1.6 Системи лінійних однорідних рівнянь

Основні поняття

Система лінійних рівнянь називається однорідною (СЛОР), якщо вільний член у кожному рівнянні дорівнює нулю. Нехай дана система лінійних однорідних рівнянь

, (1.9)

яка в матричному вигляді має вигляд:

,

де – нульовий стовпець.

Очевидно, що однорідна система завжди сумісна й має нульовий (тривіальний) розв’язок:

.

Умови існування ненульового розв’язку

СЛОР, крім тривіального, може мати й інші розв’язки (нетривіальні). Виникає запитання: за яких умов однорідна система має й ненульові розв’язки? Відповідь дають наступні теореми.

Теорема. Для того щоб система однорідних рівнянь мала ненульові розв’язки, необхідно й достатньо, щоб ранг її основної матриці був менше числаневідомих, тобто.

Доведення.

Необхідність. Оскільки ранг не може перевершувати розміру матриці, то, мабуть, . Нехай . Тоді один з мінорів розміру відмінний від нуля. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок: , деВиходить, інших, крім тривіальних, розв’язків немає.

Достатність. Нехай . Тоді однорідна система, будучи сумісною, є невизначеною. Отже, вона має незліченну множину розв’язків, тобто має й ненульові розв’язки.

Теорему доведено.

Нехай дана однорідна система п лінійних рівнянь із n невідомими

Теорема. Для того, щоб однорідна система n лінійних рівнянь із n невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно й достатньо, щоб визначник основної матриці дорівнював нулю, тобто.

Доведення.

Якщо система має ненульові розв’язки, то , тому що присистема має тільки єдиний ненульовий розв’язок. Якщо ж, то ранг основної матриці системи менше числа невідомих, тобто . І, виходить, система має нескінченну множину (ненульових) розв’язків.

Теорему доведено.

Приклад.

Розв’язати систему

Розв’язання.

. Через те, що , то система має нескінчену множину розв’язків. Знайдемо їх. Виразимо базисні невідомі тачерез вільну:

Тоді – загальний розв’язок.

Якщо , маємо один частковий розв’язок:,,. Якщо, маємо другий частковий розв’язок:,,і т.д.

Властивості розв’язків СЛОР

Нехай – розв’язок системи (1.9). Запишемо розв’язок у вигляді стовпця:

. (1.10)

Нехай, крім того, – розв’язок системи (1.9).

Розв’язки системи мають такі властивості:

1) якщо є розв’язком системи (1.9), то й добуток, тобто, також є розв’язком;

2) якщо тає розв’язками системи (1.9), тодітакож є розв’язком системи.

Отже, будь-яка лінійна комбінація розв’язків є також розв’язком системи (1.9).

Фундаментальна система розв’язків

Розв’язки називаютьсяфундаментальними, якщо вони лінійно незалежні й всі інші розв’язки лінійно виражаються через них.

Теорема. (Про існування фундаментальної системи розв’язків). Нехай r – ранг матриці системи (1.9), n – число невідомих. Якщо , то існує () лінійно незалежних розв’язків системи й будь-який інший розв’язок лінійно виражається через них.

Доведення.

Нехай ,

Якщо виразити r базисних невідомих через вільних, то одержимо систему, що складається зr лінійних рівнянь:

Із цієї системи маємо

(1.11)

Тоді, надаючи будь-які значення й знаходячиіз системи (1.11), одержуємо всю множину розв’язків системи, які є лінійно незалежними. Дійсно, надаючиодержимо єдині значення. Позначимо матрицю-стовпець розв’язків через. Нехай тепер. Тоді із системи (1.11) одержимой т.д.,.

Розв’язки є лінійно незалежними, тому що матриця розв’язківмає мінор порядку, відмінний від нуля.

Всі інші розв’язки лінійно виражаються через і їх можна подати у вигляді

.

Теорему доведено.

З теореми маємо, що фундаментальна система розв’язків (ФСР), однорідної системи рівнянь, містить розв’язків, а будь-який інший розв’язок може бути поданий у вигляді лінійної комбінації ФСР , і формула

, (1.12)

де – довільні числа, дає загальний розв’язок СЛОР (1.9). Кожний розв’язок, що виходить із (1.12) при конкретних значеннях, називаєтьсячастинним розв’язком СЛОР.

Контрольні запитання та завдання

1. Яка система лінійних рівнянь називається однорідною?

2. Сформулюйте критерій нетривіального розв’язку однорідної системи лінійних рівнянь.

3. Сформулюйте властивості розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь.

4. Дайте визначення фундаментальної системи розв’язків лінійної системи однорідних рівнянь.

5. Скільки існує лінійно незалежних розв’язків у системі лінійних однорідних рівнянь?

6. Якщо загальний розв’язок деякої СЛОР має, наприклад, вигляд ,то скільки розв’язків має фундаментальна система розв’язків?