Тогда для матричных компонентов формулы (7.39) получим

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

единичная матрица.

Проиллюстрируем использование формулы (7.38) на примере

Ф.Р. Гантмахера для пседообращения прямоугольной матрицы
			1	−1	2	0
	A =			2	−3		(7.39)
	A =	−1		2	−3	1 .	(7.39)
			0	1	−1
			0	1	−1	1

Нетрудно видеть, что матрица (7.39) имеет линейно зависимые строки и столбцы, причем число линейно независимых строк и столбцов k = 2. Матрица A представима в форме

	1 −1	2 0		1		−1		1 0	1	1
A =								1 0	1	1	= BC.
A =	−1 2	−3 1	=	−1		2		0 1	−1 1		= BC.
						1
	0 1	−1 1		0		1
Тогда для матричных компонентов формулы (7.39) получим															Отформатировано: Уровень 1
BT B = 2		−3 ;(BT B)−1 =			2		1 ;CCT =			3	0 ;(CCT )−1	=	1 3		0 .
														0
	−3	6			1	2 3				0	3			0	1 3

Тогда, следуя формуле (7.36) получим													0	1 3				Отформатировано: Уровень 1
				1 0							1 3		0	1 3
			1			2		1 1		−1 0			1 9
A	+	=	1	0 1		2		1 1		−1 0	1 9		1 9	2 9			■(7.40)
A		=	3								=	2 9 −1 9		1 9	.		■(7.40)
			3	1 −1		1		2 3 −1		2 1		2 9 −1 9		1 9

				1 1							4 9 1 9			5 9
Четвертый					способ,				являющийся обобщением третьего способа,
основан на разбиении									(m ×n) матрицы A на матричные блоки так, что
она получает представление
				B		C										(7.41)
			A =			F	,									(7.41)
				D		F			B
в		котором			матрица				B	- неособая квадратная, и						такая, что
rang(B) = rang(A)													(n ×m)–матрица			A+ может
								. Тогда псевдообратная
								. Тогда псевдообратная
быть вычислена с помощью матричного выражения
A+ = CBTT (BBT + CCT )−1B(BT B + DT D)−1(BT DT ).																(7.42)

Проиллюстрируем использование формулы (7.42) на примере Ф.Р. Гантмахера для пседообращения прямоугольной матрицы (7.39), которую в соответствии с (7.41) разобъем разобъём на матричные

блоки
1	−1			2	0
B =	2	,C =			, D = [0 1], F = [−1 1],
−1	2		−3		1

подстановка которых в подставляя которые в матричную формулу

(7.42) даст	получим		псевдообратную матрицу	(7.40).
■

106

Пятый способ псевдообращения (m ×n)- матрицы A основан на

использовании сингулярного разложения этой матрицы с помощью SVD–процедуры, позволяющего представить ее в виде

A =UΣV T ,

(7.43)

где U,V – матрицы соответственно левого и правого сингулярных

базисов, Σ–матрица сингулярных чисел, которая принимает вид:

при

m < n

Σ = [diag(αi;i =

)

0m×(n−m)],

(7.44)

1,m

при

m > n

diag(αi;i =

)

1,n

(7.45)

Σ =

0(m−n)×m

(m ×n)-

A позволяет для

Представление

(7.43)

матрицы

псевдообратной (n ×m)–матрицы A+ записать

A+ =VΣ+UT ,

(7.46)

где где псевдообратная матрица сингулярных чисел Σ+ принимает вид:

при	m < n	−1
						(7.47)

	Σ+ = diag((αi )		;i =1,m),
		0(n−m)×m
при
при	m > n
	Σ+ = [diag((αi )−1;i =				) 0n×(m−n)].	(7.48)
	Σ+ = [diag((αi )−1;i =			1,n	) 0n×(m−n)].	(7.48)

Следует сказать, что псевдообращение в пакете Matlab всех версий осуществляется с помощью оператора pinv(*), который построен на базе сингулярного разложения псевдообращаемой (m ×n)-

матрицы A.

Проиллюстрируем использование формулы (7.46) на примере для пседообращения прямоугольной матрицы

	1	2	3	4
A =		6	7	8	,	(7.49)
A =	5	6	7	8	,	(7.49)
		10	11
	9	10	11	12

которая характеризуется свойством m > n . Сингуляроное разложение дает для матрицы A (7.49) дает

A =UΣV T =

	1	2	3	4		−0.207		0.889	0.408		25.437		0	0	0
=		6	7	8	=		- 0.518	0.254		×		0	1.723	0		×
=	5	6	7	8	=		- 0.518	0.254	- 0.817	×		0	1.723	0	0	×
	9	10	11	12		−0.830		−0.380	0.408			0	0	0	0

