Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

										Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
																	§1.1. Определители
	Вычислите определители:
1.					1	.											2.					4		5	.
1.		3			1	.											2.					4		5	.
		5			4																	2		3
3.					0		.										4.		3					1			.
3.		7			0		.										4.		3					1			.
		4			1														2					3
																						cos						sin
5.				a			a			.							6.					cos						sin				.
				a			a
				1				a														sin				cos
				1				a														sin				cos

7.				sin2					cos		2			.			8.			2			3						1	.
																				2			3						1
																				3				2					4
				sin	2				cos2											3				2					4
				sin	2				cos2											1				1					0
																				1				1					0
					1					2								3					4	5
		1			1					2								3					4	5
9.		3			5					0		.					10.	2					3	4				.
		2			3					1								1					2	3
			3		4					1														7					8		1
																				2
																				2
																				3			15						18		91
11.			2		1					3	.						12.			3			15						18		91				.
11.			2		1					3	.						12.			0				0					0		0				.
			4		3					2										27			13						39		1
					28				38				48							27			13						39		1
																				378				253						127
		8
		8
		1			3					5			7
13.		1			3					5			7			.	14.			377				252						126				.
13.		4			14				19				24			.	14.			377				252						126				.
		7			5					3			1							3				3							3
		7			5					3			1
				a	a					a												x		1						x
				a	a					a												x		1						x
15.				a	a					a			.				16.				0				x						1	.
				a	a					a												x		1							x
					1					2			4								3		1						2		4
				3	1					2			4								3		1						2		4
17.				1	2					5			1		.		18.				0		0						1		6		.
17.				7	0					9			9		.		18.				2		1						3		1		.
				13	1					17			4								2			2					3		1

	2	3	2	0			3	2	1	3
19.	5	0	3	2	.	20.	4	1	2	3	.
	4	0	1	5			3	2	1	2
	1	6	2	1			4	1	3	1

Ответы. 1. 17. 2. –2. 3. –7. 4. -11. 5. 2a. 6. 1. 7. sin( + ) sin( - ). 8. 21. 9. 10. 10. 0. 11. 33. 12. 0. 13. 0. 14. 0. 15. -4a3. 16. -2x. 17. 0. 18. 75. 19. 102. 20.- 187.

§1.2. Матрицы

1. Даны матрицы А2 3, В3 1, С3 3. Существуют ли а) АВ, б) ВА, в) АС, г) СА, д) АBC, е) ACB, ж) СВ, з) СВА?

2. Найдите m и n, если известно, что а) А3 4 В4 5 = Сm n; б) А2 3 Вm n

= С2 6; в) А2 m Вn 3 = С2 3.

3.	Даны матрицы:			A	1		2	,	B	2	4 .
					3		4			5	6
Найдите а) A+B; б) В-А; в) 2А-3В; г) А+В+АТ+ВТ; д) А В; е) В А;
ж) A-1;з) B-1.
					3	0		1		1	2	1	0	1
4.	Даны матрицы:			A	3	0		1	, B 3		1	, C 3	1	2 .
4.	Даны матрицы:			A	2	1		2	, B 3		1	, C 3	1	2 .
										0	2	0	1	1
Найдите а) АВ; б) ВА; в) АС; г) СВ; д) 2С-ВА; е) С-1; ж) СС-1; з) 3С-
2Е; и) СЕ; к) АЕ.
5.	Даны матрицы:
	1	2	3		7		5	0			1	1
A 2		6 0 , B 4 0 11 , C 8										1 .
	3	1	1		2		3	4			2	7
Найдите 4А-В; АС; В-1.
6.	Покажите, что A+D-DT = 0,
			0	a 1	a2		– 1			1	1	1
если A		1	a	0	b2		c	, D		a	b	c .
		1 a2		c b2		0				a2	b2 c2
7.	Найдите An для матрицы A							1		1 .
								0		1
8.	Найдите Р(А), если

а) P(x)=x2-x-3,	A	2	1	,
а) P(x)=x2-x-3,	A	3	3	,
		3	3
		2	1	1
б)P(x)=x2-2x+1, A 3			1	2	,
		1	1	0

5	2	3
в) P(x)=x3-7x2+13x-5, A 1	3	1 .
2	2	1

9. Решите матричные уравнения:
а) XA = B, где			A	3		2	, B			2	4	,
				5		4				6	8
б) AX = B, где			A	4		6	, B			2	5 ,
				2	1					1	3
в) AXB = C, где A				1			2 , B				2	3	, C		1	3		,
				2		3					4	1			4	2
								1		2	3				1	3	0
г) AX = B и YA = B, где						A		3		2	4	, B			10	2	7 ,
								2		1	0				10	7	8
д) 2A-3X = B, где				A	2		1	, B			5		2	,
					5		3				1		3
					1		2			6
е) 3A+2X = E, где				A	4		3			8 ,
					2		2			5
					2		1		3		1		1			1		0
ж) AX+B = C, где A					4		2		5	, B	2		6		, C	5		6 ,
					0		0		1		1		4			0		1
з) XA-2B = C, где
1	1	1		2	1		1				1		0		5
A 0 1 1 , B				2	1		1			C	1		0		5
A 0 1 1 , B				3 0 6					,	C	1		2 1 .
0	0	1

10. Найдите ранги следующих матриц:

	0	0	0	0			1	3	5	7				4	0	3		1
а)	0	0	0	0	,	б) 1 3 5 7 ,							в) 1 0 3 1 ,
а)	0 0 0 0				,	б) 1 3 5 7 ,							в) 1 0 3 1 ,
							1	3	5	7				5	0	3		1
	1	1
г)	2 2		,			д)	3 2			,			е)	2 3		,
	3	3					4	1						4	6
	4	4
	1		4	1			2	3		1				2	2		1	1
	1		4	1			2	3		1				4 3			1 2 .
ж) 2			1 4		,	з)	3	4		2 ,			и)	4 3			1 2 .
	1	10		6			1	2		4				8	5		3	4
	1	10		6			1	2		4				3	3		2	2
														3	3		2	2
				2	1	3
	11.		A	1	2	0 . При каких				rA = 2?
				4		6
				1	2	1
	12.		A	2		2	. При каких				а) rA = 1, б) rA = 2, в) rA = 3?
				3	6	3
	13. Найдите собственные значения и собственные векторы квад-
ратных матриц:
	3	4					5	21						2		3		3
а)	3	4	;			б)	5	21	;				в)	2 1				1 ;
а)	5 2		;			б)	1 1		;				в)	2 1				1 ;
														0		0		3
	3		4	0			1	0		0				5	2		3
г)	2		1 0 ;			д) 2		1 1 ;					е) 4 5				4 ;
	2		1	2			4	5		3				6	4		4
	7		2	0
ж)		2	6		2 .
	0		2	5
	и покажите, что собственные векторы матрицы (ж) ортогональны.
	Ответы. 1. а), в), е), ж) – да; б), г), д), з) – нет. 2. а) 3;5, б) 3;6, в)
												3		2		1		6
m=n —			любые		натуральные			числа. 3.			а)	2	10 ,		б)	8		2 , в)

	4	16		, г)		6	0		, д)		12			16	, е)		14 20					, ж)		4	2 ,
	21	10				0	20				26			36			23		34					3	1
		6	4				3		8			1			2	3					3		1		2
		6	4				3		8												3		1		2
з)		5 2		. 4. а)			1 9			, б)		11 1				5 , в)					5		1		2 , г)
														4	2	4
	1	5				1	2		1				1	1	1	1							1	0	3
	0 11 , д)					5 1			1 , е)				1	3	1 1 , ж) E, з)								9 1		6 ,
	0 11 , д)					5 1			1 , е)			2		3	1 1 , ж) E, з)								9 1		6 ,
	3	3				4	4		6			2		3	1	1							0	3	5
						3	13		12			11			20				1		33		20		55
и) C, к) A. 5.						4	24			11 ,		46			8	,			1		6		28		77 .

																	261
					10		1			8		13			5		261			12			31		20
					10		1			8		13			5					12			31		20
	1	n					2			4				5	0	2					0		0	0
7.	1	n		. 8. а)			2			4	, б)			5 1 1 , в)								0 0 0 . 9. а)
7.	0 1			. 8. а)			12 6				, б)			5 1 1 , в)								0 0 0 . 9. а)
														3	2	0					0		0	0
	6 4			, б)		1	8 23 , в)				1			25		25		, г) X = A-1B, Y = BA-1,
	6 4					1					1

	32	18				16	0	2			70			26		2
		4		3		2			3 0					1	3		9					1	10	57
A-1 =		8 6				5	, д)		3 0		, е)			6	4 12 , ж)							1	12		14 , з)
A-1 =		8 6				5	, д)		3	1	, е)			6	4 12 , ж)						8		12		14 , з)
		7		5		4			3	1				3	3		7				8		8		40
		7		5		4								3	3		7						8		40
	0	1		12	. 10. а) 0, б) 1, в) 2, г) 1, д) 2, е) 1, ж) 3, з) 2, и) 4. 11. 2. 12.
	5	1		0
а) -4, б)				-4, в) ни при каких. 13. а) -2; 7; (-4;5), (1;1), б) -2; 8; (-3;1),
(7;1),		в)	-1;		3;	4;	(1;1;0),			(-9;7;4),				(-3;2;0),		г) -1;2;5;					(3;3;-2),				(0;0;1),

(6;-3;4), д) -2;1;4 (0;-1;1), (1;0;-2), (0;1;5), е) 1;2;3; (1;1;2), (1;0;1), (1;2;2), ж) 3;6;9.

§1.3. Системы линейных уравнений

1. Решите системы по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса:

а)

2 y

б)

4 y

11,

в)

2x1

3x2

19;

5 y

3x1

4x2

x1	3x2	x3	2,	2x1	x2	x3	0,	x y z 6,
г) 2x1	4x2	3x3	3,	д) 3x1	2x2	3x3 5,		е) 2x	3y	4z	21,
3x1	2x2	5x3	13;	x1	x2	x3	6;	7x	y	3z	6;
4x 2 y z 6,				2x 3y 2,				3x y 2z 1,
ж) x 3y 2z 5,				з) 3x y 2z 5,				и) x 3y		1,
3x y 4z 5;				x y 3z			2;	x 2 y 3z 7.

2. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса:

а)

в)

д)

ж)

и)

а)

6x1	3x2	4x3	3,
3x1	x2	2x3	5;
2x	3y	1,
3x	4 y	1,
7x	y 6,
5x	3y	2;
3x1	2x2	3x3	3,
x1	2x2	4x3	9,
2x1	7x2	x3	0,
3x1	8x2	x3	1;
2x1	3x2	x3	x4	2,
7x1	2x2	x4	3,
3x1	x2	x3	2x4	7,
3x1	8x2	2x3	x4	5;
4x1	3x2	x3	5,
2x1	x2	2x3	3,
3x1	4x2	3x3	10,
8x1	9x2	4x3	17.
7x1	x2	2x3	5;

б)	2x1	3x2	x3	x4	4 0,
б)	x2	x3	x4 6 0;
	x2	x3	x4 6 0;
	3x1	2x2	3x3	5,
г) x1		3x2	4x3	1,
	7x1	7x2	2x3	0;
	x1	x2	2x3	2x4	2,
е)	3x1	2x2	x3	x4		1,
е)	5x1	3x2	4x3	2x4		4,
	5x1	3x2	4x3	2x4		4,
	7x1	4x2	7x3	5x4		7;
	2x1	3x2	5x3	x4		x5	0,
з)	x1	2x2	3x3	2x4		2x5	3,
з)	4x1	7x2	x3	5x4		3x5	1,
	4x1	7x2	x3	5x4		3x5	1,
	5x1	9x2	4x3	7x4		5x5	8;
	x1	2x2	x3	x4	x5	1,
	2x1	5x2	6x3	5x4		x5	0,
к) x1		2x2	x3	x4	x5	3,
	x1	3x2	2x3	2x4		x5	1,
	x1	4x2	x3	x4	x5	3.

3. Решите однородные системы уравнений:

3x1	2x2	x3	0,	2x1	3x2	x3	0,
5x1	4x2	3x3	0,	б) x1	x2	x3	0,
4x1	3x2	2x3	0;	5x1	5x2	x3	0;

2x1

3x4

в) 5x1

4x2

8x4

г) x1

5x4

2x3

2x2

3x4

3x2

д)

7x1

5x2

5x4

3x1

2x4

5x1

7x2

4x4

Ответы. 1. а) (2;3), б) (-1;2), в) (1;-1), г) (2;-1;1), д) (4;5;-3), е)

(0;3;-3), ж) (2;1;0), з) (1;0;-1), и) (-1;0;2). 2. а) (с;-

;

с), б) (с 1 ; с 2 ;

2c2 5 ; c1

c2 1 ), в) (1; -1), г) Ø, д) (1; 0; 2), е) (5с-5;7с-7;с;0), ж)

Ø, з) Ø, и) (0; -1; 2), к) (

;

;0; 1

; c ). 3. а) (с; -2с; с), б) (0; 0; 0),

в)( c;

c;0;

c ), г)( c ; c

; c

;

), д) ( c ; c

;

5c2

;

4 c1 c2

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§2.1. Линейные операции над векторами

Даны точки А(3;2;0), В(4;0;1), С(-5;0;2), D(-8;6;-1). Проверьте,

CD или АВ

CD . Какой из векторов длиннее и во сколько

раз?

При каких

значениях

векторы а

12i

3 j

k коллинеарны?

По данным векторам а и b

постройте векторы 2 а , -3 b ,

b ,

а b , 3а

2b .

Постройте

параллелограмм на

векторах

ОА

ОВ

3 j , найдите длины его диагоналей.

5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1) и С(6;4;4). Найдите его четвертую вершину D.

6.Вектор длины 23 составляет с осями координат равные острые углы. Найдите эти углы.

7.Вектор составляет с осями ОY и ОZ углы 60и 120 . Какой угол он составляет с осью ОX?

8.На оси ОZ найдите точку, равноудаленную от А(4;-1;2) и

В(0;2;-1).

9.Покажите, что АВСD – параллелограмм, если А(0;2;-3), В(3;1;1),

С(4;-5;2), D(1;-4;-2).

10. Докажите, что АВСD — трапеция, если AB а 2b ,

BC 4a b , CD 5a 3b .

11.Определите координаты центра тяжести треугольника АВС, ес-

ли А(5;1;12), В(11;3;8), С(2;5;0).

12.Найдите орт вектора a (12;-4;3) и его направляющие косинусы. Острые или тупые углы образует вектор с осями координат?


		Ответы. 1. CD длиннее в 3 раза; AB									CD . 2. -4; -9. 4.				6 ;	18 .
5. (4;0;6).							6. arccos		1	. 7. 45 или 135 . 8.	0;0;	8	. 11.	6;3;	20	. 12.
												3			3

						3
12		;		4	;		3	.

	13		13			13
	13		13			13

§2.2. Скалярное произведение векторов

Упростите выражение 2i

2 .

Найдите углы треугольника с вершинами А(2;-1;3), В(1;1;1),

С(0;0;5) и проекцию AB на BC .

3. При каком значении m векторы a

3 j

и b

перпендикулярны?

Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенно-

го на векторах

a=(2;1;0) и b=(0;-2;1).

4 ,

Найдите

3a 2b

, если

6 ,

3 ,

Найдите

длину

вектора

2b ,

если

4 ,

120 .

Найдите

проекцию

вектора

на

вектор

если

a 3i

6 j k , b

4 j 5k , c 3i

4 j 2k .

Даны векторы a

(1;1;

1) ,

(3; 1; 5) ,

(

2;3;4) .

, если известно, что x

a ,

и x c

1 .

Найдите вектор

Ответы. 1. 2. 2. B=C=45 ;

. 3. 3. 4. 90 . 5. -96. 6.

73 . 7.

8. ( 3;-1;2) .

§2.3. Векторное произведение векторов

Упростите выражения:

а) i (2 j 3k ) k

(3i

2 j) (i

3 j

4k ) j ;

б) (a b c ) c (a b c ) b (b c ) a ;

в) (2a b ) (c a ) (b c ) (a b ) ;

г) 2i ( j k ) 3 j (i k ) 4k (i

j) .

2.Дан треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Найдите его площадь и высоту ВD.

3.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

a m 2n и
a m 2n и	b 2m n , где m и n - единичные векторы, образую-
щие угол 30 .

4. Найдите a b , если a 10 , b 3 , a b 18 .

5. Даны точки А(-3;1;2), В(4;0;-1), С(-2;3;0).

Найдите (2 AB

3BC )

CA .

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

( 1;3;5) и b

(2; 1;3) .

Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого слу-

1 ,

45 .

жат векторы 2m

n и 4m

5n , где

Ответы. 1. а)

4k ;

б) 2a

c; в)

c ; г) 3. 2. 7

. 3.

1,5 4. 24. 5. (-40;-55;-75). 6.

390 . 7. 1,5

2 .

§2.4. Смешанное произведение векторов

Найдите

смешанное

произведение

векторов

k ,

j k , c

3 j

4k .

Правой

или

левой

является

тройка

, b ,

Покажите,

что

векторы

(7;

3;2) ,

(3;

7;8) ,

(1;

1;1)

компланарны.

3.Покажите, что точки А(5;7;-2), B(3;1;-1), С(9;4;-4) и D(1;5;0) ле-

жат в одной плоскости.

4.Дана пирамида с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и С(1;2;4). Найдите еѐ объем, площадь грани АВС и длину высоты, опущенной на эту грань.

Найдите

объѐм

параллелепипеда,

построенного на векторах

a 3i

4 j , b

3 j k ,

c 2 j 5k . Правой или левой является тройка

, b ,

Ответы. 1. 4; правая. 4. V = 14; H

. 5. 51; левая.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.201617.47 Mб5VGUES TIMES #4 Новогодний выпуск.pdf
#
13.04.20151.08 Mб49Vvedenie_v_parlamentskie_debaty_Britansky_for.pdf
#
13.04.20151.55 Mб30Winning_debates_RU (1).pdf
#
13.04.2015157.18 Кб18worldpolicy2009prog_new.doc
#
23.11.20193.11 Mб5XIII.doc
#
13.04.20152.48 Mб9Алгебра Задачник.pdf
#
15.03.201637.92 Кб36Английский 2 модуль 2 вариант.docx
#
19.08.2019214.02 Кб1БВ_либерализм_2012_на_семинар.doc
#
13.04.20151.05 Mб777БЖД.pdf
#
15.03.201649.32 Кб13БИЛЕТЫ 7-12.docx
#
13.04.201556.12 Кб29Бухгалтерский учет.docx