1 Елементи лінійної алгебри

1.1 Визначники

Термін «детермінант» тобто визначник у сучасному значенні ввів О. Коші (Cauchy Augustin, 1789-1857 рр., Франція) в 1815р. Ідея детермінант належить Г Лейбніцу, який у 1693 р. застосував його для розв’язання системи рівнянь. Потім в 1750 р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752 р., Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796 рр., Франція) в 1772 р. опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію розробили в 1812 р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856 рр., Франція) і О. Коші.

Визначники (або детермінанти) широко використовуються в різних розділах математики й в її застосуваннях, зокрема при розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Основні поняття

Визначником 2-го порядку називається число, яке позначається і дорівнює, тобто

.

Символи називаютьсяелементами визначника, причому перший індекс i вказує номер рядка, а другий індекс j – номер стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент.

Елементи таутворюютьголовну діагональ визначника; та–побічну.

Обчислення визначника 2-го порядку ілюструється схемою:

тобто з добутку елементів головної діагоналі віднімається добуток елементів побічної.

Визначником 3-го порядку називається число, яке позначається

та дорівнює , тобто

(1.1)

Елементи ,,утворюють головну діагональ визначника, елементи,,– побічну.

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників (або Саррюса). Згідно з ним доданки утворені з добутків елементів, місцеположення яких символічно можна вказати так:

Визначником п-го порядку називається число, яке позначається

і обчислюється за правилом, яке наведено на c. 8.

Порядком визначника називається кількість рядків або стовпців (яких завжди однакова кількість).

Мінором елемента( – індекси приймають всі натуральні значення від 1 до) визначникаn-го порядку називається визначник -го порядку, отриманий з початкового шляхом викреслювання рядка й стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент.

Так, якщо , то,.

Алгебраїчним доповненням елемента визначника n-го порядку називається його мінор, який береться зі знаком «плюс», якщо сума – парне число, та зі знаком «мінус», якщо ця сума непарна, тобто

.

Так, ,.

Властивості визначника

1. (Про рівноправність рядків і стовпців). Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями, і навпаки.

Ця операція називається транспонуванням.

Наприклад (для визначника 3-го порядку):

.

Надалі рядки й стовпці називатимемо рядами визначника.

2. При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак на протилежний.

3. Визначник, що має два однакових ряди, дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи деякого ряду визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Спільний множник елементів якого-небудь ряду визначника можна винести за знак визначника.

6. Якщо всі елементи деякого ряду визначника пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник дорівнює нулю.

Наприклад (для визначника 3-го порядку):

7. Якщо елементи якого-небудь ряду визначника являють собою суми двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох визначників, у першому з яких у відповідному ряду стоять перші доданки, а в другому – другі доданки; всі інші елементи у двох визначниках однакові.

Наприклад (для визначника 3-го порядку):

.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на будь-яке число.

Наприклад (для визначника 3-го порядку):

9. (Про розкладання визначника за елементами деякого ряду). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого ряду на відповідні їм алгебраїчні доповнення, тобто

або .

10. (Про анулювання.) Сума добутків елементів якого-небудь ряду визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного ряду дорівнює нулю.

, .

Наприклад (для визначника 3-го порядку):

.

Методи обчислення визначника n-го порядку

Надалі i-й рядок позначатимемо через , аi-й стовпець – .

1. Метод зниження порядку (метод розкладання за елементами стовпця (рядка)). За властивістю 9 будь-який визначник n-го порядку можна звести до обчислення визначника -го порядку.

Наприклад, для визначника 3-го порядку таке розкладання за елементами першого рядка матиме вигляд:

Зауважимо, що, якщо визначник має нулі, то зручніше вести розкладання за тими стовпцями (рядкам), які містять найбільшу кількість нулів. Крім того, за допомогою властивостей визначника можна отримати всі нульові елементи в деякому стовпці (рядку), крім одного. Отже, обчислення визначника -го порядку, якщо він не дорівнює нулю, зводиться до обчислення визначника-го порядку.

Цим методом дуже широко користуються. Метод алгебричних доповнень дозволяє замінити обчислення визначника -го порядку на обчислення визначниківпорядку. В свою чергу, до цих визначників можна знову застосувати це ж правило і таким чином дійти до визначників найменшого порядку. Звичайно, що кількість визначників при цьому зростає. Аби цього не сталося, поєднують властивість розкладення по елементах рядка чи стовпця з властивістю лінійного комбінування рядків чи стовпців визначника. Схема алгоритму при цьому виглядає так.

Нехай треба обчислити визначник .

Нехай . Винесемо з першого рядказа знак визначника

,

при цьому потрібно виконати ділення. Далі добавимо до другого рядка перший, помножений на, до третього – перший, помножений на, тощо. При цьому потрібно зробитимножень і стільки ж додавань. Одержимо визначник такого вигляду

.

Для цього слід зробити множень і ділень тадодавань. Тепер розкладання за елементами першого стовпця звело задачу до обчислення одного визначникапорядку, і цей процес можна продовжити далі. Всього для переходу до визначника першого порядку, тобто до числа, потрібномножень та ділень ідодавань.

Після цього одержане число слід помножити на множників, що виносилися за знак визначника, тобто ще множень. Разом припотрібномножень та ділень ідодавань. Для сучасних комп’ютерів це нескладне завдання. Практично беруть не елемент у лівому верхньому куті визначника, бо він може бути близький до нуля, а це дуже знижує точність обчислень, а так званий провідний елемент - найбільший у рядку чи у всьому визначнику.

2. Метод приведення визначника до трикутного вигляду.

Визначником трикутного вигляду називається визначник, у якого всі елементи, які стоять нижче (вище) головної діагоналі дорівнюють нулю, тобто

або

.

Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку елементів його головної діагоналі, тобто

,

тому що розкладаючи визначник за елементами першого стовпця, одержимо

.

Отже, використовуючи властивості визначників, іноді зручно при обчисленні визначника попередньо привести його до трикутного вигляду.

Приклад .

Обчислити визначник -го порядку .

Розв’язання.

Добавимо до всіх рядків перший, який помножимо на .

.

Приклад .

Обчислити визначник -го порядку .

Розв’язання.

Додамо всі рядки до першого

.

Потім віднімемо перший рядок з останніх

.

3. Метод рекурентних співвідношень.

Розглянемо визначник Вандермонда:

Приклад.

Обчислити визначник : 1) за правилом трикутників; 2) за допомогою розкладання по елементах першого рядка.

Розв’язання.

1. Використовуючи правило трикутників (1.1), отримаємо

2. Використовуючи метод зниження порядку, розкладемо визначник за елементами першого рядка. Отримаємо

.

Контрольні запитання та завдання

1. Дайте означення визначників другого та третього порядків? Які є види визначників?

2. Дайте означення мінору та алгебричного доповнення елемента визначника?

3. Сформулюйте властивості визначників.

4. Як змінюється визначник при перестановці стовпців?

5. Чому дорівнює визначник з нульовим стовпцем?

6. Сформулюйте правило розкладення визначника за рядком або стовпцем.

7. Які властивості визначників не змінюють його значення?

8. Чому дорівнює визначник Вандермонда?