Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

сомножителей полиномов числителя и знаменателя сепаратных передаточных функций ВВ

Завершая рассмотрение свойств и системных характеристик модельных представлений «вход – состояние – выход» объектов управления, опирающихся на возможности векторно – матричного формализма линейной алгебры сделаем следующее примечание.

Примечание 9.5 (П9.5). Непрерывный объект (9.5)–(9.6) с парами

матриц (A, B)и (A,C) и дискретный объект (9.18)–(9.19) с парами матриц (A, B )и (A,C ) называются нормальными относительно управления, если являются управляемыми все пары матриц (A, Bj ; j = 1,r), где Bj − j − й столбец матрицы B управления объекта

и называются нормальными относительно наблюдения, если являются

наблюдаемыми все пары матриц (A,Cl ;l = 1,m), где Cl − l − я строка

матрицы С выхода объекта.

Свойство нормальности объектов управления пока не нашло

конструктивного использования в современной теории управления. Проблемы управления объектами с нормальной парой матриц (A, B) и

наблюдения с нормальной парой матриц (A,C)гарантирующей

богатство вариантов решений, ждут разработки.

Оформим в форме примечания и определений еще одно положение, обогащающее структурные свойства объекта управляемость и наблюдаемость на примере ЛНДО, которое вводит понятия управляемости и наблюдаемости собственных чисел матрицы

состояния

динамического

объекта

по

сепаратным

входам

выходамςTi

(Cl )T = Cl ςi = 0 .

Примечание 9.6 (П9.). ЛНДО задан тройкой матриц (A, B,C), при

этом

A и AT

обладают алгебраическими

спектрами собственных

чиселσ{A}=σ{AT }= {λ : det(λI − A)= det(λI − AT )= 0;i =

}

1,n

геометрическими

спектрами

собственных

векторов

{ξ

: Aξ

= λ ξ

;i =

}и {ς

: AT ς

= λ ς

;i =

}.Пусть

1, n

j −й

столбец

матрицы

B (j =

− l −ая строка матрицы

1,r

(l =

1,m

{λi ;i =

}

Определение

9.9 (О9.9). Собственное

значение

1,n

является управляемым по j − му входу (j =

) динамического объекта,

1,r

если

выполняется

условие

ξiT Bj

= BTj ξi

≠ 0 , в

случае

выполнения

условия

ξT B

= BT

= 0 собственное

значение

{λ ;i =

} является

1,n

неуправляемым по

j −му входу (j =

)динамического объекта.

□

1,r

156

Определение 9.10 (О9.10). Собственное значение

{λi ;i =

}

1,n

является

наблюдаемым

по

l −му выходу (l =

)

динамического

1,m

объекта,

если

выполняется

условие

ξiT (Cl )T = Clξi ≠ 0 ,

в случае

выполнения

условия

ςTi (Cl )T = Cl ςi = 0

собственное

значение

{λi ;i =

}

является ненаблюдаемым

по

l −му

выходу (l =

)

1,n

1,m

динамического объекта.

□

9.5.Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче формирования модели ВВ, векторно-матричное

дифференциальное уравнение «вход-выход» непрерывных объектов управления

Модели ВСВ предоставляют исследователю объектов управления и динамических систем, построенных на их основе, непрерывного и дискретного описаний хорошие технологические возможности конструирования моделей ВВ в виде дифференциальных

(рекуррентных) уравнений отношения «вход–выход» (ДУВВ).

Технологию конструирования моделей ДУВВ, опирающуюся на алгоритм Д.Фаддеева разложения резолвенты, проиллюстрируем на примере непрерывного линейного ОУ, задаваемого векторно-

матричной моделью ВСВ в виде соотношений (9.5)–(9.6)

(9.57)

x(t)= Ax(t)+ Bu(t); y(t)= Cx(t)

+ Du(t).

Передаточная матрица (функция) Φ(s) :Y (s) = Φ(s)U (s) ОУ (9.58)

имеет вид

Φ(s) = C(sI − A)−1 B + D .

