- •2 Елементи векторної алгебри
- •2.1 Вектори та лінійні операції над ними
- •2.2 Проекція вектора на вісь
- •2.3 Розкладання вектора по ортах координатних осей. Модуль вектора. Напрямні косинуси
- •2.4 Дії над векторами, які задані проекціями (координатами))
- •2.5 Скалярний добуток векторів та його властивості
- •1. Визначення кута між ненульовими векторами
- •2. Знаходження проекції одного вектора на напрямок іншого
- •3. Знаходження роботи постійної сили
- •2.6 Векторний добуток векторів та його властивості
- •2.7 Мішаний добуток векторів та його властивості
2 Елементи векторної алгебри
2.1 Вектори та лінійні операції над ними
Аналітична геометрія – розділ математики, в якому вивчаються геометричні об’єкти за допомогою алгебраїчних методів. Бере початок у XVI ст., коли Декарт (1596 – 1650) увів якісно нове описання геометричних об’єктів, а саме описання за допомогою алгебраїчних виразів. Це дало дуже великі можливості як для якісного, так і для кількісного вивчення геометричних об’єктів, бо дозволило змінити оперування геометричними образами на оперування алгебраїчними діями над виразами, відповідними геометричним об’єктам. Основним методом аналітичної геометрії є метод координат, який був спочатку розроблений Р. Декартом, а потім отримав подальший розвиток у роботах П. Ферма (1601 - 1665).
Основні поняття
Величини, які повністю визначаються своїм числовим значенням, називаються скалярними. Прикладами скалярних величин є: площа, довжина, об'єм, температура, робота, маса. Інші величини, наприклад, сила, швидкість, прискорення, визначаються не тільки своїм числовим значенням, але й напрямком. Такі величини називають векторними. На рисунку напрямок вектора позначають стрілкою.
Вектор – це спрямований відрізок, тобто відрізок, що має певну довжину й певний напрямок. Якщо А – початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначається символом або . У друкованому тексті букви, що позначають вектор, іноді виділяють напівжирним шрифтом, а стрілку зверху не ставлять – а. Вектор (у нього початок у точціВ, а кінець у точці А ) називається протилежним вектору . Вектор, протилежний вектору , позначається .
Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка, що визначає вектор, і позначається: ,, , а. Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим вектором і позначається . Нульовий вектор напрямку не має.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Позначається через . Одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком вектора , називаєтьсяортом вектора й позначається .
Ненульові вектори іназиваютьсяколінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих; записують ||.
Колінеарні вектори називаються однаково спрямованими, якщо вони мають однакові напрямки, і протилежно спрямованими, якщо мають протилежні напрямки. Позначаються відповідно й.
Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.
Два вектори й називаються рівними , якщо вони однаково спрямовані та мають однакову довжину.
З означення рівності векторів виходить, що вектор можна переносити паралельно самому собі, а початок вектора поміщати в будь-яку точку простору.
На рис.2.1 вектори утворюють прямокутник. У даному випадку . Вектори й – протилежні, =.
Рисунок 2.1
Три вектори в просторі називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні.
Лінійні операції над векторами
Під лінійними операціями над векторами розуміють операції додавання й віднімання векторів, а також множення вектора на число.
Нехай і – два довільних вектори. Візьмемо довільну точку О і побудуємо вектор =. Від точки А відкладемо вектор =. Вектор , що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумою векторів і : =+(рис. 2.2).
Рисунок 2.2
Це правило додавання векторів називають правилом трикутника. Колінеарні вектори складаються аналогічно.
Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелограма (рис. 2.3):
Рисунок 2.3
Сумою n векторів називається вектор, початок якого збігається з початком першого вектора , кінець – з кінцем останньогоза умови, що кожний наступнийвідкладений з кінця попереднього, де.На рисунку 2.4 показано додавання трьох векторів , і .
Рисунок 2.4
Під різницею векторів і розуміють вектор такий, що (рис. 2.5):
Рисунок 2.5
Відзначимо, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна спрямована діагональ є сумою векторів і , а інша – різницею (рис. 2.6).
Рисунок 2.6
Можна віднімати вектори за правилом: , тобто віднімання векторів замінити додаванням вектора з вектором, протилежним вектору .
Добутком вектора на скаляр (число) називається вектор , що відповідає таким умовам:
1) ;
2) , якщо ;
3) , якщо .
З означення добутку вектора на число виходить, що завжди ,
тобто кожний вектор дорівнює добутку його модуля на орт.
Властивості лінійних операцій
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях з вектором так, як це робиться у звичайній алгебрі: доданки міняти місцями, вводити дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні загальні множники.
Умова колінеарності двох векторів
Теорема. Ненульові вектори йколінеарні тоді й тільки тоді, коли.
Доведення.
Необхідність. Нехай вектори йколінеарні. Покажемо, що. Якщойколінеарні, то одиничні векторий однаково спрямовані або мають протилежний напрямок, тобто
або .
Якщо ,, тоді ,,а отже або. З цих рівнянь випливає, що або , тобто, деабо .
Достатність. Нехай . Колінеарність векторівівиходить з означення добутку вектора на число.
Теорему доведено.
Лінійна комбінація векторів. Їхня лінійна залежність і незалежність
Вектор єлінійною комбінацією векторів , якщо існують числа , не рівні нулю одночасно, що. Системавекторів називається лінійно залежною, якщо існують числа , не рівні нулю одночасно, що їхня лінійна комбінація дорівнює нулю, тобто
. (2.1)
Якщо ж рівність (2.1) правильна тільки тоді, коли всі , то вектори називаються лінійно незалежними.
На площині лінійно залежні два й більше колінеарних вектори. У просторі – три й більше компланарних вектори. Зазначимо, що якщо серед векторів є нульовий вектор, тоді така система векторів завжди лінійно залежна.
Контрольні запитання та завдання
1. Що називається вектором?
2. Що називається довжиною вектора?
3. Дати означення орта вектора.
4. Які вектори називаються колінеарними; компланарними; рівними?
5. Що називається сумою, різницею двох векторів?
6. Як здійснюється додавання векторів за правилом трикутників і за правилом паралелограма?
7. Що називається добутком вектора на число?
8. Які операції над векторами називаються лінійними?
9. Перелічити властивості лінійних операцій над векторами.
10. Сформулювати необхідну й достатню умови колінеарності двох векторів.
11. Що називається лінійною комбінацією векторів?
12. Які вектори називаються лінійно залежними й незалежними?