Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

	x4dx								73.
72.	1	x .

75.	3x3			x2		dx .			76.
	x2		6x		10

78.	2x2			41x		91		dx . 79.
	x	1		x	3	x	4
81.		x2		2x		3 dx			. 82.
	x	1 x4			4x2		3x

	dx		.			74.

x2	2x	3

x3	7x2		14x	dx .		77.
x2	7x		13

x5	x4	8	dx .			80.
x3	4x

2x2 3x 3 dx					. 83.
x	1 x2		2x 5

x	2 dx		.
x2	2x	2	.
x	5 dx			.

2x2	2x		3
2x2	2x		3
x3	1	dx .
x3	x2	dx .
x3	x2
x4		1 dx
					.
x3	x2	x	1		.

Найдите неопределенные интегралы от иррациональных функций:

84.		dx	.		85.					dx			. 86.		8x 11 dx			.
84.			.		85.								. 86.					.
	5 2x x2					12x 9x2 2									5 2x x2
	2	5x dx				x		3	dx					x		1 dx
87.				.	88.	x					.	89.					.

	4x2
	4x2	9x 1					x 1							x x 2

				dx																																			dx
90.				dx				.			91.					xdx										.					92.								dx								.
90.				3				.			91.															.					92.					3 x (3											.
	1			3	x 1										x				3 x																	3 x (3				x 1)
				dx													xdx
93.				dx				.									xdx																			1			x		2
																																									2
											94.																.				95.												dx .

			x		4 x
			x		4 x							3			x	2					4			x													x		2
															x									x													x
																	dx
	1				x	2					97.						dx											.								(9				x		2		)	3
96.	1				x		dx.																								98.					(9				x				)		dx .

			x4										x2					x2							9
																																							x6
																																							x6
	Найдите неопределѐнные интегралы от тригонометрических функ-
ций:
99.	cos 4x cos 7xdx .										100.	sin 4xsin 6xdx .																			101.			sin			x		cos				2x			dx .
99.	cos 4x cos 7xdx .										100.	sin 4xsin 6xdx .																			101.			sin					cos							dx .
																																					3							3
102.	sin3 xcos2 xdx .											cos3 xdx																							sin3 xdx
102.	sin3 xcos2 xdx .										103.			sin5 x .																	104.				cos x						3 .
											103.			sin5 x .																	104.				cos x						3 .
105.	cos2 xdx .										106.	sin 4 xdx .																			107.			cos6 xdx .
108.			dx			.							sin 4 x																		110.			ctg			4	xdx .
											109.									dx .
		cos4 x
		cos4 x										cos2 x
				dx															dx												113.								dx									.
																															113.																	.
111.	5			3cos x .							112.	3sin x										4cos x .											5				sin x					3cos x
	Ответы. 1. 2x3									4x2 3x				С . 2.									a2 x							abx4		b2 x7					C .
	Ответы. 1. 2x3									4x2 3x				С . 2.									a2 x						2				7				C .
																													2				7
													2x2
3. x3		x2			3x ln				x	1	С . 4.							x								x С .
										1								x
										x3				5
										x3				5


	3x4 3 x 3x2 3 x																				63																	1								x
5.	3x4 3 x 3x2 3 x																									x			С . 6.									1			arctg					x		С . 7.
		13											7
																																						7								7
																																						7								7

	1				ln				x				10									С . 8. arcsin														x					С . 9. С							tgx						ctgx .
2		10			ln				x				10									С . 8. arcsin										2						2			С . 9. С							tgx						ctgx .
2		10							x				10																			2						2
10. 3tgx									4ctgx С . 11.																	cos x						ctgx									С . 12. С							x				ctgx .
		3 4x							2																																						ex 3
13.		3 4x							2									С . 14.								ln		x			2arctgx										С . 15.												С . 16. ln					x	4
			ln 4
												x
												x

17.			33 (x						11)4											С . 18. sin(x																	) С . 19. С											1	cos 5x . 20.									34 x
									4																							8															5										4 ln 3
21.		9tg						x		С			. 22.									1	arctg							3x				С . 23.								1		arcsin 5x						С .
						9														12									4												5
		1																														1			e4 x 3																1		e1 5 x .
24.		1		ln				2x						4x2								5				С . 25.						1											С . 26.				С				1
24.		2		ln				2x						4x2								5				С . 25.						4											С . 26.				С			5
		2																														4																		5
27. С							1		ln		1				7x				. 28.					(5x					3)7								С . 29.									1								С .
							1																	(5x					3)7																	1
								7																	35																				6(2		3x)2											ln3
								7																	35											x									6(2		3x)2												x