(9.59)

Воспользуемся представлением резолвенты (sI − A)−1 в форме

−

[∆(sI − A)]T =

sn−1H

+ sn−2 H

+... + H

(sI − A) 1 =

n−1

det(sI − A)

sn + a1sn−1 +... + an−1s + an

где

(n ×n)

–

матрицы

Hi (i =

−1)

коэффициенты

0, n

характеристического

уравнения

вычисляются

помощью

рекуррентной процедуры алгоритма Д.Фаддеева (6.33). Приведенные

соотношения позволяют уравнение «вход-выход»

Y (s) = Φ(s)U (s)

записать в форме

n−1

+ s

n−2

+... + H

(sn + a sn−1

+... + a

s + a

C (s

n−1

)B +

n−1

)Y(s) =

U(s)

+ a1 s

n−1

+... + an−1 s + an )D

+ (s

(9.60)

что на основе применения обратного преобразования Лапласа с учетом его свойств приводит к дифференциальному уравнению «вход-выход»

157

с матричными коэффициентами относительно производных по времени векторных переменных y(t) и u(t) :

y	n	(t) + a1	y	(n−1)				n	(t) +
					(t) + + an−1 y(t) + an y(t) = D u					.(9.61)
						(n−1)
+ (CH0 B + a1D)u										(CHn−1B + an D)u(t)
							(t) + + (CHn−2 B + an−1D)u(t) +

Если возникает необходимость составления дифференциального уравнения, связывающего i −й выход yi (t) с j − м входом u j (t), то для

этого в левой части векторно–матричного дифференциального уравнения «вход-выход» в векторе выхода y(t) следует выделить i −й

элемент, в правой части в векторе входа u(t) j − й элемент, а в матричных коэффициентах выделить (i, j) −ые компоненты, находящиеся на пересечении i −х строк и j −х столбцов.

Соотношения (9.60) и (9.61) позволяют констатировать, что физически реализуемая передаточная система, описываемая моделью «вход–выход» в виде дифференциального уравнения не может иметь порядок производной правой части выше порядка производной ее правой части. Более того равенство порядков имеет место только тогда, когда в модели «вход–состояние–выход» (9.58) матрица прямых связей «вход–выход» D ≠ 0 .

Применительно к модели «вход–выход» в виде передаточной матрицы (функции) следует констатировать, что порядок полинома числителя передаточной функции любого сепаратного канала, связывающего i −й выход yi (t) с j − м входом u j (t), физически

реализуемой системы не может быть выше порядка порядка полинома знаменателя передаточной функции. Более того, равенство порядков имеете место только в случае ненулевой матрицы прямых связей «вход–выход» D .

Это обстоятельство надо иметь в виду для целей контроля

корректности	составления	модели «вход-выход»	динамического
объекта.
Аналогичным образом		алгоритм Д.Фаддеева	может быть

использован для построения рекуррентного уравнения «вход–выход» с матричными коэффициентами, а также построены скалярные рекуррентные уравнения для любых сепаратных каналов дискретного линейного динамического объекта.

Примеры и задачи

9.1. Построить структурное представление непрерывного объекта управления, описываемого функцией перехода λ и выхода δ вида:

λ : x = Ax + Bu , δ : y = Cx , где

158

	0 0		−υ3	υ3
A =		0			0
A =	1	0	−υ2 ; B =		0	; C = [0 0 1]
		1			0
	0	1	−υ1		0

С помощью критериев управляемости и наблюдаемости исследовать объект на управляемость и наблюдаемость, составить передаточную функцию (матрицу) объекта.

