1.5 Системи лінійних неоднорідних рівнянь

Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два запитання – чи сумісна система (тобто чи має вона розв’язок), і якщо сумісна, то чи вона означена, чи ні. Якщо система сумісна, то потрібен алгоритм пошуку розв’язків.

Відповідь на перші два запитання дає теорія Кронекера-Капеллі (1883 р., 1892 р.) (Kronecker Leopold, 1823-1891 рр., Німмечина), (Capelli Alfred, 1855-1910 рр., Італія).

Основні поняття

Системою лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь, що містить m рівнянь і п невідомих, є система виду

(1.2)

де числа () називаютьсякоефіцієнтами системи, числа – вільними членами, х_п – невідомими, підлягаючими визначенню.

Таку систему зручно записувати в компактній матричній формі

.

Тут А – матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею:

.

Позначимо вектор-стовпець із невідомих через, вектор-стовпець із вільних членів через : ,.

Добуток матриць визначений, тому що в матриціА стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці X. Відповідно до правила множення матриць маємо

.

Із системи (1.2) і визначення рівності матриць і одержимо, щоматричний запис системи лінійних рівнянь має вигляд

.

Розширеною матрицею системи називається матриця А системи, яка доповнена стовпцем вільних членів

.

Розв’язком системи називається матриця-стовпець Х, що обертає матричне рівняння у тотожність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більше одного розв’язку. В останньому випадку кожний її розв’язок називається частинним розв’язком системи. Сукупність всіх часткових розв’язків називається загальним розв’язком.

Розв’язати систему – це означає з’ясувати, сумісна вона чи несумісна. Якщо система сумісна, знайти її загальний розв’язок.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають той самий загальний розв’язок. Інакше кажучи, системи еквівалентні, якщо кожний розв’язок однієї з них є розв’язком іншої, і навпаки.

Еквівалентні системи виходять, зокрема, при елементарних перетвореннях системи за умови, що перетворення виконуються лише над рядками матриці.

Вичерпна відповідь на запитання про сумісність системи (1.2) дає теорема Кронекера-Капеллі.

Теорема Кронекера-Капеллі

Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу основної матриці, тобто .

Доведення.

Необхідність. Запишемо систему алгебраїчних рівнянь у вигляді

. (1.3)

Нехай ця система сумісна. Покажемо, що .

Через те, що система (1.3) сумісна, то існує впорядкована сукупність чисел така, що

(1.4)

Рівність (1.4) показує, що стовпець вільних членів, є лінійною комбінацією інших стовпців. Якщо в з останнього стовпцявідняти його лінійну комбінацію , то одержимо матрицю, в якій на місці останнього стовпця знаходяться нулі, тобто

Через те, що , а з іншого боку , то.

Достатність. Нехай .Покажемо, що система (1.3) сумісна. Через те, що ,то існує мінор, що є базисним як для матриці А, так і для розширеної матриці . За теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриціє лінійною комбінацією базисних стовпців, а звідси й інших стовпців. Тобто існують числане рівні нулю одночасно, що

(1.5)

Порівнюючи (1.4) і (1.5) маємо, що єрозв’язком системи (1.3).

Теорему доведено.

Наслідки.

1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдине розв’язання.

2. Якщо ранг сумісної системи менше числа невідомих, то система має незліченну множину розв’язань.

Розв’язання невироджених лінійних систем

Нехай дана система п лінійних рівнянь із п невідомими

(1.6)

або в матричній формі

Основна матриця А такої система квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою.

Знайдемо розв’язки даної системи рівнянь у випадку .