22. Расширенная прямая.
Пусть a и a – две пересекающиеся прямые, а S – точка, лежащая вместе с ними в одной плоскости, S a, S a. Рассмотрим проецирование прямой a на прямую a из точки S. Пусть A a, SA a . Тогда точка A не имеет проекции.
Догов-ся считать, что на a добавляется новая точка A , которая одновременно принадлежит прям. SA . Назовем ее несобственной точкой прямых a и SA . Тогда A будет проекцией точки A . Обозн-е A объясняется так: если точкаM стремится по прямой a к точке A, то ее проекция M бесконечно удаляется по прямой a.
Аналогично, если B a и SB a , то на a не сущ-ет точки с проекцией B . Выход из этой ситуации такой же: добавим на прямой a несобственную точку B с условием, что она принадлежит также и прям. SB . Тогда B – проекция точки B .
Т
аким
образом:
1) на каждой прямой добавляется одна точка, которая наз. несобственной и обозн.значком ;
2
)
все параллельные друг другу прямые
имеют общую несобственную точку;
3) непараллельные прямые имеют разные несобственные точки.
Очевидно, что каждая несобственная точка задается прямой. Обычные точки будем называть собственными.
Опр.1.1.1 Прямая,пополненная несобственной точкой наз. расширенной или проективной прямой.
Прямую a, расширенную несобственной точкой A , будем обозначать a; ¯ ; a; ¯ = a A .Центральное проецирование расширенной прямой на расширенную прямую – взаимнооднозначное отображение.
1.2. Расширенные плоскость и пространство.
Опр.1.2.1.Плоск. пополненная несобственными точками всех прямых, которые лежат в плоскости , наз. расширенной или проективной плоскостью.Обоз ее (; ¯ .
Опр.2. Множ-во всех несобственных точек расширенной плоскости наз. несобственной прямой(обоз a ).Остальные (обычные) прямые наз.собственными.
Несобственная прямая в простр-ве задается плоскостью.Центральное проецирование расширенной плоскости на расширенную плоскость – взаимнооднозначное отображение.Опр 3.Пространство, пополненное несобственными точками всех прямых этого пространства, наз.расширенным или проективным пространством.Опр.4.Множ-во всех несобственных точек проективного простр-ва наз.несобственной плоскостью (обозн ).(нерасширенные) плоск. наз. собственными плоскостями. Обобщ.Проективной прямой, плоск-ю, простр-ом наз. также любое множ-во, которое можно взаимнооднозначно отобразить на расширенную прямую, плоскость, пространство.
23Свойства расширенных плоскости и пространства.
Многие свойства принадлежности точек, прямых и плоскостей обычного евклидова пространства остаются и у расширенного пространства.
1
.
Через две различные точки проходит, и
притом, единственная прямая.
2
.
Если две различные плоскости имеют
общую точку, то они пересекаются по
прямой, которая проходит через эту
точку.
3
.
Если две различные прямые имеют общую
тчк, то через них можно провести плоск,
и при этом, только одну.
4
.
Через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом,
только одну.
5. Если две точки прямой лежат в плос-и, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
6. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость и, притом, только одну.
Для д-ва, напр, св-ва 1 необходимо рас-ть 3 возможных случ: а) данные точки собственные; б)одна точка собственая, а вторая – несобст; в) обе точки несобств. Однако принадлежность точек, прямых и плоскостей в расширенном пространстве обладает и некоторыми новыми свойствами. Например:
7. Любые две различные прямые, лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.
8. Любая плоскость и прямая, которая не лежит в этой плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.
9
.
Любые две различные плоскости имеют
общую прямую и, притом, только одну.
Д
а)
а
б)
б
в)
в) плоскость несобственная, а прямая собственная; в обоих случаях б) и в) общей явл. несобств. точка прямой.
г
г)
24 Принцип двойственности на проективнойплоскости.
Легко заметить, что свойства принадлежности на проективной плоскости обладают своеобразной симметрией. Например, свойства 1 и 7. Для того, чтобы эта симметрия стала более заметной, удобно ввести понятие инцидентности. Вместо выражения «точка принадлежит прямой» будем говорить «точка инцидентна прямой», а вместо «прямая проходит через точку» – «прямая инцидентна точке». Тогда свойства 1 и 7 можно переформулировать так:
1. Любые две различные точки инцидентны одной прямой и, притом, единственной.
7. Любые две различные прямые инцидентны одной точке и, притом, единственной.
Такая же симметрия наблюдается и относительно других свойств. Таким образом, имеет место следующий принцип двойственности.
Каждому утверждению на проективной плоскости относительно точек и прямых соответствует второе утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». Второе утверждение называется двойственным первому и, если истинно первое утверждение, то и истинно и двойственное ему.
В соответствии с этим принципом каждой фигуре также соответствует двойственная фигура. Примеры:
1. фигуре «прямая и три точки на ней» соответствует фигура «точка и три прямые, проходящие через нее»;
2
.
фигуре «триточки,
не лежащие на одной прямой, и три прямые,
которые проходят через эти точки» (она
называется трехвершинником)
соответствует двойственная
ей фигура «три прямые, не проходящие через одну точку, и три точки их пересечения» (она называется трехсторонником). Ясно, что это одна и та же фигура.
Замечание. В проективном пространстве выполняется аналогичный принцип – «большой принцип двойственности». В любом утверждении относительно точек, прямых и плоскостей в проективном пространстве можно слово «плоскость» заменить на слово «точка», и наоборот. Утверждение останется истинным (принцип двойственности на плоскости называется малым).