§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.

Теорема Польке-Шварца. Вершины произвольного четырёхугольника ABCD в плоскости изображений  могут служить изображением аффинного репера, равного данному реперу R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}.

Поясним формулировку. Для того, чтобы проекция данного репера на данную плоскость оказалась подобна ABCD, возможно понадобиться данный репер в пространстве повернуть. Тогда получится, что ABCD явл. изображением не данного репера, а равного ему.

Равносильная форм-а. Каков бы ни был четырёхугольник ABCD и аффинный репер R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}, существует такая плоскость , что проекция репера R ; ¯ на эту плоскость подобна ABCD.

Идея д-ва. Вершины репера можно рассматривать в качестве вершин тетраэдра (треугольной пирамиды). Пусть E – точка пересечения диагоналей в ABCD. Выберем на ребре A; ¯C; ¯ точку E1;¯, такую что

(A; ¯C; ¯,E1;¯)=(AC, E). Выберем на ребре B; ¯D; ¯ точку E2;¯, такую что (B; ¯D; ¯, E2;¯)=(BD, E). Выберем теперь направление проецирования параллельно отрезку E1;¯E2;¯. Тогда точки E1;¯ и E2;¯ проецируются в одну точку E_o, и проекцией репера R ; ¯ будет четырёхугольник A_oB_oC_oD_o, аффинно-эквивалентный ABCD. Но нам нужно получить четырёхугольник не просто аффинно-эквивалентный, а подобный. Поэтому, возможно, понадобиться данный репер в пространстве повернуть. Таким образом, полное доказательство значительно сложнее.

8.Изображениемногогранников.

Рассмотрим изображение некоторых многогранников. При этом мы предполагаем, что ни одна из граней многогранника не параллельна направлению проецирования. Тогда каждая из граней будет изображаться многоугольником, и изображение многогранника состоит из нескольких многоугольников.

1. Из теоремы Польке-Шварца следует, что в качестве изображения вершин тетраэдра можно выбрать вершины любого четырёхугольника. Если для наглядности невидимые линии изобразить пунктиром, то получатся следующие возможные варианты.

2.Каждая из граней параллелепипеда изображается параллелограммом. При этом, противоположные грани изображаются равными параллелограммами. Поэтому изображение параллелепипеда состоит из трёх пар параллелограммов, причём параллелограммы в каждой паре получаются друг из друга параллельным переносом.

Согласно т.Польке-Шварца, мы можем в качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать вершины произвольного четырёхугольника (напр, ABDA).Затем, изобр-я остальных вершин можно достроить однозначно.

3. Изображение n-угольной призмы состоит из двух одинаковых n-угольников, которые получаются друг из друга параллельным переносом, и n параллелограммов. В качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания мы можем выбрать вершины произвольного четырёхугольника (на чертеже мы эти точки выделили). После этого остальные вершины достраиваются однозначно.

4. Изображение n-угольной пирамиды состоит из многоугольника, изображающего основание и треугольников с общей вершиной, изобр-щих боковые грани.Согласно т. Польке-Шварца, мы можем в качестве изобр-ия трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать любые 4 точки, из которых никакие 3не лежат на одной прям.Остальные вершины основания стоятся по правилам построения изобр-й плоских многоуг-ов(§5).Если пирамида явл. правильной, то принято ещё изображать высоту, падающую в центр основания