2.7 Мішаний добуток векторів та його властивості

Мішаний добуток векторів

Мішаним добутком трьох ненульових векторів ,,називається число, яке дорівнює скалярному добутку векторана результат векторного добутку векторіві, тобтой позначається.

Геометричний зміст мішаного добутку визначає наступна теорема.

Теорема. Модуль мішаного добутку трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах ,,, як на ребрах.

Доведення.

Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори ,, і вектор (рис.2.14).

Рисунок 2.14

Маємо . Причому |, де S – площа паралелограма, побудованого на векторах і, для правої трійки векторів і для лівої, де Н – висота паралелепіпеда. Таким чином, одержуємо: , тобто , а отже , де V – об'єм паралелепіпеда, утвореного векторами ,і.

Теорему доведено.

Властивості мішаного добутку

1. Мішаний добуток не міняється при заміні місцями знаків векторного й скалярного множення, тобто

.

2. Мішаний добуток не міняється при циклічній перестановці його співмножників, тобто

.

3. Мішаний добуток міняє свій знак при перестановці будь-яких двох векторів-співмножників, тобто

, , .

4. Мішаний добуток дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли вектори ,,компланарні.

Доведення.

1. З теореми й , де знак у правих частинах рівностей береться той же самий, тому що ,,і,, трійки векторів однієї орієнтації.

Отже, , щодозволяє записати мішаний добуток векторів у вигляді , тобто без вказівки знаків векторного й скалярного добутків.

2. Виходить із властивості скалярного добутку векторів і властивості 1 мішаного добутку.

3. Виходить із властивості векторного добутку векторів і властивості 1 мішаного добутку.

4. Необхідність. Нехай мішаний добуток дорівнює нулю. Доведемо, що вектори компланарні. Допустимо, що це не так. Тоді можна було б побудувати паралелепіпед з об'ємом V 0. Але, оскільки , то одержали б, що , а це суперечить умові.

Достатність. Нехай вектори ,,компланарні. Тоді вектор буде перпендикулярний площині, у якій лежать вектори ,, і, отже, . Тому скалярний добуток і дорівнює нулю, тобто . Що й потрібно було довести.

Мішаний добуток у координатній формі

Якщо ,,, то

.

Отже, мішаний добуток векторів дорівнює визначнику третього порядку, складеному з координат векторів, що перемножуються.

Доведення.

Знайдемо мішаний добуток векторів ,,, використовуючи вирази векторного й скалярного добутків через їхні координати:

EMBED Equation.3 .

А права частина останньої рівності являє собою розкладання визначника третього порядку за елементами третього рядка.

Застосування векторного добутку

1. Встановлення компланарності векторів , ,

(,,– компланарні)

2. Визначення взаємної орієнтації векторів , ,

Якщо , то вектори ,,утворюють праву трійку (із кінця вектора коротший поворот від вектора до видний таким, що виконується проти годинникової стрілки) ; якщо , то – ліву.

3. Знаходження об'єму паралелепіпеда й трикутної піраміди, побудованих на векторах , , :

– об'єм паралелепіпеда або ;

– об'єм трикутної піраміди або . (2.12)

Приклад.

Задані координати вершин трикутної піраміди ,_. Знайти висоту піраміди, що опущена з вершини .

Розв'язання.

Позначимо вектори ,,та знайдемо їх координати,. Трикутна піраміда, що побудована на цих векторах, має об'єм, який обчислюється за формулою (2.12) і дорівнює (куб.од.).

З іншої сторони об'єм обчислюється за формулою , де – площа основи, H – висота. Обчислимо площу основи:

(кв.од.).

Тоді висота (од.).

З властивостей всіх трьох видів добутків векторів випливають умови взаємного розміщення векторів:

1) , ортогональність векторів;

2) , колінеарність векторів;

3) , компланарність векторів.

Контрольні запитання

1. Що називається мішаним добутком трьох ненульових векторів?

2. Який геометричний зміст мішаного добутку трьох ненульових векторів?

3. Які властивості має мішаний добуток трьох ненульових векторів?

4. Як виражається мішаний добуток трьох ненульових векторів через їхні координати?

5. У чому полягає необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів?

6. Якщо мішаний добуток додатний, то як це визначає орієнтацію векторів, що перемножуються?

80