Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

14*. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

В предыдущем разделе рассмотрен метод решения задачи учета неопределенности (неточности задания, знания) параметров исходного объекта при построении его математической модели, основанный на аппарате траекторной параметрической чувствительности. Аппарат обладает наглядностью, но характеризуется явным системным изъяном, состоящим в том, что он справедлив для неопределенности параметров, не превышающей сорока процентов от их номинальных значений.

Для случаев, когда неопределенность параметров значительно превышает диапазон в 40% от их номинальных значений, в настоящее время разработан аппарат интервальных модельных представлений, изучению возможностей которого посвящен настоящий раздел.

14.1. Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры

Проблему, вынесенную в заголовок параграфа будем излагать в форме определений, примечаний и утверждений.

Определение

14.1

(О14.1). Пусть числа

ρ,

такие,

что

ρ,

R ,

ρ ≤

, и

при

этом задают

вещественное

число

ρ в

параметризованной относительным параметром q [0,1] форме

(14.1)

ρ(q)= (1 − q)ρ + qp.

[ρ ]

Тогда

вещественное

интервальное

число

образуется

экстремальными реализациями этого числа

ρ = min{ρ (q); q [0,1]}, ρ = max{ρ (q); q [0,1]}

(14.2)

так, что оно может быть записано в форме

[ρ ]=

[ρ, ρ]

(14.3)

Примечание 14.1 (П14.1). Фиксированное число ρ имеет интервальное представление, записываемое в форме ρ = [ρ , ρ].

Определение 14.2 (О14.2). Интервальным комплексным числом [γ = ρ + jδ ] называется комплексное число, у которого интервальными

являются вещественная и мнимая части так, что становится

справедливым представление
[γ = ρ + jδ ]= [ρ]+ j [δ ],					(14.4)
где, [ρ]= [ρ,		],[δ]= [δ,		]
	ρ		δ

251

Определение 14.3 (О14.3). Интервальным вектором [x]


размерности			n называется вектор с интер вальными компонентами
[xi ]= [xi ,		]	так, что становится справедливой запись
	xi
[x]= col{[xi ]; i =					}	(14.5)
				1, n
Определение 14.4 (О14.4). Интервальной (n ×m)						– матрицей [A]

называется матрица, составленная из интервальных скалярных компонентов

[Aij ]= [Aij ,

ij ], [A]= row{col([Aij ]; i =

) j =

}

(14.6)

1, n

1, m

при этом справедливым оказывается представление

[A]= [A,

(14.7)

[A]= row{col([Aij ]; i =

) j =

где

1, n

1, m

(14.8)[

]= row{col([

ij ]; i =

) j =

(14.9)

1, n

1, m

Определение 14.5 (О14.5). Произведением

[a] [b]= [c]

[a]= [a,

]

[b]= [b,

]

(14.10)

интервальных

чисел

называется

интервальное число

[c]= [c,

], граничные значения которого

c и

вычисляются в силу

с = min{ab, a

, ab,

(14.11)

= max{ab, a

(14.12)

Определение 14.6 (О14.6). Суммой

[a]+[b]= [d]

[a]= [a,

]

[b]= [b,

]

(14.13)

интервальных

чисел

называется

интервальное число [d]= [d,

], граничные значения которого

d и

вычисляются с помощью соотношений

d = min{a +b, a +

, a +b,

+b}= a +b ,

(14.14)

= max{a + b,a +

+ b,

(14.15)

Определение 14.7 (О14.7). Частным от деления

[a]= [f ]

(14.16)

[b]

[a]= [a,

]

[b]= [b,

]

интервальных

чисел

называется

интервальное число [f ]= [f ,

], граничные значения которого

f и

вычисляются в силу выражений

f = min ba , ba ,

Определение

[a]− [b]= [h]

= max

(14.17)

14.8 (О14.8). Разностью

(14.18)

252

интервальных

чисел

[a]= [a,

]

[b]= [b,

]

называется

интервальное число

[h]= [h,

], граничные значения которого

h и

определяются с помощью выражений

h = min{a −b, a −

, a −b,

−b},

(14.19)

h = max{a −b,a −

−b,

−

(14.20)

Определение 14.9 (О14.9). Фиксированное число g имеет

интервальное

представление

[g]=

[g,

], которое

характеризуется

выполнением равенства

g = g .

(14.21)

Утверждение 14.1 (У14.1). Частное от деления интервального

числа

[a]= [a, a]

на

самое

себя

является

интервальное

число

[1a ]= [

a ]

1a ,1

[a]

= [1 ],

(14.22)

[a]

граничные значения которого

в силу (14.17) вычисляются с

помощью соотношений

a ,

= min

(14.23)

= max

(14.24)

Утверждение

14.2 (У14.2). Разностью

интервальных

чисел

[a]= [a, a]и [a]

= [a,

]

[a]−[a]= [0a ]

(14.25)

является интервальное число

[0a ]=

[0a ,

a ], граничные значения

которого 0a ,

в силу (14.14), (14.15) задаются соотношениями

0a = min{a − a, a −

− a,

−

(14.26)

0a = max{a − a, a −

− a,

−

(14.27)

Определение 14.10 (О14.10). Медианой mid[a] интервального

числа

[a]= [a,

]

называется

фиксированное

число

a0 ,

задаваемое

соотношением

mid[a]= a0 = 0.5(

+ a).

(14.28)

Определение 14.11 (О14.11). Интервальным компонентом wid[a]

интервального

числа

[a]= [a,

]

называется

интервальное

число

[∆a]= [∆a,

граничные значения

которого

∆a и

задаются с

∆a

помощью соотношений

∆a = a − a0 ,

= a − a0 ,

(14.29)

∆a

253

Утверждение 14.3 (У14.3). Интервальное число [a]= [a, a] в силу

(14.28), (14.29), а также (14.14), (14.15), (14.21) представимо в виде

аддитивной композиции

[a]= a0 +[∆a],

(О14.12). Медианой mid[a]

(14.30)

Определение

14.12

интервальной

(n ×m)

–

матрицы

[A]= [A,

называется

матрица A0

фиксированными скалярными компонентами A0ij

A0 = row{col(A0ij ; i =

); j =

}

(14.31)

1, n

1, m

где элементы A0ij

матрицы A0 задаются соотношением

A0ij = mid{[Aij ]

= [Aij ,

ij ]}= 0.5(Aij

ij ).

(14.32)

Определение 14.13 (О14.13). Интервальным

матричным

компонентом wid[A]

интервальной матрицы [A]= [A,

]

называется

интервальная матрица [∆A]= [∆A,

], граничные реализации которой

∆A

∆A и

задаются соотношениями

∆A

[∆A]= A − A0 = col{row([∆Aij ]= Aij

− A0ij ; i =

) j =

(14.33)

1, n

1, m

[

− A0 = col{row([

ij ]

− A0ij ; i =

) j =

}

(14.34)

∆A

1, n

1, m

Утверждение

14.4 (У14.4). Интервальная

(n ×m)

– матрица

[A]= [A,

] в

силу

(14.31), (14.33),

(14.34),

а также

(14.32), (14.9)

представима в аддитивной форме

[A]= A0 +[∆A],

(14.35)

где A0 = mid[A], [∆A]= wid[A].

Определение

14.14

(О14.14).

Произведением

интервальных

(n ×m)

– матрицы

[A]= [A,

]и (m ×k )

– матрицы [B]= [B, B]

[A]×[B]= [C]

(14.36)

называется

интервальная

(n ×k) –

матрица

[C]= [C,

]

интервальными

скалярными

элементами

[Cil ]= [Cil ,

Cil

вычисляемыми в силу соотношений

[Cil ]= ∑m

[Aij ][Bij ]; i =

; l =

(14.37)

1, n

1, k

j =i

где произведение [Aij ][Bij ] интервальных чисел определяется в

соответствии с (14.10), (14.11), (14.12) а суммирование этих произведений осуществляется в соответствии с (14.13), (14.14), (П.15).

Определение 14.15 (О14.15). Угловой реализацией (Ac )υ (n ×m) - интервальной матрицы [A]= [A, A]= A0 +[∆A], получаемой в результате υ -й выборки υ =1,2nm из множества мощностью, равной (nm) пар

254

{Aij,

ij }, i =

; j =

граничных значений интервальных скалярных

1, n

1, m

компонентов [Aij

]матрицы [A], называется матрица

(Ac )υ = row{col((Acij )υ {Aij , Aij },i =

); j =

}

(14.38)

1, n

1, m

с фиксированными на этой реализации компонентами.

Утверждение 14.5

(У14.5). Пусть [∆A]= [∆A, ∆A] интервальный

матричный компонент матрицы

[A],

определенной в силу

факторизации в

форме

(14.35), тогда интервальные

компоненты

[∆Aij ]= [∆Aij , ∆

],i =1, n; j =1, m обладают тем свойством, что

∆Aij

,i =

; j =

(14.39)

∆A

1, n

1, m

которое выполняется в силу (14.31), (14.32).

Утверждение 14.6

(У14.6).

Угловые

реализации (∆Ac )υ и

(∆Ac )µ (n ×m) - интервальной матрицы [∆A]= [∆A,

] с

граничными

∆A

компонентами ∆A и

(14.33), (14.34), полученных в результате υ -й

∆A

и µ -й выборок υ, µ =1,2mn в силу (14.38) и свойства (14.39) обладают равными матричными нормами так, что выполняется равенство

	(∆A )		(∆A )	;υ, µ =		.
		=			1,2mn		(14.40)

	c υ		c µ				[D(z)]
Определение 14.16 (О14.16). Интервальным полиномом

степени n называется полином, коэффициенты которого являются интервальными числами так, что он принимает вид

[D(z)]= [a

]zn +[a ]zn−1 +[a

]zn−2 +... +[a

n−1

+[a

]

(14.41)

где [ai ]= [ai ,

i ];i =

0, n

Определение 14.17 (О14.17). Интервальным характеристическим

полиномом ИХП

[D(λ)]

интервальной (n ×n)

- матрицы

[A]= [A, A]

называется интервальный полином степени n, получаемый в силу определения характеристического полинома (n × n) - квадратной

матрицы
det(λI −[A]) = [a	0	]λn +[a ]λn−1		+... +[a	n−1	]λ	+[a	n	]	(14.42)
	0		1		n−1			n
так, что [D(λ)]= det(λI −[A]).										матрицы [A]
При формировании			ИХП	[D(λ)]	интервальной					матрицы [A]

системы необходимо отметить проблему объема вычислений. Очевидно, если размерность матрицы [A] составляет (n × n), тогда

максимальная мощность множества {(A)c} угловых реализаций матрицы [A] составляет 2n×n , минимальная мощность этого множества

составляет 2n , что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Однако независимо от базиса мощность множества {(A)c} угловых реализаций

может быть зафиксировано на уровне 2p , где p – число исходных

255

интервальных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров . Следует также заметить, что в силу формализма правил интервальной арифметики в процессе математических преобразований выражений, содержащих интервальные компоненты, может происходить резкий

рост ширины wid [a ] системных интервальных параметров [a ].

Наибольший вклад в этот рост вносят операции вычисления разности [a ]− [a ] и частного от деления [a ][a ]. Очевидно, в силу

параметризованных представлений a (q)− a (q)= 0 и =1 в том числе и при q = 0 и q =1. Таким образом без нарушения существа

интервальных вычислений они могут быть модифицированы

допущением [a ]− [a ]= 0, [a ][a ]=1.

Приведем несколько способов вычисления коэффициентов ИХП интервальной (n ×n) матрицы [A].

Способ 1. Способ основан на обобщенной теореме Ф. Виета.

Пусть спектр собственных значений интервальной матрицы [A]
σ{[A]}= {[λi ]= [λi ,λi ]: det(λI −[A])= 0;i =1,n}						(14.43)
известен, тогда ИХП (П14.42) представим в форме
[D(λ)]				n	[λi ]),
[D(λ)]	= [a0 ]λn +[a1]λn−1 +... +[an−1]λ +[an ]= ∏(λ −				[λi ]),	(14.44)
				i=1
где [a0 ]= [1,1]=1
Обобщенная теорема Виета устанавливает связь собственных
значений	[λi ] с коэффициентами [ai ];i =			в форме
значений	[λi ] с коэффициентами [ai ];i =		1, n	в форме
[a1]= −∑n λ1 = −tr[A],						(14.45)
	i=1
[a2 ]= ∑n [λi1][λi2 ],						(14.46)
i1=1
i	2	=2
i	3	=3

[a3 ]= − ∑n [λi1][λi2 ][λi3 ];

i1=1 i2=2 i3=3

i1<i2<i3

[an−1]= (−1)n−1						∑n [λi1][λi2 ] [λim−1];
		i1=1
		i	2	=2
		i	(n−1)=n				−1
		i1<i2			< <i(m−1)
[a		]= (−1)n		n			].
[a	n	]= (−1)n		Π[λ			].
	n			i=1		i
				i=1

(14.47)

(14.48)

(14.49)

256

Способ 2. Способ Г. Крамера главных миноров:

[a1]= −tR[A]= − ∑Aij ,∑

(14.50)

Aij

i=1

[ak ]= (−1)k ∑[Mii ],

(14.51)

где

[Mii ]

дополнение (ii)–го

алгебраическое

элемента [Aii]

матрицы [A];

[an ]= (−1)n det[A].

(14.52)

Способ 3. Способ У.Ж.Ж. Леверье:

[ak ]= − 1 ∑k

[ai−1]t2 [Ak −i+1]; k =

; [a0 ]=1

(14.53)

1, n

k i=1

Способ 4. Способ Д.К. Фаддеева:

[ak ]= − 1 tr{[A][Hk −1 ]};k =1,n

(14.54)

Где

]= [A][Hk −1]+[ak ]I;[H0 = I ]

[Hk

(14.55)

В силу выше изложенного (14.32), (14.33), (14.34) допустимо

следующее определение

Определение 14.18 (О14.18). Интервальный матричный

компонент [( )]

[( )]= ( )0 +[∆( )]= ( )0 + [∆( ),

( )],

(14.56)

∆

может быть охарактеризован показателем абсолютной интервальности,

∆

∆I ( )= [∆( )] . (14.57)

Нетрудно видеть, что в силу структуры интервального матричного компонента [∆( )] его Фробениусова норма , а также индуцированные с

индексами р=1 и р=∞ нормы всех угловых реализаций этого компонента оказываются фиксированными так, что становится справедливым равенство

∆	[∆( )] = ∆( ) = ∆( ) .
∆I ( )=	[∆( )] = ∆( ) = ∆( ) .	(14.58)

Это же положение оказывается справедливым для индуцированной нормы с индексом р=2 (спектральной нормы) в силу

справедливости соотношения ( ) 2 ≤ {( )1 ( )∞ }1/ 2 для ее оценки через

нормы с индексами р=1 и р=∞.

