Discret / Lect11_DM_KI
.pdf
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
БУЛЕВААЛГЕБРА
КЛАССЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯПОЛНОТА
ЛЕКЦИЯ 11 В.И. ХАХАНОВ
Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, |
1 |
кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture.kharkov.ua |
|
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Тема: Классы булевых функций. Функциональная полнота
Цель лекции – изучить основные свойства функционально полных систем для описания и
синтеза цифровых проектов
Содержание:
•Полиномиальное представление булевых функций. Полином Жегалкина
•Классы булевых функций
•Функциональная полнота и ее критерий
•Базис
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
2 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Литература
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 32-61с.
Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высш. шк., 1987. 272 с.
Беннеттс Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1990. 176 с.
Бондаренко М.Ф., Кривуля Г.Ф., Рябцев В.Г., Фрадков С.А., Хаханов В.И. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей. К.: НМЦ ВО. 2000. 306 с.
Богомолов А.М., Сперанский Д.В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-
та, 1986. 240с.
Хаханов В.И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К.: ИСМО, 1997. 308 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001.
С.31-35.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С.
263-268. |
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
3 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Термины
Базовые понятия:
булева переменная,
булева функция,
логические операции (дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, сумма по модулю два, эквивалентность)
свойства логических функций
Ключевые слова:
полином,
полином Жегалкина,
классы булевых функций (сохраняющие ноль функции, сохраняющие единицу функции, монотонные, линейные, самодвойственные),
двойственность,
полнота,
базис
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
4 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Полином. ПолиномЖегалкина
Полином – формула с символами , ,1
Выражение вида
|
F1 F2 … Fn , Fi≠Fj, |
|
|
где Fi есть 1, либо переменная, либо конъюнкция |
|
|
различных переменных, |
|
|
называется полиномом Жегалкина |
|
|
Теорема Жегалкина |
|
|
f (x1, x2 ,..., xn ) = k0 k1x1 k2x2 ... |
|
|
kn+1x1x2 kn+2x1x3 ... kn+mx1x2xn |
|
|
ki {0,1} |
|
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
5 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Классы булевых функций
Название |
Обозначение |
Определение |
|
Функции, |
K0 |
f(0,0,…,0)=0 |
|
сохраняющие 0 |
|
|
|
Функции, |
K1 |
f(1,1,…,1)=1 |
|
сохраняющие 1 |
|
|
|
Линейные |
KЛ |
Функция представима |
|
функции |
|
полиномом 1-й степени |
|
|
|
f(x1,x2,...,xn)=k0 k1x1 k2x2 ... knxn |
|
Самодвойствен- |
KС |
Функция совпадает со своей |
|
ные функции |
|
двойственной |
|
Монотонные |
KМ |
На сравнимых двоичных |
|
функции |
|
наборах значения функции |
|
|
|
сравнимы |
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
6 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Класс линейных функций |
1 |
Количество линейных функций 2n+1, где n – число
переменных функций
Пример
n=2 8 функций
f1(x1, x2 ) = 0 |
f5 (x1, x2 ) =1 x1 |
f2 (x1, x 2 ) = x1 |
f6 (x1, x 2 ) =1 x 2 |
f3 (x1, x2 ) = x2 |
f7 (x1, x2 ) =1 x1 x2 |
f4 (x1, x2 ) = x1 x 2 |
f 8 ( x 1 , x 2 ) = 1 |
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
7 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
|
2011 |
|||||
|
Класс линейных функций |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
k0 |
k1 |
|
k2 |
f (x1, x2 ) = k0 k1x1 k2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
f1(x1, x2 ) = 0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
f2 (x1, x2 ) = x2 |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
0 |
f3 (x1, x2 ) = x1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
|
1 |
f4 (x1, x2 ) = x1 x 2 |
|
|
4 |
1 |
0 |
|
0 |
f5 (x1, x2 ) =1 |
|
|
5 |
1 |
0 |
|
1 |
f6 (x1, x 2 ) =1 x 2 |
|
|
6 |
1 |
1 |
|
0 |
f7 (x1, x2 ) =1 x1 |
|
|
7 |
1 |
1 |
|
1 |
f 8 ( x 1 , x 2 ) = 1 x 1 x 2 |
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
8 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Класс монотонных функций
Множество
Порядок
Двоичные наборы
Предшествование наборов
Монотонность функции
{0,1}
0<1
α = (α1,α2 ,..., αn )
β = (β1,β2 ,...,βn )
α pβ |
i αi ≤βi |
α pβ |
|
f (α1,α2 ,..., αn ) ≤ f (β1,β2 ,...,βn )
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
9 |
Классы булевых функций. Функциональная полнота |
2011 |
Пример исследования функции на монотонность
№ |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
111(7) |
|
|
011(3) |
0 |
|
1 |
101(5) |
1 |
110 |
|
|
|
|
|
|
(6) |
001 |
0 |
010 |
1 |
|
0 |
100 |
(1) |
|
(2) |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
000(0) |
|
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, phone 7021 326 |
10 |