						8										x			7
30.		С				8			4 (1							x		)	7	. 31.						3ctg (													)		С . 32.						2x			5					С	. 33.
30.		С							4 (1									)		. 31.						3ctg (													)		С . 32.						2x			5					С	. 33.
						7							2																4							3																					3
								ecos x . 35.												sin7 x																									С . 37. earctgx С .
34.		С																		sin7 x							С . 36.									ln				sin x
34.		С																		7							С . 36.									ln				sin x
																				7

38. С						arccos 2 x											. 39.								1							С . 40. etgx														С . 41.						2 3 x				С .
38. С																	. 39.						4 cos4 x									С . 40. etgx														С . 41.							ln 3			С .
									2														4 cos4 x																														ln 3
		sin x							2														1																															ex
42.		sin x							2					С . 43.									1	ln			x		4				x			8		3					C . 44.				arcsin							ex		С .
42.				cos x										С . 43.									4	ln			x						x					3					C . 44.				arcsin									С .
																																																						5
																																																						5

С.

С .

									x7
45.				1			arctg			С . 46.		1		ln		x			7			2			С . 47.				1	cos		1		С . 48.		С	3 x	.
				1								1							7										1			1					3 x
												7																2				x	2				ln 3
	7				5				5																								2
	7				5				5
			arcsin 2 x															1										2)7
49.			arcsin 2 x						1	x2 С		. 50.						1			ln		(x			2)(x						С .
																	4
					2
		2			2																					4										5
																	3									4								2

						ln 3 x 6 ln x С . 52.
51.																				(2 ln x) 3 С . 53. С															(1 6x5 ) 4 .
	3																4
																																		75
																																		75
									1				1
54.	С								1		. 55.		1		ln(5							2e4 x )					С . 56.				1		ln	cos 2x		5	С .
									5 ln x)4																									cos 2x
					20(1							8
					20(1							8																		4		5		cos 2x		5
57.			xsin x					cos x		С . 58.			1		sin 2x									1	x cos 2x				С . 59.				С	e x (x		1) .
57.			xsin x					cos x		С . 58.		4			sin 2x							2			x cos 2x				С . 59.				С	e x (x		1) .
												4										2

60. x(ln x																	1)					С				. 61.				(		x3								3x2					2x) ln x													x3							3x2						2x					С .
60. x(ln x																	1)					С				. 61.				(			3									2			2x) ln x													9								4					2x					С .
																																	3									2																9								4
																																										x2			1													x
																											x2
62. xarcsin x																					1									С			. 63.														arctgx																С . 64.								xtgx ln						cos x				С .
62. xarcsin x																					1									С			. 63.														arctgx											2					С . 64.								xtgx ln						cos x				С .
										1										x																							2					x										2
																																																x
65.		С													(													ctgx) . 66. С																2e 2 (x2												4x					8)					С .
65.		С					2								(			sin 2 x										ctgx) . 66. С																2e 2 (x2												4x					8)					С .
							2											sin 2 x
67.		1			x2 ln 2 x																		1		x2 ln x										1			x2					С . 68.									1		ex (sin x														cos x)							С .
67.	2				x2 ln 2 x																2				x2 ln x								4					x2					С . 68.									2		ex (sin x														cos x)							С .
	2																				2												4																			2
69. С								ln						3						x		. 70. С															1								. 71. 2x												3 ln						x			2				С .
																																					1
																																		3(3x								2)
									x4											x3							x2							3(3x								2)										1												x				1
72.	С																														x					ln				1			x	. 73.												arctg															С

									4											3							2
		1							4											3							2																									2														2
74.		1		ln(x2																2x						2)				arctg (x													1)			С .
74.	2			ln(x2																2x						2)				arctg (x													1)			С .
	2
75.		3		x2											17x									36 ln(x2											6x							10)					46arctg (x																3)						С .
75.				x2											17x									36 ln(x2											6x							10)					46arctg (x																3)						С .
	2
76.		x2										1				ln( x2											7x			13)							7						arctg							2x					7						С