Определение 14.19 (О14.19). Интервальный матричный компонент [( )] представленный в форме (14.56) может быть

охарактеризован показателем δI ( ) относительной интервальности задаваемым соотношением

257

δI ( )=	∆I ( )	.	(14.59)
		.	(14.59)
	( )0
	( )0

Последние два определения по существу содержат доказательства следующего утверждения

Утверждение 14.7 (У14.7). Оценки абсолютной и относительной интервальности интервальных компонентов исходного интервального объекта (числа, вектора, матрицы) не являются интервальными числами. ■

В заключении необходимо отметить, что формализм правил интервальной арифметики в процессе приведенных выше преобразований математических выражений содержащих интервальные числа, векторы и матрицы, может наблюдаться заметный рост нормы интервальной части интервального компонента. Этот рост в основном определяется операциями вычитания и деления скалярного интервального элемента соответственного самого из себя и самого на себя, не приводящими соответственно к нулевому и единичному результатам. Тем не менее, параметризованная параметром q форма (14.2) интервального скалярного элемента при любых значениях q в перечисленных выше операциях дает нулевой и единичный результаты, в том числе и при граничных значениях q=0 и q=1. В этой связи при построении интервальных модельных представлений предлагается использование модифицированную версию интервальных

вычислений в которых сделаны допущения о справедливости
выполнения равенств [a]− [a]= 0 и	[a]	=1, что не нарушает существа
	[a]

интервальных вычислений Необходимо отметить также проблемы объема вычислений при

формировании ИХП [D(λ)] интервальной матрицы [F]системы. Если размерность матрицы [F] составляет (n × n), тогда максимальная мощность множества {(F )c} угловых реализаций матрицы [F]

составляет 2n×n , минимальная мощность этого множества составляет

2n , что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Независимо от базиса представления мощность множества {(F )c}

угловых реализаций может быть зафиксирована на уровне 2p , где p –

число исходных интервальных физических параметров. Таким образом целесообразно интервальные вычисления производить не на угловых системных реализациях с накопленной интервальностью, а на угловых реализациях исходных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть, кроме того, заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров.

258

14.2. Интервальные математические модели динамических объектов

Проблемы, внесенные в заголовок параграфа, будем решать на примере непрерывных динамических объектов применительно к моделям «вход–выход» и «вход–состояние–выход» линейных НДО.

Определение 14.20 (О14.20). Дифференциальное уравнение отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальным дифференциальным уравнением, если являются интервальными его коэффициенты, так, что оно имеет представление

[a0 ]y(n) (t)+[a1]y(n−1) (t)+...+[an ]y(t)=[b0 ]g(m) (t)+[b1]g(m−1) (t)...+[bm ]g(t)(14.60)

Определение 14.21 (О14.21). Передаточная функция отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной передаточной функцией, если являются интервальными коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя, так, что она имеет представление

[Φ(s)]=

]sm + [b

]sm−1... + [b

−1

]s + [b

]

(14.61)

]

]sn + [a ]sn−1 + ... + [a

n−1

]s + [a

Определение 14.22 (О14.22). Дифференциальная модель вида (9.10) отношения «вход–состояние–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной, если являются интервальными матричные компоненты этой дифференциальной модели, так, что представима в виде

x(t) = [A]x(t) + [B]u(t), x(0); y(t) = [C]x(t).	(14.62)

Примечание 14.2 (П14.2). Следует заметить, что интервальное представление отношения «вход–состояние–выход» вида (14.62) является данью общности записи, в большинстве практических случаев интервальное представление отношения «вход–состояние–выход»

имеет вид	(14.63)
x(t) = [A]x(t) + [B]u(t), x(0); y(t) = Cx(t).	(14.63)

Остановимся на вычислительных особенностях построения интервальных моделей отношения ВСВ вида (14.61)–(14.62) на основе интервальной передаточной функции (14.61) с помощью алгоритма 9.1.

Напомним, что одним из пунктов этого алгоритма с тем, чтобы построить представление передаточной функции, записанной по

259

отрицательным степеням переменной «s», а также подготовить представление к возможному использованию правила Мейсона не касающихся контуров, является деление всех членов полиномов числителя и знаменателя на член знаменателя, содержащий переменную «s» в наивысшей степени. Очевидно, в случае интервального представления передаточной функции это деление будет содержать деление интервальных чисел, которое неизбежно приведет к расширению интервалов интервального представления результирующих значений коэффициентов конструируемого представления.

В этой связи будет полезна информация о росте относительной интервальности результатов простейших операций над интервальными числами, приведенная в таблице 14.1.

Таблица 14.1.

δI [(#)]%	0	5	10	15	20	25	30	50
δI [( )]−1 %	0	5	10	15	20	25	30	50

δI {[( )][(•)]}%	0	5	19.8	29.33
δI {[( )][(•)]}%	0	5	19.8	29.33	38.46	47.05	55.04	80

δI {[(•)][( )]−1}%	0	10.25	21	32.25	44.4	56.25	69	125

δI {[( )][(•)][( )]−1}%	0	15.78	33.3
δI {[( )][(•)][( )]−1}%	0	15.78	33.3	52.76	61.32	98.49	125.1	262.5

Оценка относительной интервальности несет большую содержательную нагрузку, так как позволяет оценить те пределы относительной интервальности параметров, при которых факт учета или не учета их интервальности оказывается корректным и обязательным.

Остановимся дополнительно на возможности управлять относительной интервальностью матричных компонентов интервального представления модели ВСВ непрерывного ДО (14.63) на примере матрицы состояния. Для этих целей сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 14.8		(У14.8). Пусть интервальная матрица	[Aδ ],
характеризующаяся значением δA относительной интервальности,
представима в	форме	[Aδ ]= [A]+ BK , что в развернутой	форме
представляется	записью	Aδ0 + [∆Aδ ]= A0 + [∆A]+ BK , откуда следуют

равенства Aδ0 = A0 + BK,[∆Aδ ]= [∆A], причем пара матриц (A0 , B) полностью управляемая, тогда требуемое значение δA относительной

интервальности матрицы [Aδ ] может быть обеспечено выбором

матрицы K .

□

260

14.2. Найти

Доказательство утверждения строится на определении оценки относительной интервальности, в соответствии с которым получаем

цепочку соотношений

δA =

[∆Aδ ]

[∆A]

■

Aδ0

A0 + BK

В заключение следует сказать, что аналогичным рассмотренному случаю непрерывных объектов образом строятся и исследуются интервальные математические модели дискретных линейных объектов.

Примеры и задачи

14.1. Найти результаты сложения, вычитания, перемножения и деления интервальных чисел [a]= [4;6] и [b]= [− 2;5];

сумму интервальных векторов

[x]= ([1;5][, 2;4][, 3;7])T и [y]= ([− 3;7][, 4;−6][, 5;9])T ;

14.3.

Найти

интервальное

скалярное

произведение

интервальных векторов примера 14.2;

p −ые

нормы

для

14.4.

Найти

интервальные

p =1,2,∞интервального вектора [x]= ([1;5][, 2;4][, 3;7])T ;

14.5. Найти произведение интервальной матрицы[A]

на вектор

[x] [A]= [− 5;3]

[4;6]

[x]= ([1;5][, 3;7])T

;

[− 2;8]

[1;3]

[A−1]

14.6.

Найти

интервальную

матрицу

обратную

[− 5;3]

[4;6]

;

интервальной матрице [A]=

[1;3]

14.7. Определить число угловых реализаций интервальной

матрицы примера 14.6;

Acj интервальной

14.8.

Сформировать

угловые

реализации

матрицы [A]=

[− 5;3]

[4;6]

[1;3]

составляющуюmid[a]= a0

14.9.

Найти

медианную

интервальный

компонент

wid[a]= [∆a] интервального числа

[a]= [15;39];

;

составляющуюmid[x]= x0

14.10.

