приведения
подобия. Будем полагать, что	(n × n) −матрица		A		задана в

произвольном базисе (имеет произвольную форму), а (n × n) −матрица

A задана в каноническом базисе (имеет каноническую форму). В связи со сказанным встают два вопроса. Первый вопрос: как формируются матрицы в канонической форме? Второй вопрос: как формируется матрица M приведения подобия, позволяющая с помощью матричного соотношения

		= M −1 AM	(4.1)
	A
осуществить переход от матрицы			A, заданной в произвольном

базисе к матрице A, задаваемой в некотором каноническом базисе? Дадим ответ на первый из поставленных вопросов, то есть

построим матрицы ЛО A в канонических формах.
Определение 4.1	(О4.1). Канонической формой (n ×n)	матрицы
линейного оператора	A будем называть форму (n ×n)	матрицы

линейного оператора (ЛО), которая построена в соответствии с некоторым правилом (законом, каноном) с тем, чтобы решить одну из возможных задач: сокращение объема матричных вычислений путем минимизации числа ненулевых элементов матрицы; облегчение анализа структуры пространства ЛО A, обеспечение вычислительной устойчивости всех матричных процедур путем уменьшения числа

обусловленности матрицы ЛО и т.д.

К настоящему моменту сконструировано большое число

канонических форм задания (n ×n)

матрицы линейного оператора A,

ниже рассматриваются только базовые канонические формы.

Базовые канонические

формы (n ×n)

матрицы

линейного

оператора A строятся на двух алгебраических спектрах исходной

матрицы A, заданной в произвольном базисе.

Первый

алгебраический

спектр

σ{A}= {λi : Aξi = λiξi

: det(λi I − A))= 0 : i =1, n}

представляет

собой

спектр собственных значений

{λi : i =

}матрицы A.

1, n

Второй алгебраический спектр

{A} ={a

: det(λI − A) = λn + a λn−1

+ ... + a

λ + a

; i =

}

1,n

n−1

{ai

}

представляет

спектр

коэффициентов

:i =

1,n

характеристического полинома D(λ) = det (λI − A) матрицы A.

Рассмотрим канонические представления A исходной матрицы A, которые конструируются на алгебраическом спектре собственных значений матриц, для различных случаев его реализации.

1. Диагональная каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет

реализацию
σ{A}= {λi : Jm(λi ) = 0;λi ≠ λl ;i ≠ l;i,l =		}.	(4.2)
	1,n
Алгебраический спектр вида (4.2) порождает множество подобных
матриц линейного оператора A, именуемых матрицами простой
структуры.			σ{A} в форме (4.2),
В случае реализации алгебраического спектра

когда все собственные значения вещественные и простые (различные,

не кратные), может					быть построена диагональная матрица Λ с
элементами λi			на главной диагонали и нулями на остальных позициях
этой матрицы так, что она принимает вид
		λ		0	0	.	0
			1	λ2	0	.	0
			0	λ2	0	.	0	= diag{λi ;i =		}	(4.3)
	A	= Λ =	0	0	λ3	.	0	= diag{λi ;i =	1, n	}	(4.3)
				.	.	.	.
		.		.	.	.	.
			0	0	0	.
			0	0	0	.	λn

2. Блочно-диагональная каноническая форма матрицы может быть

построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет реализацию

σ{A}={Jm (λ2i−1,2i ) ≠ 0:λ2i−1 =αi + jβi ;λ2i =αi − jβi :λi ≠ λl ;i ≠ l;i,l =		}.	(4.4)
	1,n / 2
В случае реализации алгебраического спектра σ{A} в форме (4.4),

когда все собственные значения комплексно-сопряженные и простые
(не кратные), может быть построена блочно-диагональная матрица			~
			Λ
~	αi	βi	на
с вещественнозначными матричными блоками Λii =			на
	− βi	αi

главной диагонали и нулями на остальных позициях этой матрицы так, что она принимает вид

3. Комбинированная

матрицы может быть собственных значений значения, часть которых

другая часть числом nc = выполняется соотношение

βi			(4.5)

; i =1,n / 2; .
αi

блочно-диагональная каноническая форма

построена, когда алгебраический спектр содержит только простые собственные числом nR являются вещественными, а

2mc – комплексно-сопряженными, при этом n = nc + nR .