9.2. Построить структурные схемы непрерывных объектов управления, описываемых функциями перехода и выхода вида:

= 2x1 + 3x1u;

а) λ :

;

δ : y

= x1

+ 2x2 + u;

x2 = x1x2 + u

= x3;

= x2 ;

δ : y

;

б) λ : x2

= x1 + 2x2 +15x3

− 5x1x2 ;

= −100x1 −10x2

x1 = −α1x1 − (sinϕ2 )x2 + (sinϕ2 )u2 + (cosϕ1)u1;

λ :

= (sinϕ1)x1 −α2 x2 + (cosϕ2 )u2 − (sinϕ1)u1;

в)

= (cosϕ )x

+ (sinϕ

;

δ :

y2 = (−sinϕ1)x1 + (cosϕ2 )x2 ;

x1 =η1x2 ;

г) λ :

δ : y =10x1

=α2u − β2

x2 −α1x1;

x1 =η1x2 ;

= β3x3 + β2

x3 − β1x2 +α1u;

δ : y = 0.1x3;

д) λ : x2

=α2u − β4 x1;

е) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx; где

A =

; C =[ϑ3

0 0];

; B = 0

−ϑ

ж) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx;

где A,B из пункта е), а C = [ϑ3

ϑ2

ϑ1];

з) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx; где

0 0 −ϑ3

ϑ3

A =

1 0 −ϑ

; B =

;

C =

[

0 0 1 ;

]

−ϑ1

и) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx ,

где A,C из пункта 3), а B = [ϑ

ϑ ]T ;

к) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx + Du,

159

где A, B и C те же, что в пункте з), а D = [ϑ0 ].
л) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

2			−5 −3			1	0			1		1	0
A = −1		−2		−3 ; B = 0			2 ; C		=	1		1	0
A = −1		−2		−3 ; B = 0			2 ; C		=			1	;
										0		1	1
	3	15		12
	3	15		12		3	4
м) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

	4		−4	2		1	0				1	1	2
A =	2		−2 1		; B = 1		1	; C =			1	1	2
A =	2		−2 1		; B = 1		1	; C =				0	;
			4				1				2	0	1
−4			4	−2		0	1

н) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

0		1	0	0		1	3
3		0 2 0				2	0	; C	=	0 1			3 5	;
A =				; B =				; C	=		2 4			;
0		2 0 3				0	2				2 4		0 8
		0	1
0		0	1	0		3	1
о) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

	1		2	0	3		2	7
−1		−2 0 3				4		5	C		1		0 2 3
A =	0					; B =		;	C		=			.
	0		0 2 0			6		3			0		4 5 0
	1		2	0
	1		2	0	3	8		1

9.3.Определить передаточные матрицы и функции сепаратных каналов линейных непрерывных объектов, описываемых функциями перехода и выхода из 9.2: п.п. е)÷о)

9.4.Определить, управляемы и наблюдаемы ли объекты управления, а также управляемы и наблюдаемы ли они по каждому из входов и выходов (в случае r >1,m >1), если объекты описываются

функциями перехода и выхода из п.п. е)÷о)

9.5.С использованием алгоритма А9.1 построить модели ВСВ

линейных

непрерывных

объектов

в форме функций

перехода

λ и

выхода δ

по заданным передаточным матрицам (функциям) «вход–

выход»:

10 ,

s + β

а) Φ(s) =

б)Φ(s) =

s +α

β1s + β2

в)Φ(s) =

г)Φ(s) =

s3 +α1s2 +α2s +α3

β s2

+ β

s + β

β s3

+ β

s2 +

s +

д)Φ(s) =

е)Φ(s) =

4 ,

s3 +α1s2 +α2s +α3

160

ж)Φ(s) =		β(s + γ )		,
		s(s +α1)(s +α2 )
и)Φ(s) =		βs +γ	,
	s(s +α1)(s +α2 )

з)Φ(s) =					β		,

	(s +α1)(s +α2 )(s +α3 )
		β	11		− β12

		s +
к)Φ(s) =			α	11	β22	,
		β	21
					s +α22

	β11			β12	β13s + β132

	s +α11			s	s(s +α13 )
л)Φ(s) =	s +α11			s	s(s +α13 )
л)Φ(s) =		β	1	2		β23	.
	− β21	β		22s + β22		β23
	− β21			22s + β22		s +α23
				s		s +α23

