2.6 Векторний добуток векторів та його властивості

Поняття векторного добутку ввів У. Гамільтон (1853 р.). Г. Грассман застосовував термін “зовнішній добуток”, він також ввів позначення (1844 р.). Позначенняввів Дж. Гіббс.

Векторний добуток векторів

Векторним добуткомвектора на вектор називається вектор , який:

1) перпендикулярний векторам і , тобто і;

2) має довжину, що чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудований на векторах і як на сторонах, тобто, де;

3) із кінця вектора коротший поворот від вектора до видний таким, що виконується проти годинникової стрілки.

Векторний добуток позначається або.

З означення векторного добутку безпосередньо випливають такі співвідношення між ортами :

, , .

Доведемо, наприклад, що:

1) , ;

2) | і;

3) із кінця вектора коротший поворот від вектора до видний таким, що виконується проти годинникової стрілки.

Властивості векторного добутку

1. .

2. .

3. ||.

4. .

Доведення.

1.Вектори й колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки й протилежної орієнтації). Таким чином, .

2. Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і . Вектор також перпендикулярний векторам і (вектори , лежать в одній площині). Отже, вектори і є колінеарними, однаково спрямованими й мають однакову довжину:

і

.

Тому . Аналогічно доводиться , а такожпри <0.

3. Нехай , тобто . Але тоді або, тобто ||. Якщо ||, то кут між ними дорівнює 0° або 180°. Але тоді ,тобто . Зокрема, .

4. Приймемо без доведення.

Векторний добуток у координатній формі

Якщо ,, то

. (2.11)

Доведення.

Користуватимемося таблицею векторного добутку векторів :

Щоб не помилитися зі знаком векторного добутку базисних векторів , зручно користуватися рисунком: якщонапрямок найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то добуток дорівнює третьому вектору, якщо не збігається – третій вектор береться зі знаком «мінус».

Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемножуючи їх як многочлени (відповідно до властивостей векторного добутку):

a_xb_x+ a_xb_y+a_xb_z+

+a_yb_x+a_yb_y+a_yb_z+a_zb_x+a_zb_y+a_zb_z=

=0+++0=

=+=,

тобто

.

Оскільки права частина останньої рівності відповідає розкладанню визначника третього порядку за елементами першого рядка, то його можна записати ще коротше:

.

Застосування векторного добутку

1. Встановлення колінеарності векторів

Із властивості векторного добутку маємо: ||, тобто

||.

2. Обчислення площі паралелограма й трикутника

З означення векторного добутку векторів і його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , як на сторонах, тобто .Тоді .

3. Визначення моменту сили щодо точки

Нехай у точці А прикладена сила й нехайО – деяка точка простору.

Відомо, щомоментом сили щодо точки О називається вектор , що проходить через точку О і відповідає умовам:

1) перпендикулярний площині, що проходить через точки О, A, B;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

;

3) з кінця вектора коротший поворот від вектора до видний таким, що виконується проти годинникової стрілки.

Таким чином,

.

4. Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість точки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, визначається формулою Ейлера , де , О – деяка нерухома точка осі.

Приклад.

Знайти модуль векторного добутку , якщо ,,.

Розв’язання.

Використовуючи властивості та означення векторного добутку, маємо:

. Тоді модуль векторного добутку:

.

Приклад.

Дано . Знайти: 1) векторний добуток векторів,; 2) площу трикутника з вершинами в точкахА, В, С.

Розв’язання.

1. За формулою (2.11) , де ,. Якщо, координати вектора дорівнюють різницям відповідних координат точок його кінця та початку, то

, маємо

.

2. (кв.од.)

Контрольні запитання та завдання

1. Що називається векторним добутком двох ненульових векторів?

2. Які властивості має векторний добуток двох ненульових векторів?

3. Як виражається векторний добуток двох ненульових векторів через їхні координати?

4. Сформулювати й довести необхідну й достатню умову колінеарності двох векторів.

5. Як визначається площа паралелограма й площа трикутника через векторний добуток?

6. За якою формулою обчислюється момент сили щодо нерухливої точки?

7. Довести, що , тобто що площа паралелограма, побудованого на векторах, удвічі менше площі паралелограма, побудованого на діагоналях вихідного паралелограма.