Комбинированная блочно-диагональная матрица имеет на своей главной диагонали диагональную матрицу вида (4.3) размерности (nR × nR ) и блочно-диагональную матрицу вида (4.5) размерности

(nc × nc )	так, что она примет вид
	~	~	(4.6)

A = Λ = diag		{Λ (nR ×nR );Λ (nc ×nc )}.

Матричные блоки на диагонали комбинированной блочнодиагональной матрицы можно менять местами, так что наряду с

формой (4.6) матрица

A может иметь представление

(4.7)

A = Λ = diag{Λ(nc ×nc ) ;Λ(nR ×nR )}.

Так, например, если алгебраический спектр собственных значений

матриц ЛО A имеет реализацию

σ{A}=

{λ1,2

=α ± jβ;λi : Jm(λi ) = 0;λi ≠ λl ;i ≠ l;i,l =

(4.8)

3,n

то комбинированное блочно-диагональное представление

канонической матрицы A принимает вид

− β

2×(n−2)

]

(4.9)

A = Λ =

[0(n−2)×2 ]

[Λ (n−2)×(n−2)]

где 02×(n−2), 0 (n−2)×2 , Λ (n−2)×(n−2) – соответственно нулевые матрицы размерности 2 ×(n − 2) и (n − 2)× 2 и диагональная матрица размерности (n − 2)×(n − 2).

4. Жорданова каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет реализацию

		p		(4.10)
		p
σ{A}= λk − кратности	µk ,k =1, p; ∑µk		= n;Jm (λk ) = 0; .
		k=1

Тогда жорданова каноническая форма матрицы A по своей структуре максимально близкая к диагональной форме для случая вещественных кратных собственных значений матриц ЛО A в соответствии со структурой алгебраического спектра (4.10) примет вид

		λ		1	0 .	0
			k	λk	1 .	0
				λk	1 .	0

	Jkk = .			. . . .
	Jkk = .			. . . .
A = J =diag			0	0	0 .	λk
			0	0	0 .	λk
			0	0	0 .	0
			0	0	0 .	0

;k =1, p

λk (µk

. (4.11)

×µk )

Жорданова каноническая форма (4.11) представляет собой блочно-диагональную матрицу, составленную из жордановых

блоковJkk размерности (µk ×µk ), имеющих на своей главной диагонали собственное значение λk кратности µk , единицы на первой

наддиагонали и нули на остальных позициях блока. Жорданова каноническая форма (4.11) является верхней жордановой формой, наряду с которой может быть построена нижняя жорданова каноническая форма, которая характеризуется тем, что единицы жордановых блоках размещаются на первой поддиагонали. Следует заметить, что жорданова каноническая форма может быть построена и для случая матриц ЛО, алгебраический спектр собственных значений которых содержит кратные комплексно-сопряженные элементы, причем возможны как комплекснозначная так и вещественнозначная формы.

Так вещественнозначная версия жордановой канонической формы для случая кратных комплексно–сопряженных собственных значений исходной матрицы принимает вид

	αk		1	0 .

			αk	1 .
	−βk2
			. . .

A = J =diag Jkk = .
		0	0	0 .



		0	0	0 .


где σ{A}= (λk	=αk ± jβk )−кратности

αk

−βk2

µk ,k

0

0
0
.			,

		;k =1, p
1




αk	(µk ×µk )
	(µk ×µk )

	p	µ
	p
=1, p; ∑			k	= n/ 2; .
	k=1		k

Нетрудно видеть, что каноническая форма J при βk → 0 вырождается в каноническую жорданову форму вида (4.11).

5. Рассмотрим теперь канонические представления A исходной матрицы A, которые конструируются на алгебраическом спектре σa {A} коэффициентов характеристического полинома

D(λ)= det(λI − A)= λ n+ ∑aiλ n−i (4.12)

i=1

матриц линейного оператора A. Этих представлений два, они совпадают с точностью до транспонирования. Канонические представления имеют вид

		0		1		0		.	0		0		0(n−1)×1 I(n−1)×(n−1)
		0		0		1		.	0		0

	= .			.		.		.	.		.	=			(4.13)
A
		0		0		0		.	0		1
														− a
				− a		− a		.	− a		− a
	− a		n		n−1		n−2			2
											1

	0	0	.	..0
		0	.	..0
и	1	0	.	..0
и	0	1	.	..0
AT	=
	. . . .
	0	0	.	..0
		0	.	..1
	0	0	.	..1

− an		01×(n −1)

− an −1				. (4.14)
− an −2			− aT	. (4.14)
.		=
.
− a	2
	2
− a
	1	I(n −1) ×(n −1)

В канонических формах (4.13) и (4.14) a – n -мерный вектор– строка коэффициентов, записанных в обратном по отношению их размещения в характеристическом полиноме порядке так, что он принимает вид

a = [an ,an−1,an−2 ,...a2 ,a1]= row{an+1−i : i =		},	(4.15)
	1,n
0(n−1)×1; 01×(n−1); I(n−1)×(n−1) – соответственно			(n −1)-мерные

матрица-столбец и матрица–строка, а также (n −1)×(n −1)− единичная

матрица.

