- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
Пусть кривая второго порядка задана уравнением (5.1.1) и A(ai ), B(bi ) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой . Уравнение прямой AB (по2.7):
хi = ai + bi . (5.2.1)
Подставим (5.2.1) в (5.1.1 ):
(;\s\do10(iаij (ai + bi)(aj + bj) = 0,
2(;\s\do10(iаij aiaj + 2(;\s\do10(iаij aibj + 2(;\s\do10(iаij bibj = 0, (5.2.2)
Это уравнение вида 2 + 2 + 2 = 0. (*)
Возможны следующие случаи.
1. = = = 0; тогда и любые, AB .
2. = = 0, 0; тогда = 0 или = 0 ; это значит AB = {A, B}.
3. 0 или 0; пусть 0, тогда разделим (*) на 2:
(/)2 + 2(/) + = 0; (5.2.3)
Это уравнение относительно неизвестного / имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Под-ставляем 1, 1 и 2, 2 в (5.2.1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).
5.3. Касательная к кривой второго порядка.
Опр. 5.3.1. Касательной к кривой 2 порядка называется прямая, которая имеет с одну (двойную) общую точку.
Пусть задана уравнением (5.1.1) и A(ai ) . Составим уравнение касательной l к в точке A . Поскольку A , то
(;\s\do10(iаij aiaj= 0 . (5.3.1)
Пусть B(bi ) l . Тогда уравнение прямой AB: хi = ai + bi . Пересечение AB с находится из уравнения (5.2.2). Поскольку AB – касательная, то это уравнение должно свестись до 2 = 0. С учетом (5.3.1) остается потребовать
(;\s\do10(iаij aibj = 0 .
Это условие принадлежности B касательной l . Обозначим, как обычно, координаты B через xi ; тогда уравнение касательной к в точке A(ai ) :
(;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 , (5.3.2) или
(а11а1+ а12a2+ а13a3) х1+ (а12а1+ а22а2+ а23a3)х2 + (а13а1+ а23а2+ а33a3) х3= 0. (5.3.2)
40Полюс и поляра.
Опр. 5.4.1. Пусть кривая 2 порядка задана в плоскости (; ¯ Ур-ем (5.1.1), и A(ai ) – произвольная точка плоскости (; ¯ . Полярой точки A относительно наз множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
(;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 (;\s\do10( j =1uj xj = 0 , (5.4.1)
где мы обозначили uj = (;\s\do10(i =1аij ai. Мы видим, что поляра – это прямая (если не все uj = 0). Точка A называется полюсом этой прямой. Уравнение (5.4.1) совпадает с (5.3.2), и поэтому, если A , то полярой к A будет касательная к кривой в точке A
5.5. Геометрический смысл поляры.
Опр.5.5.1. Точка B называется сопряженной с точкой A относительно кривой , если (ABM1M2) = –1, где {M1, M2} = AB .
Очевидно, что
1. если B сопряжена с A , то A сопряжена с B;
2. на каждой прямой, которая проходит через A , существует единственная точка B, сопряженная с A (четвертая гармоническая к M1, M2, A ).
Пусть заданы точки A(ai ), B(bi ) и кривая с помощью уравнения (5.1.1). По определению (ABM1M2) = –1. Поскольку {M1, M2} AB, то координаты M1, M2 можно записать так: 1ai + 1bi , 2ai + 2bi , где 1/1 и 2/2 – корни уравнения (5.2.2). В соответствии с (4.2.2)
(ABM1M2) = : .
Поэтому
: = –1 + = 0 .
По теореме Виета для Ур-ия (5.2.2) получаем (;\s\do10(iаij aibj = 0, (5.5.1)
Это и есть условие сопряженности точек относительно кривой .
Сравним теперь (5.5.1) и (5.4.1). Мы видим, что справедлива следующая теорема.
Теорема 5.5.1. Поляра точки A относительно кривой второго порядка есть множество точек, сопряженных к A относительно .