9.6. Построить структурные схемы дискретных объектов

управления, описываемых функциями перехода и выхода:
					1		2
			= x1(k) +Tx2 (k) − 2 T				2	u(k) δ		: y(k) = x1(k),
а) λ : x1(k +1)			= x1(k) +Tx2 (k) − 2 T					u(k) δ		: y(k) = x1(k),
		(k +1) = x2 (k) +Tu(k)
x2		(k +1) = x2 (k) +Tu(k)
	(k +1)		= x1(k) +Tx2 (k) +			T 2	x3 (k) +		1	3
x1	(k +1)		= x1(k) +Tx2 (k) +			2	x3 (k) +		6	T u(k)
						2			6
			= x2	(k) +Tx3 (k) +		T 2	u(k)			δ : y(k) = x1(k),
б) λ : x2 (k +1)			= x2	(k) +Tx3 (k) +		2	u(k)			δ : y(k) = x1(k),
x		(k +1)	= x	(k) +Tu(k)		2
x		(k +1)	= x	(k) +Tu(k)
3			3

в) λ : x(k +1) = Ax(k) + Bu(k); δ : y(k) = Cx(k) ,
1	1	0		1	−1
A = 0 1		0	,	B = 0	0	, C = [1 0 0].

	0				0
0	0	1		1	0

г) λ : x(k +1) = Ax(k) + Bu(k); δ : y(k) = Cx(k) ,
	0.9	0.06	0	0	0	0
−1.5		0.1	0	0	1	0	1	0	0	1
A =	0	0.01	0.9		, B =		, C =	1	1	.
	0	0.01	0.9	0.6	0	0	0	1	1	0
	0.02	− 0.004	−1.5
	0.02	− 0.004	−1.5	0.1	0	1

9.9. Определить передаточные матрицы и функции дискретных объектов примеров 9.6

9.8. С использованием алгоритма А9.2 построить модель ВСВ дискретных объектов, заданных передаточными функциями (матрицами):

βz +1		β z2	+ β	2	z + β	3
а) Φ(z) = αz +1;	1
	б) Φ(z) =						;
		z3 +α1z2 +α2 z +α3

161

β11

β z−2

+ β

z−1

+ β

β12

z +α

в) Φ(z) =

; г) Ф(z) =

β22

z−3 +α1z−2 +α2 z−1 +α3

z +α

9.9. Для значений интервалов дискретности 0.01 сек. и 0.1 сек. построить матрицы A, B, C дискретного описания непрерывных

объектов из задачи 9.2.

Решение вариантов задач

Решение задачи 9.1. Запишем функции λ и δ в координатной форме:

x1 = 0x1 + 0x2 −υ3x3 +υ3u

x2 =1x1 + 0x2 −υ2 x3
		.
	= 0x1 +1x2 −υ1x3
x3

y = 0x1 + 0x2 +1x3

Для построения структурного представления объекта необходимы 3 интегратора, у которых входом j-го интегратора является переменная x j , представленная в виде линейной комбинации выходов

интеграторов xi (j,i =1,n) и входного воздействия u , описываемой j-ой

строкой функции перехода λ , при этом линейная комбинация формируется сумматором. Выход y объекта управления является

линейной комбинацией составляющих вектора состояния, который формируется с помощью усилительных элементов с коэффициентами усиления, равными коэффициентам при соответствующих составляющих xi вектора состояния х в функции выхода δ , и

устройством суммирования. Для оценки управляемости и наблюдаемости объекта составим матрицы управляемости Wу и

наблюдаемости Wн в силу выражений (9.17) и (9.20):
					υ3			0	0
			2				0 υ3		0	,
Wу = B		AB A		B =			0 υ3		0	,
							0	0	υ3
							0	0	υ3
					)			T T	0	0	1
	T	T	T	T		2	C	T T		1	−υ1
Wн = C		A C		(A			C	=	0	1	−υ1	.
											2
									1	−υ1	2
									1	−υ1	−υ1 − −υ2

В соответствие с критериями управляемости и наблюдаемости в первых формулировках объект управления является полностью управляемым и наблюдаемым, так как

rang(Wу )= 3 = dim x , rang(Wн )= 3 = dim x .

