СТАТИСТИКА (пособие 2012)

Например, рассчитать структурные средние представленного ряда, сделать выводы о структуре численности работников по объему произведенной продукции:

На основе выполненных в таблице расчетов модальный и медианный интервал совпадают, это интервал 56;78 , а тогда мода и медиана:

продукции менее, чем на 67733 руб., а 50% более, чем на 67733 руб. Рассмотренные в этой главе обобщающие показатели: абсолютные,

относительные, средние и структурные средние позволяют сделать выводы об общих изменениях изучаемых статистических показателях: структуре совокупности, сравнении отдельных частей совокупности и единиц совокупности, интенсивности и динамики развития явления или процесса, а также общие закономерности в совокупности на основе средних величин.

3.5. Меры вариации, их сущность и роль.

Одной из важнейших задач статистики является измерение вариации статистического показателя. Одной из простейших мер вариации является размах

или колеблемость варьирующего признака: R xmax xmin - разность между

самым и самым маленьким значением признака, но она не описывает вариацию признака внутри интервала [xmax; xmin].

Характеристикой, которая дает обобщенную характеристику ряда и гасит случайные отклонения значений признака, является средняя. Вокруг значения средней величины происходят колебания признака, для обобщения этих колебаний применяется средняя величина этих отклонений.

41

исчислении средней величины по формуле простой средней арифметической простой для несгруппированных данных, xi – индивидуальное значение признака, x - среднее значение признака, n – объем совокупности. Для сгруппированных

данных применяется d xi x fi , т.е. при исчислении средней величины

fi

признака по формуле средней арифметической взвешенной, где xi – отдельное значение признака в группе (для дискретных рядов) и середина соответствующего интервала (для интервальных рядов), x - среднее значение признака, fi – частота или частость группы.

При достаточно большом размахе величина линейного отклонения достигает или превышает среднее значение признака. При различии максимального и минимального значения признака на порядок или более, эта характеристика не описывает характер вариации. Для такого описания применяют средний квадрат отклонений от средней величины или дисперсию и среднее квадратическое отклонение, которое является корнем второй степени из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных.

n

среднее квадратическое отклонение от средней величины признака, где xi – индивидуальные значения признака, x - среднее значение, n – объем совокупности.

Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

средней, где xi –конкретное значение признака в группе для дискретных рядов и середина интервала для интервальных рядов, x - среднее значение признака, fi – численность или частота в группе.

42

Свойства дисперсии:

1.Если каждое значение признака изменить в к раз, то дисперсия изменится в к2 раз;

2.Если каждое значение признака изменить на одно и то же число, то дисперсия не изменится

Такие характеристики вариации признака, как средняя величина и среднее квадратическое отклонение для интервальных рядов с равными интервалами, могут быть рассчитаны по способу моментов:

где А- условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина

По характеру вариации признаки в статистике подразделяются на альтернативные, дискретные и непрерывные. К двум последним разновидностям относят количественные (числовые) признаки, для которых меры вариации представлены. Оценка вариации альтернативного признака (обладание или не обладание определенным свойством) – требует дополнительных построений. Пусть 1 – значение признака для единиц совокупности, обладающих изучаемым свойством, 0 – значение признака для единиц совокупности, необладающих изучаемым свойством, р – доля единиц, обладающих изучаемым свойством, q – доля единиц, необладающих изучаемым свойством, в результате получается

Рассмотрим пример: Пусть имеются следующие данные о результатах проверки качества деталей, известно, что 4% из них бракованные. Определить среднее квадратическое отклонение доли брака. Тогда:

p 0,04; q 0,96 2 0,04 0,96 0,0384; 0,196 , это означает, что среднее квадратическое отклонение доли брака составит 19,6%.

Величина коэффициента вариации v x 100% говорит об однородности

изучаемой совокупности, так, если вариация меньше либо равняется 33%, то

43

совокупность считается однородной, в противном случае, следует осуществить перегруппировку. Формулы, используемые, для расчета среднего линейного отклонения – средняя арифметическая простая и взвешенная, для расчета среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации применяется формула средней квадратической.

Для выполнения оценки влияния вариации фактора, положенного в основании группировки, на вариацию результативного признака (результата) используется правило сложения дисперсий, в котором отражена общая вариация

под влиянием всех фактором на базе общей дисперсии: 2 (xi x)2 fi ,

fi

систематическая вариация результата под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки оценивается на базе межгрупповой

дисперсии: 2 ( xi x ) fi , вариация под влиянием неучтенных факторов

fi

оценивается на базе средней из внутригрупповых дисперсий: средняя из

Общая дисперсия, межгрупповая и средняя из внутригрупповых связаны

Чеддока силу связи между фактором и результатом, знак перед корнем показывает направление связи. Шкала Чеддока для определения силы связи между фактором и результатом

процентах (часть изменений результата под влиянием фактора).

Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же

44

Отклонение крайних значений признака от средней: К0 Rx 100% 5,9% .

Представленные меры вариации, средние и другие показатели описывают общие закономерности изменений в вариационных рядах как для несгруппированных, так и для сгруппированных данных.

3.6. Показатели асимметрии и эксцесса, центральные моменты распределения

Вариационный ряд называется симметричным если частота вариантов, равноотстоящих от некоторого значения, равны между собой, если частоты по обе стороны изменяются неодинаково, то ряд называют асимметричным или скошенным. Для расчета асимметрии используются центральные моменты ( m),

Формулы центральных моментов первых четырех порядков представлены в таблице 3, центральный момент третьего порядка ( 3) используется для характеристики асимметричности распределения (для симметричных распределений (xi x)3 0 ), а степень асимметрии определяется с помощью

коэффициента асимметрии (А3): A3 3 .

3

46

Если А3=0, то говорят, что распределение симметрично, если А3>0, то асимметрия является правосторонней, если А3<0, то асимметрия является левосторонней.

Центральный момент четвертого порядка используется для оценки эксцесса (остроты вершины распределения) на основе коэффициента эксцесса:

плосковершинным.

Контрольные вопросы

1.Что называют абсолютными показателями в статистике? Приведите пример

2.Какими бывают абсолютные величины в статистике в зависимости от единиц измерения?

3.Назовите виды относительных показателей. Приведите пример.

4.Охарактеризуйте каждый относительный показатель

5.Назовите логическую формулу для вычисления каждого относительного показателя. Приведите примеры.

6.Какие относительные показатели используются для сравнения одного и того же показателя в разное время?

7.Какой относительный показатель описывает отдельные части целого? Приведите пример.

16.Назовите виды средних величин в статистике, формулы для вычисления средних величин и приемы для выбора формулы для вычислений.

17.Приведите примеры расчета простой средней арифметической простой и взвешенной.

18.Приведите примеры расчета средней величины с помощью средней гармонической.

19.Что называют модой в статистике? Что называют медианой в статистике?

20.Чему равна мода и медиана рядов с несгруппированными данными?

21.Чему равны мода и медиана представленного ряда?

22. Что называется кумулятивной частотой?

47

23.Чему равна мода и медиана дискретного ряда?

24.Дайте понятие модального и медианного интервалов. Чему равна мода и медиана интервального ряда?

25.Какие ряды называют вариационными?

26.В каких случаях для расчета средней величины признака и дисперсии используется способ моментов?

27.Для чего существует шкала Чеддока?

28.Какие показатели мер вариации имеют такую же единицу измерения, что и оцениваемый признак?

29.Какой из центральных моментов показывает симметрию?

30.Потребление топлива тепловыми электростанциями составило:

Определить: 1) объем потребленного топлива за каждый год; 2) структуру потребленного топлива за каждый год; 3) динамику изменения потребления по каждому виду топлива.

Тесты по теме:

1.Определить моду и медиану ряда (с точностью до 0,1):

48

3.В регионе на 100 мужчин приходится 126 женщин, удельный вес мужчин в регионе составляет (%):

4.Торговое предприятие перевыполнило собственный годовой план по товарообороту на 5%, пи этом объем товарооборота снизился на 2%. Определите относительный показатель планового задания:

5.Какую относительную величину можно рассчитать на основе следующих данных: число проживающих в Ленинском районе города 265000 человек, их обслуживают 608 врачей:

а) относительный показатель структуры; б) относительный показатель сравнения;

в) относительный показатель интенсивности; г) относительный показатель координации.

6.Выберите среди предложенных показателей относительные показатели структуры:

а) обеспеченность общежитием студентов – 67%; б) число заболевших гриппом в текущем году в 1,2 раза превысило

численность заболевших в прошлом; в) прибыль коммерческого банка от валютных операций в январе по

сравнению с декабрем уменьшилась на 24%; г) число студентов, сдавших зимнюю сессию на «4» и «5» - 78%.

7.Если значения частот увеличить в средней арифметической в 5 раз, то среднее значение признака:

а) не изменится; б) увеличится в 5 раз;

в) уменьшится в 5 раз.

8. Если значения признака увеличить в 5 раз, то дисперсия: а) не изменится; б) увеличится в 5 раз;

в) уменьшится в 5 раз.

49

9.Изделие А производится на двух предприятиях отрасли. На первом предприятии себестоимость производства единицы продукции составляет 500 руб., на втором – на 50 руб. больше. Какова среднеотраслевая

10.В страховой компании медианное значение страховой суммы одного застрахованного автомобиля – 7 тыс.у.е. Это означает, что:

а) большая часть автомобилей застрахована на эту сумму; б) половина автомобилей застрахована на сумму менее 7 тыс.у.е., а

половина на сумму более 7 тыс.у.е.; в) половина автомобилей застрахована на сумму 7 тыс.у.е.;

г) каждый второй автомобиль застрахован на сумму 7 тыс.у.е.

11.Какая формула средней используется для расчета средней производительности труда:

12.Могут ли в качестве весов средней (fi) использоваться относительные величины?

а) да, могут всегда; б) могут иногда; в) нет, не могут;

г) только в интервальных рядах с равными интервалами.

13.Какая формула средней используется для расчета средней заработной платы в торговом объединении?

50