Литература / Прокофьевская книга по дискретке / glava2-2

§2.2. Способы задания графов

Существует несколько способов задания графа:

1. графический;

2. с помощью перечисления ребер;

3. с помощью матрицы смежности;

4. с помощью матрицы инцидентности.

С графическим способом, при котором вершины графа изображаются точками на плоскости или в пространстве, а ребра – непрерывными кривыми, соединяющими соответствующие точки, мы уже фактически познакомились. При этом один и тот же граф можно представлять по-разному, с пересечением ребер или без (рис. 2.5).

Теорема. В можно изобразить любой конечный граф так, чтобы не было пересечений ребер во внутренних точках.

Д

Рис. 2.20

Рис. 2.21

оказательство. Пусть G – произвольный граф с множеством вершин V(G) и множеством ребер E(G). Занумеруем множество вершин: V(G) = {v₁, v₂, …, v_n}. Тогда каждому ребру е соответствует пара инцидентных ему вершин (v_i, v_j), где i < j  n. Проведем в пространстве произвольную прямую l и п различных полуплоскостей ₁, ₂, …, _п, границей которых является прямая l (рис. 2.20). На каждой плоскости _i возьмем произвольно точку V_i, не принадлежащую прямой l, а на прямой l – произвольные различные точки U_ij, соответствующие ребрам (v_i, v_j). Изображением вершины v_i графа G будет служить точка V_i, изображением ребра (v_i, v_j) – ломаная V_i U_ij V_j. Очевидно, при этом ломаные, соответствующие разным ребрам, могут пересекаться только в точках, соответствующих вершинам. Теорема доказана.

В памяти ЭВМ граф часто задается перечислением ребер. Например, для графа, изображенного на рис. 2.21: (1, 2), (2, 3), (2, 4).

Рассмотрим способы задания графов с помощью матриц.. Пусть G – граф порядка п. Занумеруем его вершины: . Определим матрицу А = А(G) размера п  п следующим образом:

А(G) называется матрицей смежности графа G.

Если граф G без петель, то а_ii  0. Если в графе G допускаются кратные ребра, то а_ij равно количеству ребер, соединяющих вершины а_i и а_j . Для неориентированного графа матрица А(G) является симметрической, для ориентированного – нет.

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин. Посмотрим, как связаны между собой эти матрицы. Пусть G и Н – помеченные графы порядка п и . Это означает, что G и Н различаются только нумерацией вершин, т.е. существует подстановка s на множестве вершин, сохраняющая смежность: вершины и и v тогда и только тогда смежны в G, когда их образы s(и) и s(v) смежны в Н. Положив А(G) = А, В(G) = В, получаем:

Следовательно, графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов. Из этого вытекает, что ранги матриц изоморфных графов равны, что позволяет ввести для абстрактного графа следующее определение ранга: рангом графа называется ранг его матрицы смежности. Как и в случае матриц, ранг графа G будем обозначать через rank G.

Теорема. Для каждого связного графа G верно неравенство .

Доказательство. Пусть . Рассмотрим матрицу смежности А(G), причем выберем нумерацию вершин так, чтобы вершины одной из диаметральных цепей имели номера 1, 2, …, d+1: – диаметральная цепь. Очевидно, что является клеточной матрицей, в левом верхнем углу которой расположена матрица смежности А порожденного подграфа Этот подграф является

простой цепью, следовательно,

– симметрическая матрица порядка d + 1, все элементы которой, за исключением двух ближайших к диагонали полос единиц, равны нулю. минор порядка d матрицы А, остающийся после вычеркивания первого столбца и последней строки, равен 1. Следовательно, . Теорема доказана.