Обе канонические формы (4.13) и (4.14) именуются нормальной,

сопровождающей (свой характеристический полином) и фробениусовой канонической формой. С тем, чтобы их различать текстуально форма (4.13) названа строчной нормальной, сопровождающей или фробениусовой, а (4.14) – столбцовой. Для

канонической формы (4.13) используется обозначение A = AF .

Строчная сопровождающая каноническая форма матрицы ЛО A имеет в последней строке коэффициенты характеристического полинома, записанные с обратными знаками и в обратном порядке, первую наддиагональ, заполненную единицами, остальные позиции матрицы, заполненные нулями. При использовании этой формы матрицы для модельных представлений динамических объектов она именуется канонической управляемой фробениусовой (сопровождающей) формой.

Столбцовая сопровождающая каноническая форма матрицы ЛО A имеет в последнем столбце коэффициенты характеристического полинома, записанные с обратными знаками и в обратном порядке, первую поддиагональ, заполненную единицами, остальные позиции матрицы, заполненные нулями. При использовании этой формы матрицы для модельных представлений динамических объектов она именуется канонической наблюдаемой фробениусовой (сопровождающей) формой.

Теперь дадим ответ на второй вопрос, поставленный в начале раздела, то есть построим матрицы приведения подобия произвольной матрицы ЛО À к каноническим формам.

Приведение матрицы A простой структуры ЛО A к диагональной форме (4.3) строится на положениях следующих утверждений.

Утверждение 4.1 (У4.1). Матрица M , приводящая произвольную (n × n) квадратную матрицу A простой структуры ЛО A к

диагональной форме Λ в силу соотношения (4.1), принимающего для

A = Λ представление
Λ = M −1AM	(4.16)

имеет своими столбцами собственные векторы матрицы A. Доказательство. Запишем базовое уравнение матричного подобия

для рассматриваемого случая (4.16) в столбцовой форме

M [Λ1 Λ2 ...

Λi

...

Λn ]= A[M1

M2 ...

Mi ...

Mn ]

(4.17)

где Λi ,Mi

–

i − ые столбцы

соответственно

матриц

M ,(i =

) . Перейдем

теперь от

матричного

уравнения (4.17)

1,n

n −векторно-матричным уравнениям вида

MΛi = AMi ; (i =1,n)

(4.18)

где i −ыйстолбец Λi

диагональной матрицы Λ имеет вид

= [0 ...

...

0]T .

(4.19)

Нетрудно видеть, что с учетом (4.19) векторно-матричное

уравнение (4.18) принимает вид

λi Mi = AMi

;i =1, n .

(4.20)

Векторно-матричное соотношение (4.20) является определением

собственного

вектора

матрицы

откуда

следует,

что

Mi −собственный вектор матрицы A.

■

Утверждение

4.2

(У4.2).

Пусть матрица

A ЛО A является

матрицей простой структуры, тогда ее каноническая строчная


фробениусова		форма	AF , имеющая представление				(4.13), обладает
собственными векторами
	ξi = arg{AFξi = λiξi ;i =				},		(4.21)
				1, n
вид	которые строятся по схеме Вандермонда так, что они принимают
	ξi = [1 λi	λi2 ...	λin−1]T ; i =				(4.22)
						1,n.