Для того, чтобы воспользоваться критериями управляемости и

162

наблюдаемости во вторых формулировках (КУ2 и КН2) построим

матрицы		Q =W W T				и			P =W T нW			н	, которые				для		рассматриваемого
					у у							н
объекта управления принимают вид
υ32		0 0							1				−υ1						υ12 −υ2
Q =	0	υ2	0		, P =			−υ				1+υ2						−υ +υυ				−υ3			.
		3							1				1						1		1 2		1
	0 0 υ			2				2	−υ		−υ +υυ			−υ	3	1	+υ	2	+υ	2	+υ	4	2
	0 0 υ					υ			−υ		−υ +υυ			−υ		1	+υ		+υ	2	+υ		− 2υ υ	2
			3				1			2	1		1 2	1			1			2	1		1	2
Положительная определенность матрицы Q очевидна.
Для матрицы P =W T нW										имеем
									н

∆1 =1, ∆2 =1, ∆3 =1.

Таким образом, Р – положительно определенная матрица. Определим передаточную функцию (матрицу) «вход–выход»

объекта. По определению передаточной функции (матрицы)

Φ(s)=∆ Y (s)

= C (sI − A)−1 B =

adj

(sI − A) T

B =

det (sI − A)

U (s)

s2 +υ1 s +υ2

−υ3

1−υ3s

υ3

[0 0 1]

s +υ

s2 +υ s

−υ

s −υ

υ1 s

+υ2s +

υ3

= s

3 +

υ s

2 +υ

s +

s s

= s3 +υ s2 +υ

s +υ

Поставленные задачи решены.

Решение задачи 9.5г.

По передаточной функции «вход–выход» ЛНДО

Φ(s) =

β1s +β2

построить A,

B, C–«вход–состояние–

s3 + α s2

+ α

s + α

выход» представление на основе алгоритма А9.1. В соответствие с этим алгоритмом:

1.Выбираем канонический управляемый (фробениусов строчный) базис представления; 2.Пункт 2 алгоритма А9.1 выполнен исходным задание передаточной

функции, которая представляет собой отношение двух полиномов относительно переменной «s»;

3.Записываем передаточную функцию по отрицательным степеням переменной Лапласа «s» , так чтобы в знаменателе образовался единичный свободный член, для чего числитель и знаменатель делим

на член «s3 », в результате чего получаем представление передаточной функции

163

β1 s12 + β2 s13

Φ(s) = 1+ α1 1s + α2 s12 + α3 s13 ;

3.,4. Выполняем п.п.3 и 4: строим структурное представление в каноническом управляемом базисе и размечаем его, результат

выполнение этих пунктов алгоритма А9.1 представлен на рисунке 9.6

y(t)

u(t)	x3 (t)
u(t)		1
		s

		β1		β2
x2 (t)		x1(t)
x3 (t)	1	x2 (t)	1	x1(t)
	s		s
− α1		−α2		− α3

5.Списываем матрицы A, B,C					Рисунок 9.6			y(t)= Cx(t)
5.Списываем матрицы A, B,C					описания x(t)= Ax(t)+ Bu(t),			y(t)= Cx(t)

с отмеченного структурного представления рисунок 9.6 и получаем
	0	1	0	0
A =	0	0	1	; B = 0 ;C = [β		β	0].	■
						2 1

− α3		− α2 − α1		1

164

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20162.37 Mб14Магистратура ИТМО.doc
#
02.11.201820.26 Mб34Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб1Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
29.08.201954.19 Кб3МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx