Изоморфизм графов
Легко подсчитать число графов с фиксированным множеством вершин V. Эти графы различаются своими ребрами, и поэтому их число равно количеству подмножеств множестваVV, т.е., гдеп= | V |. Однако эти графы на всегда следует различать. Как в применении теории графов, так и в самой этой теории чаще существенно лишь то, что есть объекты (вершины графа) и связи между объектами (ребра графа). С этих позиций графы, которые получаются один из другого изменением наименований вершин, разумно не различать. Такие графы называютсяизоморфными.
Пусть GиН– графы, а– биекция. Если для любых вершинииvграфаG их образыисмежны вН тогда и только тогда, когдаииvсмежны вG, то эта биекция называетсяизоморфизмом графа G на граф Н. Если такой изоморфизм существует, то мы пишем и говорим, что графыGиН изоморфны.
П
Рис. 2.8
О
Рис. 2.9
В
Рис. 2.10.
Число gnпомеченных графов порядкапопределяется сложно. Известнаформула Пойа
,
дающая асимптотику числа gn. Эта формула означает, что две функцииg(п)=gn иf(n)=асимптотически равны, т.е..
Операции над графами
Граф Нназываетсяподграфом(иличастью) графаG, еслиVHVG,ЕHЕG. ПодграфНназываетсяостовным подграфом, еслиVH=VG. Если множество вершин подграфаНестьU, а множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графаG, оба конца которых принадлежатU, тоНназываетсяподграфом, порожденным множеством U. На рис.2.11 изображены графGи три его подграфаН1,Н2иН3 , среди которыхН3 является остовным, аН2– порожденным.
Г
Рис. 2.11
В
Рис.
2.12
Очевидно, что ,
.
С помощью операции произведения можно определить п-мерный кубрекуррентно:.
Покажем, что это определение совпадает с данным ранее. Действительно, . Вершины графаможно представить векторами длиныпиз 0 и 1 таким образом, что две вершины будут смежны тогда и только тогда, когда соответствующие векторы различаются в одной координате.
Д
Рис. 2.13
Граф, изоморфный своему дополнению, называется самодопол-нительным.