Найти

медианную

интервальный

компонент wid[x]= [∆x],

интервального вектора

[x]

примера 14.2;

261

14.11.		Найти		медианную составляющую		mid[A]= A0 и
интервальный		компонент			wid[A]= [∆A] интервальной матрицы
	4	3	6	5	;

[A]= [A; A]=			;
	2	1	4	3

14.12.Вычислить оценку δI a относительной интервальности интервального числа[a]= [15;39];

14.13.Вычислить оценку δI x относительной интервальности

интервального вектора [x]= ([1;5][, 2;4][, 3;7])T ;

14.14. Вычислить оценку δI A относительной интервальности
интервальной матрицы [A]= [4;6]	[− 3;5]		;
	[1;3]
[− 2;4]

14.15. На основе интервальной матрицы [A] примера 14.14
сформировать интервальную матрицу [Aδ ]		=	[A]+ BK , где B = col{0;1},

путем выбора матрицы K такую, чтобы оценка δI Aδ	ее относительной
интервальности не превышала значения 0.1;
14.16. На основе интервальной матрицы [A] примера 14.14
сформировать интервальную матрицу [Aδ ]= [A]+ BK , где B = col{0;1},
путем выбора матрицы K такую, чтобы оценка δI Aδ	ее относительной
интервальности не превышала значения 0.01.	□

Решение вариантов задач


Решение задачи 14.9. Найти медианную составляющуюmid[a]= a0
и интервальный		компонент wid[a]= [∆a]	интервального числа
[a]= [15;39]
В соответствии с (14.29) и (14.30) записываем цепочку
равенств	[a]= [a,a]= a0 + [∆a,∆a]= [15;39], из		которой становятся

справедливыми соотношения:

a0 = 0.5(a + a)= 0.5(15 + 39)= 27;

∆a = a − a0 =15 − 27 = −12;∆a = a − a0 = 39 − 27 =12.

Тогда становится справедливым представление

[a]= [15;39]= 27 + [−12;12]. Задача решена. ■

262

15. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

15.1. Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры

Современная наука и технологии ставят своими задачами решения новых более трудных задач для сложных динамических систем. Сегодня уже не достаточно информации для описания определенного объекта сосредоточенными значениями. В этой связи становится актуальным использование интервальной алгебры для описания динамических объектов и систем. Она позволяет задавать интервалами возможные значения параметров без указания какого-либо распределения возможных значений числа внутри заданного интервала.

Определение 15.1. Пусть числа ρ, ρ такие, что ρ, ρ R , ρ ≤ ρ , и при этом задают вещественное число ρ в параметризованной относительным параметром q [0,1] форме

ρ(q)= (1− q)ρ + q			.				(15.1)
ρ(q)= (1− q)ρ + q		p	.			[ρ ]	(15.1)
Тогда вещественное интервальное число						[ρ ]	образуется
экстремальными реализациями этого числа
ρ = min{ρ (q); q [0,1]}, ρ = max{ρ (q); q [0,1]}							(15.2)
q				q
так, что оно может быть записано в форме
[ρ ]= [ρ, ρ]							(15.3)
Определение 15.2.				Интервальным	комплексным числом
[γ = ρ + jδ ]	называется			комплексное	число, у		которого

интервальными являются вещественные и мнимые части так, что становится справедливым представление


[γ = ρ + jδ ]= [ρ]+ j [δ					],	(15.4)
где [ρ ]= [ρ,		], [δ ]= [δ,		].
	ρ		δ
			Интервальным вектором [x] размерности n
Определение 15.3.
называется вектор с интервальными компонентами						[xi ]= [xi ,		]	так,
							xi
что становится справедливой запись
[x]= col{[xi ]; i =1, n }					Интервальной (n ×m) –	(15.5)
Определение 15.4.						матрицей			[A]

называется матрица, составленная из интервальных скалярных компонентов

[Aij ]= [Aij ,		ij ], [A]= row{col([Aij ]; i =		) j =		}	(15.6)
	A		1, n		1, m

при этом справедливым оказывается представление

[A]= [A,

(15.7)

где [A]= row{col([Aij

]; i =

) j =

(15.8)

1, n

1, m

[

]= row{col([

ij ]; i =

) j =

(15.9)

1, n

1, m

Определение 15.5. Произведением

[a] [b]= [c]

[a]= [a,

] и

[b]= [b,

]

(15.10)

интервальных чисел

называется интервальное

число [c]= [c,

], граничные значения которого c и

вычисляются в

силу

с = min{ab, a

(15.11)

= max{ab, a

(15.12)

Определение 15.6. Суммой

[a]+[b]= [d

]

[a]= [a,

] и

[b]= [b,

]

(15.13)

интервальных чисел

называется интервальное

число [d]= [d,

], граничные значения которого d и

вычисляются с

помощью соотношений

d = min{a +b, a +b,

+b,

}= a +b ,

(15.14)

= max{a + b,a +

+ b,

(15.15)

Определение 15.7. Частным от деления

[a]= [f ]

(15.16)

[b]

[a]= [a,

] и

[b]= [b,

]

интервальных чисел

называется интервальное

число [f ]= [f ,

], граничные значения которого f и

вычисляются в

силу выражений

a , a

f = min

a , a

, f = max

(15.17)

b b

Определение 15.8. Разностью

[a]−[b]= [d]

[a]= [a,

] и

[b]= [b,

]

(15.18)

интервальных чисел

называется интервальное

число [h]= [h,

], граничные значения которого h и

определяются с

помощью выражений

h = min{a −b, a −

−b,

−

(15.19)

h = max{a −b, a −

−b,

−

(15.20)

Определение 15.9. Фиксированное число g имеет интервальное

представление

[g]= [g,

], которое

характеризуется

выполнением

равенства

g = g .

(15.21)

Утверждение

15.1. Частное

от деления

интервального

числа

[a]= [a, a]

на самое себя является интервальное число

[1a ]= [1a ,1a ]

[a]= [1 ],

(15.22)

[a]

граничные значения которого

15.17) вычисляются с

1a в силу (

помощью соотношений

1a = min

(15.23)

1a = max

(15.24)

[a]= [a,

] и

Утверждение 15.2. Разностью интервальных чисел

[a]= [a,

]

[a]−[a]= [0a ]

(15.25)

является

интервальное

число [0a ]= [0a ,

a ],

граничные значения

которого 0a ,

в силу (15.14), (15.15) задаются соотношениями

0a = min{a − a, a −

− a,

−

(15.26)

0a = max{a − a,a −

− a,

−

(15.27)

[a]

Определение

15.10. Медианой mid

интервального

числа

[a]= [a,

]

называется

фиксированное

число

a0 ,

задаваемое

соотношением

mid[a]= a0 = 0.5(

+ a).

(15.28)

Определение 15.11. Интервальным компонентом wid [a]

интервального

числа

[a]= [a,

]

называется

интервальное

число

[∆a]= [∆a,

граничные значения которого

∆a и

задаются с

∆a

помощью соотношений

∆a = a − a0 ,

= a − a0 ,

(15.29)

∆a

Утверждение 15.3. Интервальное число [a]= [a, a] в силу ( 15.28),

(15.29), а также (15.14), (15.15), (15.21) представимо в виде аддитивной композиции

[a]= a0 +[∆a],

(15.30)

Определение 15.12. Медианой mid[a]

интервальной (n ×m) –

матрицы [A]= [A,

], называется матрица

A0 с фиксированными

скалярными компонентами A0ij

A0 = row{col(A0ij ; i =

); j =

}

(15.31)

1, n

1, m

где элементы A0ij

матрицы A0 задаются соотношением

A0ij = mid{[Aij

]= [Aij ,

ij ]}= 0.5(Aij +

ij ).

(15.32)

Определение 15.13. Интервальным матричным компонентом

wid[A] интервальной матрицы

[A]= [A, A] называется интервальная

матрица [∆A]= [∆A,

], граничные реализации которой

∆A и

∆A

задаются соотношениями

[∆A]= A − A0 = col{row([∆Aij

]= Aij − A0ij ; i =

) j =

(15.33)

1, n

1, m

[

− A0 = col{row([

ij − A0ij ; i =

) j =

}

(15.34)

∆A

1, n

1, m

Утверждение 15.4. Интервальная (n ×m) – матрица [A]= [A, A] в

силу (15.31), (15.33), (15.34), а также (15.32), (15.9) представима в аддитивной форме

[A]= A0 +[∆A],

(15.35)

где A0 = mid[A], [∆A]= wid[A].

интервальных (n ×m)

Определение

15.14. Произведением

–

матрицы [A]= [A,

]и (m ×k ) – матрицы [B]= [B,

]

[A]×[B]= [C]

(15.36)

называется

интервальная

(n ×k)

–

матрица

[C]= [C,

]

интервальными

скалярными

элементами

[Cil ]= [Cil ,

Cil

вычисляемыми в силу соотношений

[Cil ]= ∑m

[Aij ][Bij ]; i =

; l =

(15.37)

1, n

1, k

j =i

[Aij ][Bij ]

где произведение

интервальных чисел

определяется

соответствии с (15.10), (15.11), (15.12) а суммирование этих произведений осуществляется в соответствии с (15.13), (15.14), (П.15).

Определение 15.15. Угловой реализацией (Ac )υ (n ×m) - интервальной матрицы [A]= [A, A]= A0 +[∆A], получаемой в результате

υ -й

выборки

υ =

1,2nm

из

множества

мощностью, равной (nm) пар

{Aij,

ij }, i =

; j =

граничных значений интервальных скалярных

1, n

1, m

компонентов [Aij

]матрицы [A], называется матрица

(Ac )υ = row{col((Acij )υ {Aij , Aij },i =

); j =

}

(15.38)

1, n

1, m

с фиксированными на этой реализации компонентами.

Утверждение

15.5.

Пусть

[∆A]= [∆A, ∆A]

интервальный

матричный

компонент

матрицы

[A], определенной в силу

факторизации в

форме

(15.35), тогда интервальные компоненты

[∆Aij ]= [∆Aij , ∆

],i =1, n; j =1, m обладают тем свойством, что

∆Aij

,i =

; j =

(15.39)

∆A

1, n

1, m

которое выполняется в силу (15.31), (15.32).

(∆Ac )µ (n ×m) -

Утверждение 15.6. Угловые реализации (∆Ac )υ и

интервальной матрицы [∆A]= [∆A,

]

с граничными компонентами ∆A

∆A

и ∆A (15.33), (15.34), полученных в результате υ -й и µ -й выборок

υ, µ =

1,2mn

в силу (

15.38)

и свойства (15.39) обладают

равными

матричными нормами так, что выполняется равенство

(∆A )

;υ, µ =

1,2mn

(15.40)

c υ

c µ

Определение

15.16. Интервальным полиномом [D(z)] степени n

называется

полином,

коэффициенты

которого

являются

интервальными числами так, что он принимает вид

[D(z)]= [a

]zn

+[a ]zn−1 +[a

]zn−2 +... +[a

n−1

+[a

]

(15.41)

где [ai ]= [ai ,

i ];i =

0, n

Определение

15.17.

Интервальным

характеристическим

полиномом ИХП

[D(λ)] интервальной (n ×n)

- матрицы

[A]= [A, A]

матрицы
det(λI −[A]) = [a	0	]λn +[a ]λn−1		+... +[a	n−1	]λ +[a	n	]	(15.42)
	0		1		n−1		n
так, что [D(λ)]= det(λI −[A]).				[D(λ)]	интервальной				матрицы [A]
При формировании			ИХП	[D(λ)]	интервальной				матрицы [A]

может быть зафиксировано на уровне 2p , где p – число исходных

рост ширины wid [a ] системных интервальных параметров [a ].

параметризованных представлений a (q)− a (q)= 0 и =1 в том числе и при q = 0 и q =1. Таким образом без нарушения существа

интервальных вычислений они могут быть модифицированы допущением [a ]− [a ]= 0, [a ][a ]=1.

Приведем несколько способов вычисления коэффициентов ИХП интервальной (n ×n) матрицы [A].

Способ 1. Способ основан на обобщенной теореме Ф. Виета.

Пусть спектр собственных значений интервальной матрицы [A]
σ{[A]}= {[λi ]= [λi ,		i ]: det(λI −[A])= 0;i =		}	(15.43)
	λ		1,n
известен, тогда ИХП (П.42) представим в форме
				n
[D(λ)]= [a0 ]λn +[a1]λn−1 +... +[an−1]λ +[an ]= ∏(λ −[λi ]),					(15.44)

i=1

где [a0 ]= [1,1]=1

Обобщенная теорема Виета устанавливает связь собственных значений


[λi ] с коэффициентами [ai ];i =			в форме
[λi ] с коэффициентами [ai ];i =		1, n	в форме
[a1	]= −∑n λ1 = −tr[A],			(15.45)
	i=1
[a2	]= ∑n [λi1 ][λi 2 ],			(15.46)
	i1=1
	i 2=2
	i3=3

[a3 ]= − ∑n [λi1][λi2 ][λi3 ];

i1=1
i2	=2
i3	=3
i1<i2<i3
[an−1]= (−1)n−1		∑n [λi1][λi2 ] [λim−1];

i1=1 i2=2

i(n−1)=n−1

i1<i2< <i(m−1)

[an ]= (−1)n iΠn [λi ].

Способ 2. Способ Г. Крамера главных миноров:

(15.47)

(15.48)

(15.49)

	n	n
[a1	]= −tR[A]= − ∑Aij ,∑			,	(15.50)
[a1	]= −tR[A]= − ∑Aij ,∑		Aij	,	(15.50)
	i=1	i=1
	k
[ak ]= (−1)k ∑[Mii ],					(15.51)

i=1

где [Mii ] алгебраическое дополнение (ii)–го элемента [Aii] матрицы

[A];


[an ]= (−1)n det[A].				(15.52)
Способ 3.	Способ У.Ж.Ж. Леверье:
[ak ]= − 1 ∑k [ai−1]tr[Ak −i+1]; k =			; [a0 ]=1	(15.53)
		1,n
k i=1
Способ 4.	Способ Д.К. Фадеева:

[ak ]= −	1 tr{[A][Hk −1 ]};k =		,	(15.54)
		1,n
	k
где [Hk ]= [A][Hk −1]+[ak ]I;[H0 = I ]				(15.55)

В силу выше изложенного (15.32), (15.33), (15.34) допустимо
следующее определение
Определение 15.18. Интервальный матричный компонент [( )]
[( )]= ( )0 +[∆( )]= ( )0 + [∆( ), ∆( )],	(15.56)

может быть охарактеризован показателем абсолютной интервальности,

∆	[∆( )] .
∆I ( )=	[∆( )] .	(15.57)

Нетрудно видеть, что в силу структуры интервального матричного компонента [∆( )] Фробениусова, а также индуцированные с

∆	[∆( )] =	∆( ) =	∆( ) .
∆I ( )=				(15.58)

Это же положение оказывается справедливым для индуцированной нормы с индексом р=2 (спектральной нормы) в силу справедливости

соотношения ( ) 2 ≤ {( )1 ( )∞ }1/ 2 для ее оценки через нормы с

индексами р=1 и р=∞.

Определение 15.19. Интервальный матричный компонент [( )]

представленный в форме (15.56) может быть охарактеризован показателем δI ( ) относительной интервальности задаваемым

соотношением

δI ( )= ∆(I )( ) . (15.59)

Последние два определения по существу содержат доказательства следующего утверждения

Утверждение 15.7. Оценки абсолютной и относительной интервальности интервальных компонентов исходного интервального объекта (числа, вектора, матрицы) не являются интервальными числами.■

результатам. Тем не менее, параметризованная параметром q форма (15.2) интервального скалярного элемента при любых значениях q в перечисленных выше операциях дает нулевой и единичный результаты, в том числе и при граничных значениях q=0 и q=1. В этой связи при построении интервальных модельных представлений авторы использовали модифицированную версию интервальных вычислений в

которых сделаны допущения о справедливости выполнения равенств

[a]− [a]= 0 и	[a]	=1, что не нарушает существа интервальных
	[a]

вычислений Необходимо отметить также проблемы объема вычислений при

составляет 2n×n , минимальная мощность этого множества составляет

2n , что имеет мес то при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Независимо от базиса представления мощность множества {(F )c}

угловых реализаций может быть зафиксирована на уровне 2p , где p –

??? 15.2. Интервальные модели «вход-состояние-выход» динамических

объектов

Обратимся к способам построения моделей «вход-состояние- выход» (ВСВ) интервальных моделей (ИМ) динамических объектов.

Способ 1. Построение модели ВСВ ИМ ОУ по передаточной функции с интервальными коэффициентами

Y (s)

M (s)

0 sm +

1sm−1

+...+

m−1s +

Φ(s) = U (s)

D(s)

0 sn +

1sn−1

+...+

n−1s +

, n ≥ m

(15.60)

x(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t) + Du(t)

Алгоритм

1. Представление передаточной функции Φ(s) по отрицательным степеням s путём деления всех элементов передаточной функции на член a0 sn , содержащей s в наибольшей степени

b s−µ + b s−(µ+1) +... + b

s−(n−1)

+ b s−n

(2)

Φ(s) =

µ−1

1+ a s−1

+ a

s−2 +... + as−(n−1)

+ a

s−n

где bj =

; j =

; ai =

; j =

; µ = n − m

o, m

1,u

2. Учесть, что s−1 = 1s есть передаточная функция интегратора

xi	∫	→	xi	1	→
		xi		1	xi
→			или →
				s
				s

3. Пользуясь правилом Мейсона, построить структурную реализацию передаточной функции на интеграторах в двух возможных базисах:

3.1. (Положим m = 3;n = 4 )

Φ(s) =	b s−1 + b s−2 + b s−3 + b s−4				(3)
Φ(s) =	1+ a s−1	+ a s−2	+ a s−3	+ a s−4	(3)
	0	1	2	3
	1	2	3	4

3.2.

4. «Отметить» построенные структурные представления передаточной функции, построенной по отрицательным степеням s , для чего в определённом порядке выходам интеграторов приписать переменные.

xi (i =1, n) , а непосредственным входам интеграторов

– производные xi (τ = 1,4)

5. Списать с отмеченных структурных реализаций матрицы A, B,C, D

Для пункта 3.1. и 3.2. составим уравнения состояния и выхода по которым построим матрицы А, В, С, D

x1 = 0 x1 +1 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 u x2 = 0 x1 + 0 x2 +1 x3 + 0 x4 + 0 u

x3 = 0 x1 +0 x2 +0 x3 +1 x4 +0 u x4 = −a4 x1 −a3 x2 −a2 x3 −a1x4 +1 u

y = b3 x1 + b2 x2 + b1 x3 + b0 x4 + 0 u x = Ax + Bu; y = Cx + Du

	0	1	0	0		0
	0	0	1	0
где A =					; B = 0		: C = [b3 b2 b1 b0 ]
	0	0	0	1			D = [0]
						0
− a4		− a3	− a2	− a1		1

для 3.2.

x1 = 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 − a4 x4 + b3u x2 =1 x1 + 0 x2 + 0 x3 − a3 x4 + b2u x3 = 0 x1 +1 x2 + 0 x3 − a2 x4 + b1u x4 = 0 x1 + 0 x2 +1 x3 − a1 x4 + b0u y = 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 +1 x3 + 0 u x = Ax + Bu; y = Cx + Du

x = Ax + Bu; y = Cx + Du

	0	0	0	− a		b
					4	3	: C = [0 0 0 1]
A =	1	0	0	− a3		: B = b2	: C = [0 0 0 1]
	0	1	0	− a2			D = [0]
	0	1	0	− a2		b1	D = [0]
	0	0	1	− a1		b0

(4)

(5)

(6)

(7)

Пример

Построить (A, B,C, D) -представление ОУ по передаточной функции

Φ(s) =	10(0,1s +1)		(8)
	0,25s2 + 0,5s	+1

Решение

		s	+10	4	1	+	40	1
					s			2
1.	Φ(s) =			=				s		(9)
		0,25s2	+ 0,5s +1			1			1
				1+ 2			+ 4
						s			s2

2. Структурные реализации Φ(s)

2.1.

x =	Ax + Bu : y = Cx + Du				(10)

где	0	1	0	: C = [40	4]: D = [0]
где	A =		: B =	: C = [40	4]: D = [0]
	− 4	− 2	1

2.2.

x = Ax + Bu : y = Cx + Du					(11)

0	− 4	40		: C = [0 1]: D = [0]
A =		: B =		: C = [0 1]: D = [0]
1	− 2		2

II. Построение (A, B,C, D) -представления в физическом базисе
τS +1						K
Φ(s) = WКЗ (s)WК (s) = TS +1									(12)
Φ(s) = WКЗ (s)WК (s) = TS +1	Tk	2	S	2	+	ξ	+	1	(12)
	Tk		S			2 Tk S		1

1. Запись передаточных функций звеньев по отрицательным степеням

Φ(s) =

(13)

2ξ

T 2

S 2

x = Ax + Bu : y = Cx	(14)

2. Считывание матричных компонентов с отмеченных структурных схем


		0		1
		0		1
		1		2ξ
A =	−	1	−	2ξ
A =	−	T 2	−	T
		T 2		T
		k		k
		0		0
		0		0

1−

: B

: C

T 2

−

1 k

= [1 0 0]	(15)
= [0]

Задание.

Построить (A, B,C, D) -представление по передаточным функциям:

Φ(s) =

10(s +1)

в двух базисах;

0,1s2 + 0,4s +1

Φ(s) =

0,25s +1

в физическом базисе;

0,25s +1

0,05s2 + 0,2s +1

3. 3. Φ(s) =

5s +1

;

(0,25s +1)(s +1)

Φ(s) =

2s +1

в физическом базисе

(2s +1)s

0,1s +1

Примеры и задачи

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.1 (ОП1.1). Пусть		функция	f (t)
принадлежит функциональному	пространству	Lp ,	где
p =1 ,T ={t :−T 2 ≤ t ≤T 2}, то		T
p =1 ,T ={t :−T 2 ≤ t ≤T 2}, то	есть она имеет	ограниченную

абсолютную норму, иначе говоря, является интегрируемой абсолютно

в том смысле, что

T∫2 f (t)dt = const < ∞.

−T2

Тогда на интервалеT ={t :−T2 ≤ t ≤T2} представима бесконечным дискретным рядом Фурье

f (t)= ∑∞ Ck e jkωt , где ω = 2πT ,

k=−∞

(П1.1)

функция f (t)

(П1.2)

при этом коэффициенты Сk разложения вычисляются по правилам вычисления скалярных произведений элементов функционального

пространстваLp	в виде интегралов Эйлера – Фурье
T
Ck =T −1 T∫2f (t)e− jkωt dt .			□(П1.3)
−T 2				f (t)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.2 (ОП1.2). Пусть			функция	f (t)
принадлежит	функциональному	пространству	Lp ,	где
p =1 ,T ={t :− ∞ < t < +∞}, то есть			T
p =1 ,T ={t :− ∞ < t < +∞}, то есть		она имеет	ограниченную

абсолютную норму. Иначе говоря, функция является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

+∞∫	f (t)	dt = const < ∞ .			(П1.4)

−∞				T ={t :− ∞ < t < +∞}	функция f (t)
Тогда на			интервале
представима обратным интегралом Фурье
			+∞
f (t)= (2π )−1 ∫F(jω)e jωt dω ,					(П1.5)
где F(jω)			−∞
			ищется с помощью прямого интеграла Фурье
F(jω)= +∞∫ f (t)e− jωt dt.					(П1.6)
		−∞	интегральное		преобразование
Тогда
F{f (t)}= +∞∫ f (t)e− jωt dt = F(jω)				именуется прямым	преобразованием
	−∞			интегральное	преобразование
Фурье,