Доказательство сформулированного утверждения строится на непосредственной подстановке в (4.21) представлений (4.13) и (4.22), в результате получается следующая цепочка векторно-матричных равенств

	0	1	0	...	0		1			λ
										i
	0	0	1	...	0		λ			λ2
										i
		...	...	...	...		2i	=		λ3			.(4.23)
AFξi = ...							λi			i
	0	0	0	...	1					n ..
						..
		− an−1	− an−2	...			n−1		− ∑a		l	λn−l
− an					− a1 λi					l =1		i

Но в силу характеристического уравнения матриц ЛО A оказывается справедлива запись

− ∑

l=1

λ	n		n−i = 0,			(4.24)
λ	n+ ∑ a λ		n−i = 0,			(4.24)
i	i=1	i i
	i=1
из	которой			следует	справедливость	представления
a λn−l = λ n						(4.25)
l i		i

подстановка которого в (4.23) приводит последнее к виду

AF ξi = λi [1 λi	λi2	... λin−1 ]T .	(4.26)
Соотношение (4.26)		делает справедливым утверждение 4.2.		■
Доказательство утверждения 4.2. и положения утверждения				4.1
содержат доказательство утверждения 4.3.
Утверждение	4.3	(У4.3). Пусть матрица	AF является

канонической строчной фробениусовой формой матриц ЛО A простой структуры, тогда матрица AF может быть приведена к канонической

диагональной

форме

(4.3)

помощью

матрицы

Вандермонда

M В ,

столбцы которой

M Bi

(i =

)

суть собственные вектора вида (4.22)

1,n

так, что она принимает вид

M B

λi

...

n−1

= row M Bi =ξi = [1

λi

] ; i =1,n. =

1 ...

...

■(4.27)

λ1

λ2 ...

λn

...

... ...

...

λn−1

λn−1 ...

λn−1

Рассмотрим теперь задачу конструирования матрицы

приведения исходной матрицы

обладающей комплекснозначным

спектром собственных значений (4.4), к канонической блочно-

диагональной форме		(4.5) в силу матричного	соотношения
~ ~ −1	~
Λ = M	AM .
Утверждение 4.4		(У4.4). Пусть ( n × n ) −матрица	A такова, что

алгебраический спектр ее собственных значений составлен из комплексно-сопряженных чисел так, что он имеет вид (4.4).

Геометрический спектр собственных векторов этой матрицы составлен из комплексно-сопряженных векторов так, что он имеет вид

=ξ

R,2i−1

+ jξ

J ,2i−1

; ξ

=ξ

R,2i

− jξ

;

{ξ2i−1;ξ2i ;i =1,n / 2}

2i−1

J ,2i

. (4.28)

−1 = λ2i−1ξ2i−1; Aξ2i = λ2iξ2i ;i

=1,n

Aξ2i

/ 2.

Тогда матрица

~ ~

−1

αi

βi

= arg Λ = M

AM = diag Λii =

− β

;i =1,n / 2; =

= row{[M

2i−1 M 2i ];i =1,n / 2;}

имеет своими столбцами

соответственно вещественный и

M 2i−1

, M 2i

мнимый компоненты собственных векторов, что записывается в форме
~	~	□
M 2i −1	=ξR,2i −1, M 2i =ξJ ,2i −1.

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в векторно-матричные соотношения для собственных векторов

Aξ2i −1 = λ2i −1ξ2i −1; Aξ2i = λ2iξ2i ;i =1,n / 2

представлений собственных значений и векторов в форме

{λ2i−1 = αi + jβi ;λ2i = αi − jβi : i =1, n / 2}

ξ2i−1 =ξR,2i−1 + jξJ ,2i −1;ξ2i =ξR,2i − jξJ ,2i ;i =1,n / 2.

и последующем разделении полученных выражений на

вещественный и мнимый компоненты, что в итоге приводит к двум векторно-матричным равенствам

(A −αi I )ξRi = −βiξJi ; (A −αi I )ξJi = βiξRi .	~~	(4.29)
В свою очередь, если записать уравнение подобия		~
	MΛ = AM , в

котором выделить блоки соответствующие собственным значениям

λ2i −1 и λ2i то получим
~	~	αi	βi	~	~	].
[M	2i −1 M 2i ]			= A[M	2i −1 M 2i	].
		− βi	αi
Решение последнего матричного уравнения относительно матриц-
	~	~
столбцов M 2i−1		,M 2i приводит к соотношениям
(A	~		~		~	~
(A	−αi I )M	2i −1 = −βi M		2i ; (A −αi I )M		2i = βi M 2i −1.
Сравнение последних соотношений с соотношениями (4.29)
делает справедливыми положения утверждения.							■

Примечание 4.1 (ПР4.1). Если спектр собственных значений матриц ЛО A является комбинированным так, что он содержит как


вещественные некратные собственные значения,				так и комплексно-
сопряженные некратные собственные значения,				при этом примера
ради	имеет	реализацию		вида	(4.8)
σ{A}= {λ1,2	=α ± jβ;λi : Jm(λi ) = 0;λi ≠ λl ;i ≠ l;i,l =			}, то	исходная
			3,n
матрица A	приводима к блочно диагональной канонической форме

вида (4.9) с помощью обобщенной матрицы ~ , имеющей своими

столбцами собственные вектора, а также их вещественные и мнимые компоненты, согласованные с вещественными и комплекснозначными собственными значениями. Так в случае, когда исходная матрица A

ЛО A имеет каноническую строчную фробениусову форму

является обобщенной матрицей	Вандермонда M B ,
представление

M B

Re(λ10 )

Re(λ11 )

= Re(λ12 )

...

Re(λ1n−1 )

Jm(λ0 )	λ0 ...
1	3
Jm(λ1 )	λ1 ...
1	3
Jm(λ2 )	λ2 ...
1	3
...	... ...
Jm(λn−1 )	λn−1 ...
1	3

λ0n

λ1n

λ2n .

...

λnn−1

В заключение покажем, что матрица Вандермонда M B

A , то ~

F M

имеющей

(4.30)

и матрица

M собственных векторов произвольной матрицы A простой структуры ЛО A позволяют приводить матрицу A к канонической строчной фробениусовой форме AF . Действительно обе матрицы M и M B

решают задачу диагонализации матриц A и AF в формах

Λ = M −1AM ; Λ = M

−1A M

(4.31)

Приведенные матричные соотношения позволяют составить

матричное равенство

−1A M

= M −1AM ,

AF виде

которое в разрешенном относительно матрицы

записывается

M −1AMM −1

= M −1AM

A =M

(4.32)

M F

= MM B−1 –

матрица

приведения

произвольной

матрицы A

простой структуры к матрице AF ,

являющейся канонической строчной

фробениусовой формой матриц ЛО A .

Теперь остановимся

на

формировании матрицы T

приведения

произвольной

матрицы

A c вещественным спектром кратных

собственных значений, определяемой в силу соотношения

TJ = AT .

(4.33)

Простоты ради выкладок будем для начала полагать, что

кратность

собственного

значения

удовлетворяет

условию

µ = n.Формирование матрицы T

осуществим на основе следующего

утверждения.

Утверждение

4.5

(У4.5).

Матрица

T приведения подобия

матрицы A c вещественным спектром кратных собственных значений кратности равной степени характеристического полинома к жордановой форме, представленная в столбцовой форме

T = col{Ti ;i =		},		(4.34)
	1,n
столбцы которой определяются из условий:
λT1 = AT1;Ti = (A −λI)Ti+1;i =				(4.35)
			1,n −1.

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановки в векторно-матричные соотношения подобия (4.33) матрицы T , представленной в форме (4.34). В результате этой подстановки получим

					λ		1	0	0
					λ		1	0	0
						0	λ	1	0
[T1	T2	T3	Tn	]		0	λ	1	0	= A[T1	T2 T3 Tn	],


						0	0	0	1
						0	0	0	1
						0	0	0	λ
						0	0	0	λ
	λT1 = AT1,T1 + λT2 = AT2, Tn−1 + λTn = ATn ,										обобщением чего
является запись (4.35).												■

Примеры и задачи

4.1. Приводимые ниже матрицы простой структуры привести к канонической диагональной и строчной сопровождающей

(фробениусовой) формам, построить матрицы приведения подобия к указанным каноническим базисам.

		4.1.1.		4.1.2.			4.1.3.		4.1.4.
− 3		0	0	1	0		1	0	12
	7
	7	− 5	21	4	5		− 4	1	4
		4.1.5.	0	4.1.6.			4.1.7.		4.1.8.
− 3		9	0	21	0		5	− 2	0
	0
	0	− 5	1	4	1		− 4	7	6
		4.1.9.		4.1.10.			4.1.11.		4.1.12.
−1		2	−1	4	0		−15	7	0
	8
	8	5	2	− 3	1`		− 8	8	−3
		4.1.13.		4.1.14.			4.1.15.		4.1.16.
− 3		8	6	10	−1		1	5	16
	1					8
	1	−1	0	− 2	−	8	− 7	1	−1
		4.1.17.		4.1.18.			4.1.19.		4.1.20.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20162.37 Mб14Магистратура ИТМО.doc
#
02.11.201820.26 Mб34Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб1Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
29.08.201954.19 Кб3МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx