Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / парагр 2

2.9. Класс самодвойственных функций и его свойства

Определение. Говорят, что булева функция самодвойственная, если .

Обозначим через множество самодвойственных функций от переменных, а через – множество всех самодвойственных функций; т.е. .

Например, ; .

Утверждение. Множество самодвойственных функций - замкнутый класс.

Доказательство. Наша задача показать, что . Согласно первому свойству замыкания . Докажем, что и , т.е., что любая булева функция, реализованная формулой над , самодвойственная. Поскольку класс содержит тождественную функцию, то нам достаточно показать, что функция , если . Имеем:

. ■

Лемма (о не самодвойственной функции). Пусть . Тогда формулой над множеством можно реализовать константы 0 и 1.

Доказательство. Пусть . Тогда существует такой набор значений переменных, что

или

,

и, значит,

. (1)

Рассмотрим функцию , где . Заметим, что , . И, значит,

;

.

Учитывая равенство (1), получим , т.е. - константа, - другая константа. ■

Введем условное обозначение алгоритма, использованного для доказательства леммы :

Упражнения. 1. Выяснить, сколько имеется самодвойственных функций от переменных.

2. Рассмотреть работу леммы на примере функции .

Решение. Для удобства рассуждений зададим функцию таблично, а также реализуем в виде СКНФ:

.

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Заметим, что , следовательно, . Следуя лемме, рассмотрим функцию

.

.

22