Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Параграф 2.12
.doc2.12. Критерий полноты (теорема Поста)
Классы , , , , называют классами Поста.
Утверждение 1. Классы Поста неполны и попарно различны.
Доказательство. Предположим, что какой-то из классов Поста полон. Тогда любая функция принадлежит его замыканию, а, следовательно, в силу его замкнутости, и ему самому. Но это не так. Например, штрих Шеффера не принадлежит ни одному из классов Поста.
Чтобы убедиться в попарном различии классов Поста, составим таблицу, столбцы которой соответствуют классам , , , , , строки – функциям , а в клетках проставляется «+» или «–» в зависимости от того, принадлежит ли функция соответствующему классу или не принадлежит.
|
|||||
+ |
– |
– |
+ |
+ |
|
– |
+ |
– |
+ |
+ |
|
– |
– |
+ |
– |
+ |
Теорема (Поста). Для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы множество не являлось подмножеством ни одного из классов Поста.
Доказательство. Необходимость. Пусть система полна. Докажем, что , , , , . Доказательство проведем от противного: предположим, что - подмножество одного из классов Поста. Обозначим этот класс . Имеем:
.
Следовательно, . т.е. . Но это не так, хотя бы потому, что штрих Шеффера не принадлежит ни одному из классов Поста. Получили противоречие, следовательно, наше предположение было неверным.
Достаточность. Пусть , , , , .Тогда найдутся функции такие, что , , , , . Покажем, что отрицание и конъюнкцию можно реализовать формулами над множеством . Процедуру построения соответствующих формул покажем в виде схемы:
Таким образом, конъюнкцию и отрицание можно реализовать формулой над . Имеем: - полная система, причем каждая ее функция может быть выражена формулой над . Следовательно, условия теоремы о полноте выполнены и, значит, - полная система. ■
Следствие. Всякий замкнутый класс функций, не совпадающий с , содержится, по крайней мере, в одном из классов Поста.
Определение. Класс называется предполным классом, если:
-
неполон;
-
добавление к любой функции, ему не принадлежащей, приводит к образованию полного множества.
Справедливо утверждение, которое мы приводим без доказательства.
Утверждение 2. Предполными являются классы Поста и только они.
Определение. Система функций называется базисом, если:
1. -полна;
2. при удалении из системы хотя бы одной функции, полнота теряется.
Примеры. 1. - дизъюнктивный базис Буля.
2. - конъюнктивный базис Буля.
3. - базис Шеффера.
4. - базис Жегалкина.