6 Лінійні оператори. Квадратичні форми

Сучасне визначення оператора дав Дж. Пеано (Peano G., 1858-1932 рр., Італія) у 1888 р. Класифікація квадратичних форм проводиться за допомогою критерію Сільвестра (Sylvester James Joseph, 1814–1897 рр., Англія).

6.1 Лінійні оператори. Матриця оператора

Основні поняття

Нехай задані два лінійні простори і. Якщо кожному елементупоставлено у відповідність певний елемент, то кажуть, що задано відображення, абооператор , який здійснює це відображення:.

Оператор лінійний, якщо:

Тобто дія оператора на суму двох елементів рівносильна складанню результатів дії оператора на кожний з елементів доданків, а дія оператора на елемент, помножений на число, рівносильна помноженню на це число результату дії оператора на самий елемент. До речі, з цього випливає, що .

Оператор не обов’язково переводить елементи одного простору в інший, він може діяти і в межах одного простору, переводячи елементи даного простору в елементи цього ж простору. В цьому разі можна виділити три специфічних оператори:

1) нульовий оператор ;

2) тотожний оператор ;

3) протилежний оператор .

Приклади.

1. Операторпроектування геометричних векторів на задану вісь:(рис.6.1).

Рисунок 6.1

2. Оператор дзеркального відображення геометричних векторів щодо заданої площини:(рис.6.2).

Рисунок 6.2

3. Оператор повороту геометричних векторів на кутнавколо осі0z: (рис. 6.3).

Рисунок 6.3

4. Оператор векторного добутку на вектор ліворуч:.

5. Оператор диференціювання функції в просторі функцій, які мають похідну:.

Арифметичні дії над операторами

Над операторами можна виконувати арифметичні дії додавання, множення на число, множення оператора на оператор. При цьому одержують нові оператори.

Сума двох операторів – це оператор, дія якого дорівнює сумі результатів дії на кожний із доданків:

.

Добуток оператора на число – це новий оператор, який діє за правилом

.

Добуток операторів визначається так

,

тобто на елемент спочатку діє оператор, а потім на результат діє оператор.

Властивості арифметичних дій

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Зауваження.

1. З існування добутків не виходить рівність .

2. Якщо , то оператори називаються переставними.

Для операторів можна також ввести поняття оберненого оператора, а саме, для даного оператора існуєобернений оператор , якщо виконуються рівності

,

де – тотожний оператор. Якщо цей оператормає обернений, то із співвідношеннявипливає.

Не будь-який оператор має обернений. Існування оберненого оператора визначається такими теоремами.

Теорема. Якщо оператор має обернений, то із рівностівипливає, що.

Доведення.

Дійсно, нехай . Тоді. Оскільки, то звідси маємо, або.

Теорему доведено.

Теорема. Для того щоб оператор мав обернений, необхідно і достатньо, аби оператордіяв із просторуу простірвзаємно однозначно, тобто два різних елементиіцей оператор відображав у два різних елементиі.

Доведення.

Необхідність. Хай оператор має обернений, але діє не однозначно, тобто і. Тоді, звідки, згідно з попередньою теоремою, маємо або . Відтак, припущення було неправильним.

Достатність. Хай оператор діє однозначно. Тоді кожному елементу відповідає свій елемент, такий, що. Відтак, існує такий оператор, що, або, тобто. З іншого боку, тобто. Таким чином,, що згідно з визначенням означає, що оператор– обернений:.

Теорему доведено.

Множина елементів , таких, що, називаєтьсяядром оператора і позначається як . Якщо, то оператормає обернений. Множина елементів, таких, що, депробігає весь простір, називаєтьсяобластю значень оператора і позначається як . Якщо, то.

У загальному випадку

.

На основі попередньої теореми можна дійти висновку, що оператор проектування не має оберненого, а оператори дзеркального відображенняі поворотумають. Це очевидно з геометричних образів. Але переважно виявити властивості оператора зручніше за допомогою його матриці.

Матриця оператора

Виберемо в даному лінійному просторі базис. Подіємо на кожний елемент базису даним операторомі результат дії розкладемо за цим же базисом:

.

Розташуємо коефіцієнти у стовпці і побудуємо з них матрицю, яка і називаєтьсяматрицею оператора. Тоді дія оператора на будь-який вектор може бути описана таким способом

.

Отже, координати образу легко знаходяться черезкоординати прообразу за допомогою матриці оператора

,

де і– матриці-стовпці з координат і .

Отже, кожному оператору при вибраному базисі відповідає матриця. Справедливе і обернене. Кожній квадратній матриці можна співставити оператор. Дійсно

.

Ранг матриці оператора називають рангом оператора. Він дорівнює вимірності області визначення оператора.

Приклад.

Побудувати матрицю оператора проектування на площину .

Розв'язання.

Виберемо базис . Тоді (рис.6.4):.

Рисунок 6.4

Звідси маємо матрицю: .

Слід звернути увагу, що як оператор, так і матриця не мають обернених.

Приклад.

Побудувати матрицю оператора повороту навколо осі на кут(рис.6.5).

Рисунок 6.5

Розв'язання.

Через те, що , маємо матрицю. Як матриця, так і оператор мають обернені. Тепер для будь-якого вектора

Приклад.

Хай оператор означає векторний добуток на векторзліва:. Знайти його матрицю.

Розв'язання.

Дія оператора на базисні вектори: .

Матриця оператора має вигляд .

Приклад.

Хай оператор диференціювання діє у лінійному просторі многочленів степені не вище . Знайти його матрицю в базисі.

Розв'язання.

;

;

;

.

Матриця оператора дорівнює .

В останніх двох прикладах як матриці, так і відповідні оператори не мають обернених.

Матриця оператора в новому базисі

Із визначення матриці оператора випливає, що величина її елементів залежить від базису і змінюватиметься при переході до нового базису. Знайдемо формули переходу. Хай оператор в базисімає матрицю, а в базисі– матрицю . Це означає, що,.

Нехай – матриця переходу від одного базису до іншого, тобто . Тоді можна записати

. (6.1)

Цю ж дію можна записати інакше

(6.2)

Прирівнюючи розкладення в (6.1) і (6.2), одержимо

,

або в матричному запису

.

Таким чином, матриця оператора в новому базисі пов’язана з матрицею в старому базисі формулою

. (6.3)

Використовуючи властивість матриць , легко довести, щовизначник матриці оператора при переході до нового базису не змінюється. Дійсно з (6.3) маємо: , де взято до уваги, що.

Контрольні завдання

1. Дайте визначення лінійного оператора.

2. Наведіть приклади лінійних операторів.

3. Сформулюйте правила арифметичних дій над операторами.

4. Сформулюйте теорему про існування оберненого оператора.

5. Дайте алгоритм побудови матриці оператора.

6. Виведіть формулу перетворення матриці оператора при переході до нового базису.