Отформатировано: русский

Отформатировано: русский Отформатировано: русский

107

	− 0.404				- 0.465		- 0.526 − 0.587
					- 0.290		0.153		0.596
	− 0.733				- 0.290		0.153		0.596
×		0.412			- 0.818		0.401		0.006		.
		0.412			- 0.818		0.401		0.006
		0.361			- 0.174		- 0.735		0.548
Тогда псевдообратная матрица (7.46) получит представление																Отформатировано: Уровень 1
					−0.404		−0.733	0.412		0.361	(25.437)−1		0	0
A	+	+ T			−0.465		−0.290	−0.818		−0.174		0	(1.723)−1	0	×
A		=VΣ	U	=							×				×
							0.153	0.401				0	0
					−0.526		0.153	0.401		−0.735		0	0	0
					−0.587		0.596	0.006		0.548		0	0	0

					−0.207		−0.518	−0.830		- 0.375		− 0.100	0.175
					−0.207		−0.518	−0.830
				×		0.889	0.254	−0.380		= − 0.146		− 0.033	− 0.017 .			■
										0.083		0.083	− 0.017
						0.408	−0.817	0.408
						0.408	−0.817	0.408				0.100
										0.312		0.100	− 0.112
Шестой			способ псевдообращения							(m ×n)-		матрицы	A основан			на
Шестой			способ псевдообращения							(m ×n)-		матрицы	A основан			на

использовании возможностей метода регуляризации А.Н. Тихонова. Суть шестого способа состоит в сведении процедуры псевдообращения (m ×n)- матрицы A к процедуре обращения квадратной матрицы,

параметризованной регуляризирующей константной δ, с последующим предельным переходом обратной регуляризованной матрицы, элементы которой зависят от константы δ , к псевдообратной при δ 0. Аналитически это записывается в форме

		(AT A + δI )−1 AT = lim AT (AAT + δI )−1.
A+ = lim		(AT A + δI )−1 AT = lim AT (AAT + δI )−1.	(7.50)
	δ→0	δ→0

Основным недостатком данного способа псевдообращения является необходимость аналитического обращения регуляризованной матрицы с помощи алгоритма Лапласа, что ограничивает область его использования матрицами невысокого порядка.

Тем не менее, проиллюстрируем способ на простом примере. Псевдообратим (m ×n)- матрицу A в виде матрицы–строки

A = [1 2 3].	(7.51)
Тогда следуя формуле (7.50), получим	Отформатировано: Уровень 1

108

A+ = lim(AT A + δI )−1 AT = lim

−1 1

+ δI

δ→0

■

δ +13

− 2

−3

0.714

= lim

− 2

δ+10

−6

= lim

2δ

= 0.1429 .

δ(14 + δ)

δ→0

δ(14 + δ)

−3

−6

δ+

δ→0

3δ

0.2143

Седьмой способ псевдообращения

(m ×n)-

матрицы

A основан на

рекуррентной процедуре Гревиля. Суть метода состоит в следующем.

Запишем

(m ×n)

матрицу

столбцовой

форме

A = [A1

]. Сформируем матрицу Ak из первых k столбцов

матрицы A так, что A1 = A1, A2 = [A1

A2 ], An = A. Тогда оказывается

справедливой рекуррентная процедура:

k =1 (A1)+ = A+ = A1T

;

Отформатировано: русский

1. при

(7.52)

AT A

Примечание

7.10(П7.10).

(7.52)

A1 = A1

= 0 ,

то

полужирный

Если

Отформатировано: Шрифт: не

(A1)+ = A+ = 0.

(7.53)

Отформатировано: Отступ: Первая

= (A(k

строка: 0 см

2. 2. при k >1

A ,

b -

Отформатировано: Шрифт: 14 пт,

(Ak)

, B = (A(k −1)) − d b , d

−1))

Цвет шрифта: Черный, ниже на 6 пт

(Ak)+.

Отформатировано: русский

последняя строка матрицы

(7.54)

Код поля изменен

3. Примечание 7.11(П7.11). В

рекуррентной процедуре (7.54),

Цвет шрифта: Черный, английский

если A − (A(k −1))d

= (1+ dT d

)−1dT

(A(k −1))+,

Отформатировано: Шрифт: 14 пт,

= 0, то b

(7.55)

(США), ниже на 6 пт

Отформатировано: Шрифт: не

если Ak − (A(k −1))dk

≠ 0, то bk

= (Ak − A(k −1)dk )+.

(7.56)

полужирный

Проиллюстрируем

алгоритм

Гревиля

на

примере

Отформатировано: Шрифт: не

полужирный

пседообращения прямоугольной матрицы

Отформатировано: Шрифт: не

−1

полужирный

Отформатировано: Шрифт: не

полужирный

A =

−1

Отформатировано: русский

−3

Тогда, используя (7.52), (7.54) получим

Отформатировано: Уровень 1

1. k =1 (A1)+ =

A+

A1T

1 [1 −1 2 0]= [1 6 −1 6 1 3 0];

AT A

2. k = 2; d

= A+ A = −3 2;

Проверка условий (7.55)–(7.56), выполняется условие (7.56), тогда

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20162.37 Mб14Магистратура ИТМО.doc
#
02.11.201820.26 Mб35Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб1Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
29.08.201954.19 Кб3МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx

Тогда для матричных компонентов формулы (7.39) получим

Тогда, следуя формуле (7.36) получим

Тогда псевдообратная матрица (7.46) получит представление

Тогда следуя формуле (7.50), получим

Тогда, используя (7.52), (7.54) получим