267

+∞
F −1{F(jω)}= (2π )−1 ∫F(jω)e jωt dω = f (t)	именуется	обратным
−∞
преобразованием Фурье.		□
При этом f (t) называется оригиналом, а F(jω)		называется

образом (преобразованием) Фурье интегрируемой абсолютно функции f (t). Пару {f (t), F(jω)} называют взаимными трансформантами

Фурье.
ФункцияF(jω) мнимого	аргумента	является		комплексным
сплошным частотным спектром функции		f (t),	составленным				из
комплексных гармоник e jωt	с амплитудой		F(jω)		и	фазой

ϕ(ω)= arg{F(jω)}				f (t) такова,
УТВЕРЖДЕНИЕ П1.1 (УП1.1). Пусть функция							что
f (t)≡ 0 при - ∞ < t < 0, f (t)= f (t)≠ 0 при 0 ≤ t < ∞ и			при этом			она	не

принадлежит функциональному пространству LTp , где p =1 ,T ={t :− ∞ < t < +∞} в силу того, что она не имеет ограниченную

абсолютную норму, иначе говоря, не является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

lim

τ∫

f (t)

dt = lim τ∫

f (t)

dt = ∞.

(П1.7)

τ →∞

−∞

f1(t)

Пусть

функция

такова,

что

f1(t)≡ 0 при - ∞ < t < 0, f1(t)= f (t)e−ct ≠ 0 при 0 ≤ t < ∞ и при этом она

принадлежит	функциональному	пространству	Lp ,	где
p =1 ,T ={t :− ∞ < t < +∞} в силу того,			T	c > 0
		что она при некотором

имеет ограниченную абсолютную норму, иначе говоря, является

интегрируемой абсолютно в том смысле, что

∞∫

f1(t)

dt = ∞∫

f (t)

e−ct dt = const < ∞.

(П1.8)

−∞

(t)}= F1(jω)

функции f1(t)

Тогда преобразование Фурье F{f1

порождает преобразование Лапласа L{f

(t)}= F(s),

где

s = c + jω,

функции

f (t) с абсциссой сходимости c.

□■

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.3(ОП1.3). Прямым преобразованием

Лапласа

функции f (t)

действительного

аргумента

t с

абсциссой

сходимости c называется интегральное преобразование

L{f (t)}= ∞∫ f (t)e−st dt = F(s).

□(П1.9)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.4(ОП1.). Обратным преобразованием

Лапласа функции F(s) комплексного аргумента s = c + jω называется интегральное преобразование

268

	c+ j∞
L−1{F(s)}= (2πj)−1	∫F(s)est ds = f (t).	□(П1.10)

c− j∞

В (П1.9) и (П1.10) f (t) – оригинал с абсциссой сходимости c , F(s) – лапласов образ (преобразование Лапласа, изображение Лапласа) функции f (t) действительного аргумента t.

ПРИМЕЧАНИЕ П1.1(ПРП1.1). Нетрудно понять, что преобразование Лапласа существует только для тех функций f (t),

абсцисса сходимости которых конечна. В этой связи существуют функции, которые не преобразуемы по Лапласу. Примером такой

функции является функция f (t)= et2 .

Основные свойства преобразования Лапласа

Таблица П1.1.

Свойство

преобра-

Оригинал f (t)

Изображение

зования

Лапласа

F (s)= L{f (t )}

(ПЛ)

1. Линейность ПЛ

f (t)= a f1(t) + b f2 (t) ,

F(s)= a F1(s) + b F2 (s)

a,b −константы

2.Правило

ПЛ

от

а)

f (t)

а)L{f (t)}= sF(s) − f (0)

вычисление

(r)

б)

f (t) , r ≥1

производной

от

L{f r (t)}= sr F(s) − sr−1 f (0) −

оригинала

по

− s

r−2

− f

(r−1)

(0)

времени

f (0) −

3. Правило

а)∫ f (t)dt = f(−1)(t)

a) L{f(−1)(t)}= F(s)

(−1)

(0)

вычисление ПЛ от

интеграла от

б)

оригинала по

f(−k )(0)

L{f(−r )(t)}= F(s)

времени

∫∫ ∫ f (t)dtdt dt = f(−r )(t)

+ ∑

– r − кратный интеграл

k=1

4.Правило

f (at) , (a > 0)

L{af (t)}=

изменения масштаба

5. Правило

f (t −b), (b > 0)

L{f (t − b)}= e−bs F(s)

вычисление ПЛ от

оригинала со

сдвинутым

аргументом

6. Правило

L{eat f (t)}=

формирование

eat f (t)

F(s − a)

изображения со

сдвинутым

269

комплексным

аргументом

7. Теорема о

lim f (t) =?

lim f

(t) = lim sF(s)

начальном значении

оригинала

t→0

s→∞

8. Теорема о

конечном значении

lim f (t)=?

lim f (t)=lim sF(s)

оригинала

t→∞

s→0

9. Правило

f (t)=

L{f (t)}= F(s)=

формирование

изображения от

∫ f1(τ) f2 (t −τ)dτ

F1(s)F2 (s)

свертки оригиналов

10. Правило

f (t)= f1(t)f2 (t)

L{f (t)}= F(s)=

формирования

изображения в

(2πj)−1

c+ j∞

(s −σ )F2 (σ )dσ

форме свертки

∫F1

изображений

c− j∞

сепаратных

оригиналов

11. Правило

а) f

(t)=

∂

g(t,α)

а)

формирование

∂

∂α

L{f (t)}= F(s)

изображения

G(s,α)

∂α

производной и

б)

f (t)= ∫g(t,α)dα

б)

интеграла оригинала

L{f (t)}= F(s)

по параметру α ,

= ∫G(s,α)dα

независящему от

аргументов t и s

Изображения Лапласа оригиналов - типовых воздействий

Таблица П.1.2.

Оригинал

Изображение

№

f (t)

L{f (t)}= F

(s)

f (t) =δ(t) – дельта функция

L{δ(t)}= F(s)=1

f (t) =1 – единичное

L{1}= F(s)=1/ s

воздействие

f (t) =tn – степенное

L{tn }= F(s)= n! s(n+1)

воздействие

f (t) = eλ t –

L{eλt }= F(s)=(s − λ)−1

экспоненциальное воздействие

f (t) = eλ ttn экспоненциально

L{eλttn }= F(s)= n! (s − λ)n+1

степенное воздействие

270

f (t) =sinω t -

L{sinωt}= F(s)=

синусоидальное гармоническое

s2 +ω2

воздействие

f (t) =cosω t –

L{cosωt}= F(s)=

косинусоидальное

s2 +ω2

гармоническое воздействие

f (t) =e

λt

sinω t

–

L{eλt sinωt}= F(s)=

(s −λ)2 +ω2

затухающее синусоидальное

воздействие

(λ < 0)

f (t) =e

λt

cosω t

–

L{eλ t cosωt}= F (s)=

s −λ

(s −λ)2 +ω2

затухающее косинусоидальное

воздействие

(λ < 0)

10.

f (t)= g(t)sinωt

–

L{g(t)sinωt}= F(s)

G(s − jω)−

синусоидально-модулированное

2 j − G(s + jω)

воздействие

11.

f (t)= g(t)cosωt

–

L{g(t)cosωt}= F(s)=

G(s − jω)+

косинусоидально-

+ G(s + jω)

модулированное воздействие

12.

f (t)=

sinωt

–

−π s

}= F(s)=

+ e ω

демодулированное воздействие

sinωt

s2 + ω2

1 − e

−π s

271

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРАНА)

КОНЦЕПЦИЯ П2.1(КП2.1). Прежде чем вводить Z – преобразование и изучать его свойства, подойдем к этой проблеме,

опираясь на некоторую аппаратную техническую среду и

преобразование Лапласа.

