1 Этап. Получение сокращенной днф функции.

Далее нами будут использоваться следующие равносильные преобразования:

а) операция неполного склеивания, которая состоит в замене выражения на;

б) операция полного склеивания, которая состоит в замене выражения на;

в) операция поглощения, которая состоит в замене выражения на.

Утверждение 4. Сокращенную ДНФ функции можно получить из ее совершенной ДНФ, применяя вначале все возможные операции неполного склеивания, а затем операции поглощения.

Доказательство.Рассмотрим операцию полного склеивания и покажем, что из СДНФ операцией полного склеивания можно получить произвольный простой импликант функции .

Пусть - произвольный простой импликант функции. Изоперацией, обратной операции полного склеивания, можно получить дизъюнкцию элементарных конъюнкций, входящих в СДНФ функции . Действительно, будем последовательно добавлять переменные, от которых зависит функция , но которые не входят в простой импликант. Так, если в простой импликантне входит переменная, то заменяемна; аналогично можно внести недостающие переменные в элементарные конъюнкциии. Продолжая этот процесс, получим дизъюнкцию всевозможных элементарных конъюнкций, содержащихв качестве множителя. Эти элементарные конъюнкции входят в СДНФ (обоснуйте!) и их дизъюнкция является частью СДНФ.

Легко видеть, что процесс перехода от простого импликанта к части СДНФ обратим, т.е. с помощью операции полного склеивания можно из этой части совершенной СДНФ получить простой импликант . Может случиться, что одна и та же элементарная конъюнкция совершенной ДНФ необходима для получения разных простых импликантов. Поэтому необходимо применять операцию неполного склеивания, которая сохраняет все элементарные конъюнкции.

Итак, из СДНФ операцией неполного склеивания получены все простые импликанты. Теперь надо удалить из полученной ДНФ все элементарные конъюнкции, не являющиеся простыми импликантами функции . Всякую элементарную конъюнкцию, не являющуюся простым импликантом, можно представить в виде, где- простой импликант. Импликантыивходят в ДНФ, полученную из СДНФ операцией неполного склеивания, поэтому, применяя к ним операцию поглощения, получим ДНФ, не содержащую.

И последнее: если в полученной после всех вышеописанных преобразований ДНФ встречаются одинаковые конъюнкции, необходимо избавиться от дублирующих членов, используя равносильность .■

Утверждение 4 лежит в основе одного из методов построения сокращенной ДНФ – метода Квайна. Этот метод состоит в следующем:

0-ой этап. Строится СДНФ функции.

1-ый этап.

а) К каждой паре конъюнкций из СДНФ применяется, если это возможно, операция неполного склеивания (заменяется на).

б) С помощью операции поглощения удаляются те конъюнкции рангаn, которые можно удалить таким образом. В итоге получается некоторая ДНФ.

(k+1)-ый этап

Пусть после k() этапов построена ДНФ. К каждой паре конъюнкций рангаДНФприменяются операции неполного склеивания и поглощения и убираются дублируемые члены. В результате получается ДНФ.

Алгоритм завершается, если .

Примеры 2. Построим методом Квайна сокращенную ДНФ функции .

.

3. Построим методом Квайна сокращенную ДНФ функции .

.

Заметим, что построенная сокращенная ДНФ функцииявляется минимальной, посколькузависит от переменныхсущественным образом и, значит, не может быть представлена ДНФ, содержащей менее трех букв.

Приведем без обоснования еще один метод построения сокращенной ДНФ – метод Нельсона:

1. Записываем СКНФ функции.

2. Раскрывая скобки и применяя ряд равносильных преобразований, переходим от реализации функции в виде СКНФ к реализации в виде дизъюнкции конъюнкций (пока не обязательно элементарных).

3. Упрощаем полученную на предыдущем шаге формулу, применяя пока это возможно тождества . По завершении преобразований получаем сокращенную ДНФ.

Пример 4. Найдем методом Нельсона сокращенную ДНФ для функции из примера 3:

.