Выведем необходимое условие изоморфности графов. Пусть s – произвольная подстановка, действующая на множестве {1, 2, …, n}. Определим матрицу S размерности n  n, положив

Очевидно, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы S содержится ровно по одной единице и . С помощью прямых вычислений проверяется, что

Таким образом, . Из этого следует, что матрицы смежности изоморфных графов подобны. Поэтому равны характеристические многочлены этих матриц. Следовательно, корректно определение характеристического многочлена графа, как характеристического многочлена его матрицы смежности. Спектр матрицы смежности, т.е. совокупность корней характеристического многочлена с учетом их кратности, называется спектром графа. Следует заметить, что из совпадения характеристических многочленов графов не следует их изоморфизма.

Определим матрицу инцидентности графа. Пусть -граф, . Определим матрицу I = I(G) размера п  т, положив

Матрица I называется матрицей инцидентности графа G. В каждом ее столбце ровно две единицы, одинаковых столбцов нет.

Для ориентированных графов определение матрицы инцидентности I видоизменяется:

Теорема. Графы (ориентированные графы) изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга перестановками строк и столбцов.

Решение типовых задач

1

4

2

Рис. 2.22

. Для графов, изображенных на рисунке 2.22 построить матрицы смежности.

Решение. Зададим нумерации вершин. Матрицы смежности имеют следующий вид:

а) А = ; б) А = ;

в) А = ; г) А = .

2

Рис. 2.23

. Составить матрицу инцидентности графа, изображенного на рис. 2.23.

Решение. Зададим нумерацию вершин и построим матрицу инцидентности:

.

3

Рис. 2.24

. Найти характеристические многочлены для графов, изображенных на рис. 2.24

Решение. Зададим нумерацию вершин и составим матрицы инцидентности.

, .

Найдем характеристические многочлены.

,

.

Таким образом, графы не изоморфны, но имеют одинаковые характеристические многочлены.

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить матрицы смежности и инцидентности для полного графа порядка п.

2. Составить матрицы смежности и инцидентности для графов, изображенных на рис. 2.8, занумеровав из другим способом. С помощью этих матриц докажите изоморфность графов.

3. Возвести матрицу смежности графа К₄ в квадрат. Какой смысл имеют элементы получившейся матрицы?

4. Пусть . Доказать, что b_ij равно количеству путей длины т из вершины i в вершину j.

5. Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности, найти ранг графа С₄.

6. Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности, найти ранг графа К_2,2.

7. Пусть G_п – граф, множество вершин которого совпадает с отрезком натурального ряда {1, 2, …, n}, а множество ребер определяется условием: несовпадающие вершины и и v смежны тогда и только тогда, когда и и v взаимно просты.

а) Записать матрицу смежности графа G₅, найти его ранг и диаметр.

б) Является ли граф G_п связным?

в) Доказать, что при т < n граф G_т является порожденным подграфом графа G_п.

8. Изобразить графы, имеющие следующие матрицы смежности; для графа из задания а) найти диаметр, ранг, указать центр, периферийные, доминирующие и концевые вершины:

а); б) ;

в) ; г) .

9. Изобразить графы, имеющие следующие матрицы инцидентности, для графа из задания а) найти диаметр, ранг, указать центр, периферийные, доминирующие и концевые вершины:

а); б).

Ответы

1. , .

2. Указание: перенумеровать строки и столбцы таким образом, чтобы из одной матрицы получилась другая.

3. . , так как существует ровно 3 пути из в , равно 3, так как существует ровно 2 пути из в .

4. Указание: показать, что .

5. , , .

6. , ,

7. а) , . б) связный,

8. а) См. рис. 2.25; ; ; вершины 2, 3, 4 – центральные; 1, 5 – периферийные; доминирующих нет; 1, 5 – концевые;

б) см. рис. 2.26; в) см. рис. 2.27; г) см. рис. 2.28.

9

1

. а) См. рис. 2.30; ; ; вершина 2 – центральная; 1, 3, 4, 5 – периферийные; 2 – доминирующая; 1 – концевая; б) см. рис. 2.30.

Рис. 2.25 Рис. 2.26 Рис. 2.27

Рис. 2.28 Рис. 2.29

Рис. 2.30

101