34 Проективная группа плоскости.
Опр. 3.4.1. Группой преобразований некоторого множества X называется совокупность преобразований этого множества (не обязательно всех), которое образует группу относительно операции * – «композиция».
Теорема 3.4.1. Множество всех проективных преобразований плоскости (; ¯ образует группу преобразований, которая называется проективной группой плоскости.
Пусть
G
– множество всех проективных преобразований
плоскости (; ¯
, f
G
, g
G.
Пусть f
задается реперами
R
и R
, g
задается реперами R
и R
.
Тогда g*f
переводит M(x1,
x2,
x3)R
в M
(x1,
x2,
x3)R
, а значит, g*f
– проективное преобразование. Роль
единичного (нейтрального) элемента
выполняет тождественное преобразование,
которое, очевидно, является проективным.
Обратное преобразование f
–1
действует
по правилу:
M
(x1,
x2,
x3)R
M(x1,
x2,
x3)R
, а значит,
тоже является проективным. Так же легко
показать, что операция *
в G
является ассоциативной.
Замечание. При выбранном репере каждому проективному преобразованию соответствует матрица. Поэтому алгебраически группа проективных преобразований сводится к группе невырожденных матриц, соответствующих этим преобразованиям. Композиции преобразований соответствует произведение их матриц, обратному преобразованию – обратная матрица.
Принцип Клейна. Любой группе преобразований соответствует своя геометрия, которая изучает те свойства фигур и те понятия, которые сохраняются при всех преобразованиях группы.
Геометрией, которая соответствует проективной группе преобразований, является проективная геометрия. Она изучает те свойства фигур, и те понятия, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях плоскости. Такие свойства и понятия называются проективными. Напри-мер, «прямая» является проективным понятием, а «несобственная точка», «параллельность прямых» не являются проективными понятиями
35 Определения и свойства.
Опр. 4.1.1. Пусть точки A, B, C лежат на одной прямой. Число называется простым отношением трех точек A, B, C, если AC;\s\up10( –( = CB;\s\up10( –(. Это
равносильно тому, что точка C делит отрезок AB в отношении >0, если C лежит между A и B. Если же C лежит за пределами отрезка AB , то будет < 0. Пишем = (AB,C) или = (ABC). Хотя не существует операции деления одного вектора на другой, мы будем писать = AC;\s\up10( –(/CB;\s\up10( –(, если AC;\s\up10( –(CB;\s\up10( –(.
Простое отношение трех точек сохраняется при параллельном проецировании. Но легко показать, что оно не сохраняется при центральном проецировании, т.е. оно не является проективным понятием. Поэтому в проективной геометрии вводится сложное отношение 4 точек.
Опр. 4.1.2. Сложным отношением четырех собственных точек A, B, C, D, лежащих на одной прямой, называется число
(ABCD) = = : = .
Будем также использовать такое обозначение сложного отношения: (AB, CD).
Из 4-х букв можно образовать 24 перестановки. Однако различных значений сложных отношений 4 заданных точек одной прямой может быть только шесть.
Теор 4.При перестановке пар A,B и C,D значение сложного отношения сохран-ся.
По определению (CD, AB) = = = (AB, CD).
Свойства сложных отношений. Пусть
1. (AB, CD) = . Тогда 2. (AB, DC) = 1/ ; 3. (AC, BD) = 1 – ;
4. (AD, BC) = 1 – = ; 5. (AC, DB) = ; 6. (AD, CB) = ;
Докажем, например,
свойство 2. По определению имеем:
(AB,
DC)
= =
–1=
= .
В каждом из пунктов 1 – 6 имеется по 4 равных значения для исходного значения сложного отношения. Возможны также частные случаи:
а) D = C (AB, CC) = 1; б) D = B (AB, CB) = 0; в) D = A (AB, CA) = .