2.1.2. Описание модели оценки эффективности проектов портфеля

Пусть имеется множество P оцениваемых проектов, Р = {1, 2, …,_n p}. Обозначим Q⊆P - подмножество множества проектов - портфель проектов. Каждый портфель проектов Q оценивается по k критериям: xj(Q) - оценка портфеля Q по крите­рию j^∈ K= {1, 2, …,_k } - множеству критериев.

Будем считать, что система критериев такова, что:

-Xj{-): 2^P → ЧЯ^, j ∈ K, то есть Xj{-) — функция множеств

(функция оценки определенного эффекта от реализации портфеля проектов), принимающая неотрицательные действительные значе­ния;

• Vj ∈ K, VQj ⊆Q₂ xj(Q1) ≤xj(Q₂), то есть считается, что чем выше оценка, тем "лучше" - больше эффект, причем добавление новых проектов в портфель не снижает его оценки;

• Vj ∈ K, VQ_h Q₂ ⊆P: Q₁∩Q₂ = ∅,

-свойство супераддитивности функций оценок, отражающих синергетический эффект портфеля - одновременная реализация

63

двух различных портфелей приводит к не меньшему эффекту, чем реализация этих портфелей по отдельности.

Положительный "октант" $Н£ представляет собой пространст­во состояний рассматриваемой системы - введенный набор крите­риев отображает в это пространство любой портфель проектов.

Рассмотрим теперь цели организации, реализующей портфель проектов. Цель, фактически, определяет, движение в каком на­правлении в пространстве 9?£ является предпочтительным, или,

что почти то же самое (см. [66]), какая из любых двух точек в этом пространстве "лучше" с точки зрения организации (является более предпочтительной). Цель будем описывать функцией F(x), где х = (x 1, _x2,…, xk) - вектор оценок, F: SR£ —>1.

Относительно критерия эффективности - функции F(-) - бу­дем предполагать, что она монотонно возрастает по всем перемен­ным (данное предположение естественно, так как выше введено предположение о том, что организация заинтересована в увеличе­нии оценок по всем критериям). Более того, потребуем, чтобы критерий эффективности был согласован с отношением Парето-доминирования векторов оценок. Содержательно, функция F(-) отражает приоритеты критериев - значения по всем из них хоте­лось бы увеличивать, однако, если присутствуют ограничения, то оптимум будет зависеть от "приоритетов" [77, 118].

Введем множество W ограничений w,{-): 2^P —> 1+, j ∈R = {1, 2, …,_n r}, имеющих вид wl(Q) ≥0, l ∈R.

Если на множестве SR£ задан критерий эффективности F(-) и

ограничения, то задачу выбора оптимального портфеля проектов Q* ⊆P можно записать в виде

(1) F(_x1(Q), x₂(Q) ,…, xk(Q)) → max

{Q⊆P|w_l(Q)≥0,l∈R}

Задача (1) является задачей дискретной оптимизации (в част­ном случае - при одном ограничении - задачей о ранце) [26] и

64

останавливаться подробно на методах ее решения мы не будем (эта проблема заслуживает отдельного исследования).

2.1.3. Задача согласования интересов

Выше задача выбора портфеля проектов была сведена к задаче дискретной оптимизации (1). При этом предполагалось, что все функции и ограничения известны. Обсудим, откуда "берутся" система критериев, критерий эффективности и ограничения.

Выбор критериев оценки проектов и портфелей проектов, как правило, не вызывает затруднений - обычно используются вре­менные (например, время завершения), финансовые (например, доход, прибыль, рентабельность и т.д.), социальные (например, социальная значимость проекта) и другие показатели [74, 76, 78]. Ограничения также обычно легко перечисляются - технологиче­ские, ресурсные и другие.

Сложнее дело обстоит с критерием эффективности. Фактиче­ски, имеется многокритериальная задача принятия решений [77, 118], в которой специфика портфелей проектов отражается тем, что, во-первых, не всегда руководитель способен сформули­ровать четко свои предпочтения, а, во-вторых, может существовать несколько различных (несовпадающих) мнений относительно того, какой портфель проектов считать более эффективным.

Последний эффект обусловлен тем, что любая организация является сложной системой, однозначно описать цели которой с позиций одного субъекта не всегда удается. Кроме того, любая организация состоит из множества агентов (руководителей, под­разделений, сотрудников), представления которых о том, "что такое хорошо, и что такое плохо", могут быть различными как в силу несовпадения их интересов, так и в силу отличий в опыте, квалификации и т.д.

Поэтому рассмотрим множество N = {1, 2, …,_n } агентов, оце­нивающих эффективность портфеля проектов, каждый со своей

65

точки зрения. Агент i имеет свои представления F_i(x) об эффектив­ности F_i: Щ 4>9l_hi ∈N.

Тогда задача построения "агрегированного" критерия эффек­тивности F(-) заключается в нахождении такого отображения F(x): УС_к k 9ti, которое было бы "максимально согласовано" с

набором предпочтений F_i(x): 9?£ —> 1, i ∈N, агентов из множест­ва N

Неоднозначность толкования "максимальной согласованно­сти" порождает целый класс задач согласования интересов, изуче­нию которого посвящено множество исследований (см. [90, 134 и

др.]).

Формально задача согласования интересов выглядит следую­щим образом: пусть задана метрика || • || и известна область X ⊆ 9?£ возможных значений оценок по критериям: x ∈X; требу­ется найти (2)F*(.) = argmin max ∑|| F(x)−F_i(x) ||,

^П'> *^еХ 1'еЛГ

где минимум вычисляется по множеству всевозможных отображе­ний F(-): $R£ +→ Ж}, удовлетворяющих перечисленным выше свой­ствам.

Решать задачу (2) в общем виде достаточно трудоемко, поэто­му целесообразно введение дополнительных предположений.

Можно искать критерий эффективности в виде линейной ком­бинации критериев эффективности агентов:

где α = (_α 1, _α2,…, αn), αi ≥0, i ∈N, ∑α_i = 1.

Если предпочтения агентов таковы, что относительная важ­ность критериев не зависит от оценки (локальной характеристикой относительной важности j-го критерия с точки зрения i-го агента

66

∂F_i(x)

может служить частная производнаяi в точке x ∈ X, норми-

∂xj

рованная на абсолютное значение градиента в этой точке), то есть, например

а значения оценок по критериям нормированы, то при использова­нии квадратичной метрики задача (2) примет вид:

В итоге решения данной задачи условной оптимизации полу­чим так называемый линейный приоритетный критерий эффектив­ности

где

В качестве другого примера можно привести равномерный критерий: Fγ(x)= min {γjxj}. Для него (и других, подобных рас-

смотренным выше, критериев) задача согласования (2) сводится к той или иной известной оптимизационной задаче.