Discret / Lect06_DM_KI
.pdf
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
СТРУКТУРЫ (РЕШЕТКИ). ИЗОМОРФИЗМ.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ВВЕДЕННЫХ ПОНЯТИЙ
ЛЕКЦИЯ 6
Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ
Лектор – д.т.н., проф. Хаханов В.И.
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, |
1 |
кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture.kharkov.ua |
|
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Тема: Структуры (решетки). Изоморфизм
Цель лекции – изучить свойства
структур, выявить взаимосвязи между введенными понятиями
Содержание:
•Определение структуры
•Подрешетка, интервал, сравнимые элементы, структурные ноль и единица
•Дедекиндовы (модулярные) решетки
•Дистрибутивные решетки
•Изоморфизм множеств, алгебр
•Алгебраические системы. Модели
•Схема взаимосвязей между понятиями
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
2 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Литература
•Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.:
Высш. шк., 1986. 12-14 с.
•Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.
М.: Наука, 1984. С. 4-10.
•Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 23-25 с.
•Дискретная математика: Гипертекстовые учебные материалы (электронный учебник) / В.И. Хаханов, С.В.
Чумаченко. 2004. http/…/10.13.20.100/nserv/library/ education/Чумаченко/Дискретная математика/ Дистанционный_учебник/index.htm.
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
3 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Термины
Базовые понятия:
множество,
подмножество,
бинарное отношение, упорядоченное множество,
операции (объединение, пересечение),
законы (ассоциативный, коммутативный, элиминации),
алгебра
Ключевые слова:
структура (решетка),
дедекиндова (модулярная) решетка,
дистрибутивная решетка,
подрешетка, изоморфизм
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
4 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Определение структуры
Def: Решетка – частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет единственные точную верхнюю (sup) и точную нижнюю
(inf) грани
Решетка (структура) – это алгебраическая система
<M, ≤, ∩, >, для элементов которой справедливы законы:
x x=x, x∩x=x; x y=y x, x∩y=y∩x; x∩(x y)=x, x (x∩y)=x,
и x,y M ! sup{x,y}=x y, inf{x,y}=x∩y
Рассматриваемая система не является решеткой, если не существуют супремум или инфимум, либо они не единственны
Структуры иллюстрируются диаграммами
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
5 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Примеры
1. Любое линейно
упорядоченное множество
является решеткой: < R,≤ >
2. Множество всех
подмножеств данного
множества (булеан),
упорядоченное по включению
3. Диаграммы А и В не являются структурами
Почему?
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua
x |
y |
z |
R |
Н
U={a,b,c}
{a,b} |
{a,c} |
{b,c} |
{a} |
{b} |
{ c} |
А В
z |
t |
p |
q |
x |
y |
|
|
6
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Решетка как универсальная алгебра
Решетка – универсальная алгебра с двумя бинарными операциями ∩, (+, •; , ),
|
удовлетворяющими свойствам: |
|
|
x x=x, |
x∩x=x; |
|
x y=y x, |
x∩y=y∩x; |
|
x∩(x y)=x, |
x (x∩y)=x; |
|
x∩(y∩z)=(x∩y)∩z, |
x (y z)=(x y) z |
x,y M: x≤y ! sup{x,y}=x y=y,
inf{x,y}=x∩y=x
Понятие решетки относится к середине XIX в. Впервые его ввел немецкий математик Дедекинд. Термин «решетка» принадлежит американскому ученому Гаррету Биркгофу из Принстонского университета.
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
7 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Определения
Def: Подрешетка M´:
M´ M: x,y M´ sup{x,y} M´, inf{x,y} M´
Def: Интервал I=[mα,mβ] # подрешетка M´ с наименьшим элементом mα и наибольшим элементом mβ:
I=[ mα, mβ ]={ m M´ | mα≤m≤mβ }
Def: Нулевой и единичный элементы в решетке называются структурными нулем и единицей.
Def: дополнительные элементы x y=1, x∩y=0
х – дополнение элемента у в решетке : x=y, y=x
Def: два элемента, обладающие общим дополнением в решетке, называются связанными
Def: два элемента в структуре сравнимы, если в диаграмме их можно соединить путем из стрелок
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
8 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Пример
M |
{a,b,c,d} |
|
M´
{a,b,c} |
{a,b,d} |
{a,c,d} |
{b,c,d} |
|
{a,c} |
{b,c} |
{b,d} |
|
{a,b} |
{a,d} |
{c,d} |
||
|
{a} |
{b} |
{c} |
{d} |
|
|
|
|
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
9 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Time-Out
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
10 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |