Discret / Lect08_DM_KI
.pdf
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
БУЛЕВА АЛГЕБРА
ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ И КОНЪЮНКТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ (ДНФ и КНФ). СОВЕРШЕННЫЕ ДНФ и КНФ
ЛЕКЦИЯ 8
В.И.ХАХАНОВ
Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, |
1 |
кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture.kharkov.ua |
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Тема: ДНФ и КНФ. СДНФиСКНФ.
Цель лекции – изучить способы представления булевых функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, а также их совершенных форм, определить связь и различие между ними, выявить их назначение
Содержание:
•ДНФ и КНФ
•СДНФ и СКНФ
•Теорема Шеннона
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
2 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Литература
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 32-61с.
Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высш. шк., 1987. 272 с.
Беннеттс Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1990. 176 с.
Бондаренко М.Ф., Кривуля Г.Ф., Рябцев В.Г., Фрадков С.А., Хаханов В.И. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей. К.: НМЦ ВО. 2000. 306 с.
Богомолов А.М., Сперанский Д.В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-та, 1986. 240с.
Хаханов В.И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К.: ИСМО, 1997. 308 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001.
С. 263-268.
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
3 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Термины
Базовые понятия:
логические операции
логические
переменные
логические функции
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua
Ключевые слова:
первичный терм
конъюнктивный терм
дизъюнктивный терм
дизъюнктивная
нормальная форма (ДНФ)
конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
совершенная ДНФ
совершенная КНФ
4
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
ДНФ и КНФ
Термин |
|
|
Обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Первичный терм |
|
|
|
|
|
xi , |
σi |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
σ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
xi i |
|
σi |
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
xi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Двоичный набор |
|
|
(σ1,σ2 ,...,σn ) |
|
|
|
|
|
(0,1,1,0,1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Элементарная |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
σ |
& x |
σ |
|
|
|
σ |
σ |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
конъюнкция (ЭК) |
1 |
2 |
2 |
& ...& xn n |
≡ & x |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ДНФ |
|
|
|
|
|
n |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
i ) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(& xi |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементарная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x1σ1 |
xσ2 2 |
... xσn n |
|
|
|
|
|
x2 x3 x4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дизъюнкция (ЭД) |
≡ xiσi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КНФ |
|
|
|
|
|
n |
σi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
(x |
x |
x |
)(x |
x |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
& ( xi |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Совершенные ДНФ и КНФ (СДНФ и СКНФ). 1
Def: Совершенной ДНФ (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет равных элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции содержат одни и те же переменные, от которых зависит функция, причем каждую – только один раз (включая вхождения под знаком отрицания).
Def: Совершенная КНФ (СКНФ)
определяется как такая КНФ, в которой нет одинаковых сомножителей; все сомножители содержат одни и те же переменные, от которых зависит функция, причем каждую переменную
– только один раз.
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
6 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Пример получения СДНФ и СКНФ
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
fСДНФ(x1, x2 , x3 ) = x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3
fСКНФ(x1,x2,x3) =(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
7 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Теорема Шеннона
Любая булева функция f≠0 представима в виде разложения Шеннона:
f (x |
|
, x |
|
,..., x |
|
, x |
|
,..., x |
|
) = |
|
|
k |
|
|
|
,...,σ |
|
, x |
|
,..., x |
|
) |
||
1 |
2 |
k |
k+1 |
n |
|
(& xσi ) f (σ ,σ |
2 |
k |
k+1 |
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(σ |
,σ |
2 |
,...,σ |
k |
) i=1 |
i |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие
Предельное разложение Шеннона (k=n) булевой функции f≠0 имеет вид
f (x |
|
, x |
|
,..., x |
|
, x |
|
,..., x |
|
) = |
|
|
|
k |
|
||
1 |
2 |
k |
k+1 |
n |
|
), |
(& xσi ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
(σ |
,σ |
2 |
,...,σ |
n |
i=1 |
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (σ1,σ2 ,...,σn )=1 |
|
||||||
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
8 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Time-Out
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
9 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|
ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ |
2011 |
Эквивалентность форм ДНФ и КНФ
Привести функцию к ДНФ и КНФ: f (x, y, z) =(x → y) ~ z
Получение ДНФ:
def → |
def ~ |
деМоргана |
|||
f (x, y, z) =(x → y) ~ z |
= (x y) ~ z = (x y)z ( |
x y |
)z |
= |
|
|
дистриб. |
|
|
|
|
=(x y)z xyz |
= |
xz yz xyz =fДНФ(x, y, z) |
|
||
Получение КНФ |
|
|
|
|
|
|
ассоц. |
дистриб. |
дистриб. |
||
fДНФ(x, y, z) = xz yz xyz = (xz yz) xyz = (x y)z xyz = |
|||||
=(x y x)(x y y)(x y z)(z x)(z y)(z z) = |
|
||||
14243 14243 |
{ |
|
|
||
1 |
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
= (x y z)(x z)(y z) = fКНФ(x, y, z)
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
10 |
|
тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua |
||
|