Discret / Lect11_DM_KI
.pdf
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Time-Out
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
11 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Двойственные функции
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1, x 2 ,..., x n ) |
|
|
|
|||||||
Двойственная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1, x2 ,..., xn ) |
|
|
|
|||||||||||
Замена 0 на 1, 1 на 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f |
(x1, x2 ,..., xn ) = f (x1, x2 ,..., xn ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
№ |
x1 |
x2 |
f |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x1 |
x2 |
f* |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
1 |
0 |
1 |
1 |
→ |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
→ |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
3 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
12 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Самодвойственные функции
Самодвойственная функция |
f (x1, x2 ,..., xn ) = |
f (x1, x2 ,..., xn ) |
|
|||||||||||||||||||
Противоположные наборы |
σ1,σ2 ,...,σn , σ1, σ2 ,..., σn |
|
||||||||||||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x1 |
x2 |
f |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x1 |
x2 |
f* |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
1 |
0 |
1 |
1 |
→ |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
→ |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1, x2 ) = f (x1, x2 )
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
13 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Принцип двойственности
Если в формуле алгебры логики F заменить знаки всех логических функций на знаки двойственных функций, то получится двойственная формула F*, реализующая функцию, двойственную той, которая реализуется
формулой F. При этом если формулы равны F1=F2, то верно равенство двойственных формул F1*=F2*, которое называется двойственным предыдущему
Пример
x y=y x, xy=yx (x y) z= x (y z), (xy)z= x(yz)
x x=x, x x=x (x y)x=x, xy x=x
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
14 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Функционально полные системы
Def: система функций алгебры логики (ФАЛ) Ф называется функционально полной, если любая ФАЛ может быть реализована формулой, содержащей лишь символы функций из этой системы Ф.
Пример
Функционально полными являются системы:
{xy, x y, x} {x y, 1, xy}
{x y, x}
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
15 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Полнота функций алгебры логики
Теорема Поста-Яблонского (критерий функциональной полноты)
Для того чтобы ФАЛ Ф была полной необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну функцию
1)не сохраняющую нуль;
2)не сохраняющую единицу;
3)нелинейную;
4)немонотонную;
5)несамодвойственную. Свойство классов булевых функций: любая ФАЛ, полученная с помощью операции
суперпозиции и подстановки из функций одного класса, обязательно будет принадлежать этому же классу
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
16 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Базис
Def: Полная система ФАЛ, с помощью которой любая ФАЛ может быть представлена суперпозицией исходных функций, называется базисом.
К базису относятся системы функций: базис 1: , , ¬ базис 2: , ¬ базис 3: , ¬
базис 4: функция Шеффера (|) базис 5: функция Пирса (Вебба) ↓
Базис 1 избыточный, базисы 4 и 5 минимальные (удаление хотя бы одной функции превращает систему ФАЛ в неполную).
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
17 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Выводы
Полиномиальная форма ориентирована на технологии тестирования цифровых систем с использованием активизации или определения булевых производных
Классы булевых функций являются теоретической основой трансформирования описания цифровой системы в различные аналитические формы
Функциональная полнота определяет инвариантность представления цифрового устройства с помощью различных наборов бинарных и унарной операций
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
18 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Тест-вопросы. 1
1. Чему равно выражение ab ab :
|
а) |
a b |
; |
|
б) |
a~b |
; |
|
в) |
a→b |
; |
|
г) |
a b |
? |
2. Функция a b является:
а) самодвойственной;
б) сохраняющей единицу;
в) сохраняющей ноль;
г) монотонной?
3. Функция ab abявляется:
а) самодвойственной;
б) сохраняющей единицу;
в) сохраняющей ноль;
г) монотонной?
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
19 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Тест-вопросы. 2
4. Чему равно выражение a ab :
|
а) |
a b |
; |
|
б) |
a~b |
; |
|
в) |
a→b |
; |
|
г) |
a b |
? |
5.Проверить функцию a b на
самодвойственность.
6.Проверить функцию xy z на
монотонность
7.Функция a→b является:
а) самодвойственной;
б) сохраняющей единицу;
в) сохраняющей ноль;
г) монотонной?
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
20 |