1.2 Матриці та дії над ними

Це поняття з’явилося в середині XIX ст. в У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895 рр., Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897 рр., Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейєрштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897рр., Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917рр., Німеччина).

Основні поняття

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що містить т рядків однакової довжини та n стовпців однакової довжини (лат. matrix – матка, початок, джерело).

Матриця записується у вигляді

або, скорочено, ,, де(тобто) – номер рядка,(тобто) – номер стовпця.

Матрицю А називають матрицею розміру й пишуть . Матриця, в якійназиваєтьсяквадратною. Квадратну матрицю розміру називають матрицею n-го порядку.

Числа , що утворюють матрицю, називають їїелементами. Елементи, що знаходяться на діагоналі, яка йде з лівого верхнього кута, утворюють головну діагональ матриці.

Квадратна матриця, в якій всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.

Діагональна матриця, в якій кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною. Вона позначається буквою Е. Так, одинична матриця 3-го порядку має вигляд

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, які розташовані по одну сторону від головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою. Вона позначається буквою О і має вигляд

У матричному численні матриці О та Е відіграють роль чисел 0 та 1 в арифметиці.

Матрицю з одним рядком (у матриці) називаютьвектор-рядком, матрицю з одним стовпцем (у матриці) –вектор-стовпцем. Їхній вигляд відповідно: ,.

Матриця розміру , тобто така, що складається з одного числа, ототожнюється із цим числом, наприклад, матриця збігається з 10.

Матриці рівні між собою, якщо рівні всі відповідні елементи цих матриць, тобто

А = В, якщо , де ,.

Лінійні операції над матрицями та властивості цих операцій

Над матрицями можна виконувати арифметичні операції, властивості яких близькі відповідним властивостям арифметичних дій над числами.

Операція додавання матриць застосовується тільки для матриць однакових розмірів.

Сумою двох матриць і називається матрицятака, що, тобто складаються відповідні елементи та отримується матриця того ж порядку.

Приклад.

Задані матриціЗнайти

Розв’язання.

Добутком матриці на число k називається матриця така, що, тобто на числоk помножується кожний елемент матриці.

Приклад.

Дано Знайти

Розв’язання.

Матриця називається протилежною матриці А.

Тоді різницю матриць можна визначити так:

Операції додавання матриць та множення матриці на число називаються лінійними операціями.

Властивості лінійних операцій

Тут А, В, С – матриці одного порядку, і– числа.

Добутки матриць і їх властивості

Операція множення двох матриць застосовується тільки для узгоджених матриць, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.

Добутком матриці на матрицю називається матриця, кожний елемент якої обчислюється за формулою

,

тобто елемент i-го рядка та j-гo стовпця матриці добутку С дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-гo стовпця матриці В. Одержання елемента схематично зображується так:

Приклад.

Задані матриці ,,. Знайти і.

Розв’язання.

1) ,.

2) ,.

Приклад.

Для матриць знайти ті з добутків АВ, ВА, які мають сенс.

Розв’язання.

Добуток АВ не є визначеним через те, що число стовбців матриці не співпадає з числом рядків матриці, тобто матрицяне є узгодженою з матрицею, але матрицяузгоджена з матрицею. Тому

Зауваження.

1. З існування добутку АВ не виходить існування добутку ВА.

2. Якщо матриці А та В – квадратні одного розміру, то добутки й завжди існують, але не завжди.

3. Якщо , то матриціA і В називаються переставними.

4. , де – квадратна матриця,Е – одинична матриця того ж розміру.

Властивості множення матриць

1.3.

2.4..

Ці властивості дійсні, коли суми й добутки матриць мають сенс.

Приклад.

Обчислити

.

Розв’язання.

Зауваження.

1. З того, що не можна укласти, що.

2. З того, що, не виходить в загальному випадку, що

Транспонована матриця та її властивості

Матриця, отримана з даною заміною кожного її рядка стовпцем з тим же номером, називається матрицею, транспонованою до даної. Позначається .

Так, якщо тоякщото

Властивості транспонованої матриці

Піднесення до степеня

Цілим позитивним ступенем квадратної матриці А називається добуток матриць рівнихА, тобто

,

причому ,.

Приклад.

Знайти значення многочлена якщо

Розв’язання.

Зауваження.

Кожній квадратній матриці А можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці. Позначається , або det. Причому неквадратна матриця визначника не має. Матриця має n² чисел, її визначник – це одне число.

Контрольні запитання та завдання

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Які матриці вважаються рівними?

3. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

4. Сформулюйте властивості додавання матриць.

5. Сформулюйте правило множення матриць.

6. Які ви знаєте властивості множення матриці на число?

7. Які ви знаєте властивості множення матриць?

8. Які матриці називаються комутуючими?

9. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

10.Сформулюйте властивості транспонування матриць.