- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
36 Формулы сложных отношений.
1. Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой a; ¯ и имеют в репере R координаты A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), D(d1, d2). Требуется найти (ABCD).
Найдем (ABCD) в частном случае, когда R = {A1 , A2, E}. Тогда a1/a2 = a, b1/b2 = b, c1/c2 = c, d1/d2 = d, где a, b, c, d – обычные координаты на прямой. Поэтому
c1
c2
a1
a2
d1
d2
a1
a2
b1
b2
c1
c2
b1
b2
d1
d2
Можно показать, что по этой формуле выч-ся (ABCD)и в произв-ом репере на a; ¯ .
Лемма. Координаты точки Ma; ¯ в двух реперах R = {A1, A2, E} и R = {A1, A2 , E} на a; ¯ связаны между собой формулами
(4.2.2)
x2 = c21x1 + c22 x2 .
Эта лемма д-ся дословно так же, как и аналогичная теорема для плоскости.
Теор 4.2.1. Формула (4.2.1) имеет место в любом проективном репере.
Пусть точки A, B, C, D имеют в репере R = {A1 , A2, E} координаты A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), D(d1, d2), а в репере R = {A1, A2 , E} – A(a1, a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ), D(d 1 , d 2 ). Тогда (ABCD) вычисляется по формуле (4.2.1). Но, в соответствии с (4.2.2)
(4.2.3)
a2 = c21a1 + c22 a2 .
Иэто же выполняется для координат других точек. Подст-я(4.2.3) в(4.2.1) получаем
· ·
(ABCD) = ––––––––––––––– : –––––––––––––––– = ––––––– : ––––––– .
· ·
2. Пусть на плоскости (; ¯ даны: проективная система координат R = {A1, A2, A3, E}, прямая a; ¯ и на ней 4 точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3), D(d1, d2, d3). Требуется найти (ABCD). Для этого нам потребуется следующая теорема.
Теор 4.2.2. Сложное отношение сохраняется при центральном проецировании.
Пусть точки A, B, C, D прямой a; ¯ проецируются из центра S в точки A, B , C , D прямой a(;¯ . Пусть R = {A1, A2, E} – произвольный репер
на a; ¯, аA1, A2 , E – проекции точек A1, A2, E из S на a(;¯ . Тогда R = {A1, A2 , E} – репер на a(;¯ . Тогда согласно по 2.1 точки A, B , C , D имеют в репере R такие же координаты, что и точки A, B, C, D в репере R . Из теоремы 4.2.1 вытекает, что (ABCD) = (AB C D).
Спроецируем A, B, C, D из центра A3 на прямую A1A2. Проекции этих точек в репере R 3 = {A1, A2, E3} (E3 – проекция точки E) будут иметь
координаты A; ̃(a1, a2), B; ̃(b1, b2) C; ̃(c1, c2), D; ̃(d1, d2). Значит,
(ABCD) = (A; ̃B; ̃C; ̃D; ̃) = –––––– : –––––– .
Вместо a1, a2 можно брать a2, a3 или a1, a3 ; это касается и координат других точек.
Теорема 4.2.3. Сложное отношение сохраняется при любом проективном преобразовании плоскости.
Пусть f – проективное преобразование плоскости (; ¯, которое задается реперами R и R . Пусть точки A, B, C, D на прямой a; ¯ имеют координаты в репере R : A(ai ), B(bi ), C(ci ), D(di ), и пусть при преобразовании f они переходят в A, B , C , D. Тогда в репере R : A(ai ), B (bi ), C (ci ), D(di ). Значит, (ABCD) = (AB C D) .
3. Пусть в плоскости (; ¯ даны 4 точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3), D(d1, d2, d3), лежащие на одной прямой. Тогда
ci = 1ai + 1bi , di = 2ai + 2bi , i = 1, 2, 3,
и из формулы (4.2.1) вытекает
(ABCD) = : (4.2.4)
4. Теорема 4.2.4. Если A, B, C, D a; ¯ и точка D в репере R = {A, B, C} имеет координаты u1 , u2 , то (ABCD) = u1/u2 .
A(1, 0), B(0,1), C(1, 1), D(u1, u2) 1= 1 =1, 2= u1, 2= u2
(ABCD) = u1/u2 .
Следствия. 1. A, B, C a; ¯ R D a; ¯ : (ABCD) = .
2. Проективные координаты не зависят от выбора точки O (см. по 2.1).