Пусть непрерывный сигнал f (t), преобразуемый по Лапласу, в

некоторой аппаратной технической среде претерпевает двухфазное преобразование. Первая фаза преобразования состоит в том, что с

интервалом дискретности длительности ∆t	из сигнала	f (t)
формируется дискретная выборка
f (k∆t): f (0), f (∆t), f (2∆t)... f ((k −1)∆t), f (k∆t), f ((k +1)∆t)...		(П2.1)
со значениями f (k∆t)= f (t)\|t=k∆t , компактная форма записи которой
имеет вид
f (k): f (0), f (1), f (2)... f (k −1), f (k), f (k +1)...,		(П2.2)
где k −дискретное время, выраженное в числе	тактов (интервалов

дискретности) длительности ∆t , так что непрерывное и дискретное

время связаны соотношением t = k∆t , при этом f (k) вида	(П2.2)
именуется дискретной последовательностью, порожденной	парой
{f (t),∆t}.

Вторая фаза преобразования состоит в формировании из дискретной последовательности (П2.2), наблюдаемой на выходе фиксатора (запоминающего элемента) нулевого порядка, кусочно – постоянного сигнала

f * (t): f * (t)= f (k∆t)при k∆t ≤ t < (k +1)∆t .

(П2.3)

Сигнал f * (t) преобразуем по Лапласу в силу преобразуемости по Лапласу сигнала f (t), тогда для него можно записать

∞		∞		∞	(k+1)∆t	∞	(k+1)∆t
L{f * (t)}= ∫		∑ f	(k∆t) e−st dt = ∑		∫ f	(k∆t)e−st dt = ∑ f (k∆t)		∫e−st dt =
0	k=0			k=0 k∆t		k=0		k∆t	(П2.4)
= 1 − e−s∆t ∑∞ f (k∆t)e−k∆ts .									(П2.4)
= 1 − e−s∆t ∑∞ f (k∆t)e−k∆ts .
		s	k=0
Если		в	(П2.4)	учесть,		что 1 − e−s∆t	=W (s)−передаточная
						s		ф
						s

функция фиксатора нулевого порядка, то тогда для лапласова образа дискретной последовательности (П2.2) имеем

L{f (k)}= ∑∞ f (k)(e∆ts )−k .

(П2.5)

k=0

Введем обозначение

272

e∆ts = z ,			(П2.6)
и введем в рассмотрение Z – преобразование дискретных
последовательностей с помощью следующих определений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.1(ОП2.1). Прямым Z – преобразованием
(преобразованием	Лорана)	Z{f (k)}= F(z)	дискретной

последовательности f (k) вида (П2.2) называется бесконечная сумма

Z{f (k)}= F(z)= f (0)+ f (1)z−1 + f (2)z−2 +... + f (k)z−k +... = ∑∞ f (k)z−k ,	(П2.7)
k=0
если она сходится.	□

F(z) именуется Z – образом дискретной последовательности f (k), а f (k) именуется оригиналом Z – преобразования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.2 (ОП2.2). Если воспользоваться выражениями для коэффициентов ряда Лорана, то обратное Z –

преобразование	Z −1{F(z)}= f (k),		ставящее Z –		образу F(z) в
соответствие	его	оригинал	f (k),	задается	интегральным
преобразованием вида
f (k)= (2πj)−1 ∫F(z)zk−1dz.					□(П2.8)

ПРИМЕЧАНИЕ П2.1(ПРП2.1). При решении практических задач исследования дискретных систем, связанных с восстановлением дискретной последовательности по ее Z – образу в большинстве случаев интегральное преобразование (П2.8) не используется. Используются в основном два способа. Первый способ основан на таблице Z – образов наиболее употребительных дискретных последовательностей, второй – на представлении Z – образа в виде бесконечной последовательности по отрицательным степеням аргумента z путем деления полинома числителя на полином знаменателя Z – образа.

Основные свойства Z – преобразования

						Таблица П2.1.
Свойство			Оригинал			Изображение
Z - преобразования			f (k)			F(z)= Z{f (k)}
(ZП)
1. Линейность ZП	f (k)= a f1(k) + b f2 (k) ,			F(z)= a F1(z) + b F2 (z)
	a,b −константы
2. Правило вычисле-	f (k + m)			Z{f (k + m)}=
ния ZП от смещен-						m−1
ной последователь-				= z m F(z)− ∑ f (i)z −i
ности						i=0
3.Теорема	α	−к	f (k)	Z{α	−к	f (k)}= F(αz)
изменения масштаба	α		f (k)	Z{α		f (k)}= F(αz)
в области комплекс-	α к f (k)			Z{α к f (k)}= F(α −1z)

273

ного аргумента z

Правило вычис-

∆f (k)= f (k +1)− f (k)

Z{∆f (k)}= (z −1)F(z)− zf (0)

ление ZП от

разности

Правило вычис-

k−1

(i)

= (z −1)−1 F(z)

ление ZП от

∑ f (i)

Z ∑ f

конечной суммы

i=0

∑k f (i)

Z ∑k f

(i)

= z(z −1)−1 F(z)

i=0

6 Теорема о началь-

f (0)= lim

f (k)= ?

f (0)= lim

f (k)= lim F(z)

ном значении ориги-

k→0+

z→∞

нала.

Теорема о конеч-

f (∞)= lim

f (k)= ?

f (∞)= lim

f (k)= lim(z −1)F(z)

ном значении ориги-

k→∞

z→1

нала

Правило форми-

∑k f

− i)f

(i)

Z k

(k − i)f

(i)

= F

(z)F (z)

рование ZП от

∑

свертки оригиналов

i=0

Z – образы оригиналов - типовых последовательностей

Таблица П.2.2.

№

Оригинал

Z − образ

f (k)

Z{f (k)}= F(z)

f (k) =δ(k) - дискретная

Z{δ(k)}= F(z)=1

дельта функция (оди -

ночный единичный

импульс)

f (k) =1(k) – единичная

Z{1(k)}= F(z)= z(z −1)−1

дискретная

последовательность

(унитарный код)

f (k) =α k - степенная

Z{α k }= F(z)= z(z −α)−1

дискретная

последовательность

f (k) = k - линейно

Z{k}= F(z)= z(z −1)−2

нарастающая дискрет-

ная последовательность

f (k) =sinω k -

Z{sinωk}= F(z)=

zsinω

синусоидальная

z2 − 2z cosω +1

дискретная последова -

тельность

274

6.	f (k) =cosω k -			Z{cosωk}= F(z)=		z(z − cosω)
	косинусоидальная			Z{cosωk}= F(z)=	z2 − 2z cosω +1
	косинусоидальная				z2 − 2z cosω +1
	дискретная
	последовательность
7.	f (k) =α	k	sinω k - зату-	Z{α k sinωk}= F(z)=			α zsinω
	f (k) =α		sinω k - зату-	Z{α k sinωk}= F(z)=		z2 − 2α z cosω +α 2
	хающая					z2 − 2α z cosω +α 2
	синусоидальная
	дискретная последова-
	тельность (α <1)
8.	f (k) =α k cosω k - зату-			Z{α k cosωk}= F(z)=			z(z −α z cosω)
	f (k) =α k cosω k - зату-			Z{α k cosωk}= F(z)=			z2 − 2α z cosω +α 2
	хающая косинусоидаль-						z2 − 2α z cosω +α 2
	ная дискретная после-
	довательность (α <1)

275

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20162.37 Mб14Магистратура ИТМО.doc
#
02.11.201820.26 Mб35Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб1Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
29.08.201954.19 Кб3МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx