1.7 Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

Розв’язок системи, знайдений за допомогою оберненої матриці та за допомогою формул Крамера, з погляду розрахунків, дуже трудомісткі, тому зазвичай використовують інші. Одним із найпоширеніших є метод Гауса, на якому побудовано чимало інших методів (Гаус Карл Фрідріх (1777-1855), Германія).

Основні поняття

Одним з найбільш універсальних і ефективних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, що полягає в послідовному виключенні невідомих.

Нехай дана система рівнянь

. (1.13)

Процес розв’язання системи (1.13) за методом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система приводиться до східчастого (зокрема, трикутного) вигляду.

Наведена нижче система має східчастий вигляд

де Коефіцієнти називаються головними елементами системи.

На другому етапі (зворотний хід) іде послідовне визначення невідомих із цієї східчастої системи. Опишемо метод Гауса докладніше.

Метод Гауса

Прямий хід.

Вважатимемо, що головний елемент (якщо, то першим у системі запишемо рівняння, у якому коефіцієнт при відмінний від нуля).

Перетворимо систему (1.13), виключивши невідому у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на й складемо почленно із другим рівнянням системи. Потім помножимо обидві частини першого рівняння най складемо із третім рівнянням системи. Продовжуючи цей процес, одержимо еквівалентну систему

Тут – нові значення коефіцієнтів і правих частин, які виходять після першого кроку.

Аналогічним способом, вважаючи головним елементом , виключимо невідоме із всіх рівнянь системи, крім першого й другого. Одержимо систему виду

Продовжуючи цей процес, одержимо розширену матрицю у вигляді

. (1.14)

Тоді можливі наступні випадки.

1. Якщо хоча б одне із чисел ,, …,відмінне від нуля, то й система несумісна.

2. Якщо числа ==…==0, той система сумісна.

Причому, якщо:

а) r=n, то система має єдиний розв’язок;

б) , то система має незліченну множину розв’язків.

Зворотний хід

У випадку сумісної системи поставимо матриці (1.14) відповідно до системи рівнянь або трикутного вигляду, або східчастого. Східчаста система рівнянь, загалом кажучи, має незліченну множину розв’язків. В останньому рівнянні цієї системи виражаємо невідому через інші невідомі . Потім підставляємо значення в передостаннє рівняння системи й виражаємочерез; потім знаходимо Надаючи вільним невідомимдовільні значення, одержимо незліченну множину розв’язків системи. Якщо система виявляється трикутною, тобто, то вихідна система має єдиний розв’язок. З останнього рівняння знаходимо, з передостаннього рівняння , далі піднімаючись за системою вверх, знайдемо всі інші невідомі.

Зауваження.

На практиці зручніше працювати не із системою (1.13), а з її розширеною матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт дорівнював 1 (для цього рівняння треба або переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на ).

Приклад.

Розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь методом Гауса:

Розв’язання.

У результаті елементарних перетворень над розширеною матрицею системи

початкова система доведена до східчастого вигляду:

Тому , і загальний розв’язок має вигляд.

Нехай, наприклад, тоді один з часткових розв’язків цієї системи

Приклад.

Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь методом Гауса:

Розв’язання.

Складемо основну матрицю системи та проведемо над нею елементарні перетворення

.

За допомогою методу Гауса маємо:

Виберемо таза вільні невідомі.Надаючи їм значення 1, 0 та 0, 1, одержимо два розв’язки: та , які є лінійно незалежними і утворюють так звану фундаментальну систему розв’язків. Через те, що однорідна система рівнянь є невизначеною системою, то вона має безліч розв’язків. Загальний вигляд розв’язку дорівнює , де та -довільні числа, тобто

Контрольні запитання

1. В чому полягає прямий хід методу Гауса розв’язання системи алгебраїчних рівнянь та матричний спосіб розв’язання системи алгебраїчних рівнянь?

2. В чому полягає обернений хід методу Гауса розв’язання системи алгебраїчних рівнянь?

59