2.5 Скалярний добуток векторів та його властивості

Скалярний добуток векторів

Скалярним добуткомдвох ненульових векторів іназиваєтьсячисло, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Позначається , (або). Таким чином, за означенням

, (2.8)

де =. Через те, що , а, то формула (2.8) має інший вигляд:

, (2.9)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з них, помноженому на проекцію іншого на вісь, однаково спрямовану з першим вектором.

Властивості скалярного добутку

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Доведення.

1. За формулою , а. Через те, що,, то.

2. За формулою (2.9) та за властивістю проекцій векторів .

3. За формулою (2.9) та за властивістю проекцій векторів .

4. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: .

.

5. Через те, що =()=, то cos=cos=0. Таким чином, .Якщо ж і ,, то cos()=0. Звідки =()=, тобто .

Зокрема: ,.

Вираження скалярного добутку через координати векторів, що перемножуються

Якщо ,, то

.

Отже, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їхніх однойменних координат.

Доведення.

Користуючись таблицею скалярного добутку векторів :

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

знайдемо скалярний добуток векторів і, перемножуючи їх як многочлени (що законно в силу властивостей лінійності скалярного добутку)

.

Застосування скалярного добутку

1. Визначення кута між ненульовими векторами

Нехай і , тоді , тобто

. (2.10)

Звідси виходить умова перпендикулярності ненульових векторів і:

.

2. Знаходження проекції одного вектора на напрямок іншого

і ,

тобто

і..

3. Знаходження роботи постійної сили

Нехай матеріальна точка переміщається прямолінійно з положення А в положення В під дією постійної сили , що утворює кут з переміщенням .

З фізики відомо, що робота сили при переміщенні дорівнює

A=FS cosтобто.

Таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладання дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

Приклад.

Знайти скалярний добуток , якщо ,,.

Розв’язання.

Використовуючи властивості та означення скалярного добутку, маємо:

.

Приклад .

Знайти довжину вектора , якщо ,, ()=.

Розв’язання.

Приклад.

Дано . Знайти косинус кутаміж векторами,.

Розв’язання.

За формулою (2.10) , де,. Через те, що координати вектора дорівнюють різницям відповідних координат точок його кінця та початку, тобто, маємо

.

Приклад.

Обчислити роботу, здійснену силою = (-2,2,10), якщо точка її прикладання пересувається прямолінійно з положення A(2,-4,6) в положення В(4,2,8). Під яким кутом до АВ направлена сила ?

Розв’язання.

Знаходимо . Тоді

(од. роботи).

Кут між і знаходимо за формулою, тобто

Контрольні запитання

1. Що називається скалярним добутком двох ненульових векторів?

2. Як обчислюється скалярний добуток двох векторів через проекцію одного вектора на інший?

3. Які властивості має скалярний добуток двох ненульових векторів?

4. Як виражається скалярний добуток двох ненульових векторів через їхні координати?

5. Чому дорівнює кут між двома векторами й?

6. Як визначається проекція одного вектора на інший через їхній скалярний добуток?

7. Чому дорівнює робота постійної сили по переміщенню матеріальної точки?