	2						2																																			3
	2						2																																			3										3
77.		1			ln(2x												2				2x					3)							9						arctg						2x 1										С . 78. ln														(x 1)4						(x 4)5					С .
		1															2																9												2x 1																								(x 1)4						(x 4)5
	4																																																																						(x				3)7
																														2 5																		5
																														2 5																		5
79.			x3										x2								4x ln									x2 (x 2)5															С . 80.										x					1					ln			(x 1)2								С .
			x3										x2																	x2 (x 2)5																														1								(x 1)2
	3												2																		(x 2)3																														x									x

																																																					(x2								2x							5)3
81.					1											ln						(x					1)(x						3)									С	. 82.						ln				(x2								2x							5)3				1			arctg			x 1			С .
81.		x					1									ln												x														С	. 82.						ln										x				1									2			arctg			2			С .
		x					1																					x																															x				1									2						2
			(x				1)									2											x		1
																2											x		1
83.																				ln																arctgx									С . 84.										С						ln			1				x		5						2x		x2	.
							2
																											x	2		1
																												2


		1																	3x		2																																									3arcsin									x			1		.
85.		1		arcsin															3x		2								С . 86.								С						8		5					2x						x2															x			1
85.	3			arcsin																									С . 86.								С						8		5					2x						x2
	3																				2																																																	6
		61																																											5
87.		61				ln					8x 9 4 4x2																							9x 1											5					4x2						9x 1 С .
87.	16					ln					8x 9 4 4x2																							9x 1											4					4x2						9x 1 С .



	2						x								1
																			(5x3								6x2																																														x		2
88.																																	8x				16)								С . 89. 2 x																2						2arctg						x		2		С .
					35
																																																																											2
																																																																											2
		3															2													1
																																											3
90.					(x 1) 3																	3(x 1)3												3ln							1		3		x 1						С .
90.	2				(x 1) 3																	3(x 1)3												3ln							1				x 1						С .
	2

						66			x5				33									x2
91. x						66			x5				33									x2				2 x 33 x 66 x 6 ln																								6 x 1									С .
91. x								5												2						2 x 33 x 66 x 6 ln																								6 x 1									С .
								5												2

92. 33 x								3ln							3 x						1				С . 93.								2					x				44			x		4ln(1						4		x )						С .

	6																																																	1					x	2
	6				6			5					12							5							12					5																		1					x	2
94.				(			x						2				x						2 ln							x			1)								С . 95. С																				arcsin x .
94.	5			(			x						2				x						2 ln							x			1)								С . 95. С													x							arcsin x .



								(1 x2 )3																					x2				9						С . 98. С												(9 x2 )5
96. С																					. 97.																																								.
96. С										3x3											. 97.									9x																						45x5									.
										3x3																				9x																						45x5
99.	1			sin 3x										1				sin11x										С . 100.											1			sin 2x						1		sin 10x										С .
99.	6			sin 3x									22					sin11x										С . 100.											4			sin 2x					20			sin 10x										С .
	6												22																										4								20
101.			3			cos				x						1	cos x									С . 102.											1				cos			3	x(3cos				2		x		5)						С . 103. C										ctg 4 x		.
101.			2			cos			3				2				cos x									С . 102.									15						cos				x(3cos						x		5)						С . 103. C									4			.
			2						3				2																						15																																	4
104.				cos2					x						3cos x 8ln														cos x						3							С . 105.						x					sin 2x									С .
				cos2					x																																							x					sin 2x
							2																																									2					4
		106 .	3			x	2		1			sin 2x											1			sin 4x									С													2					4
			3						1														1

	8								4														32
107.			5			x			1				sin 2x(cos4													x					5	cos2 x										15		) С . 108.									tgx				1	tg 3 x						С .
107.						x							sin 2x(cos4													x						cos2 x												) С . 108.									tgx					tg 3 x						С .
	16								12																					4									8																	3
109. tgx									1		sin 2x												3		x				С . 110.										x					1	ctg 3 x					ctgx						С .
109. tgx									4		sin 2x												2		x				С . 110.										x			3			ctg 3 x					ctgx						С .
									4														2																			3
																																								tg			x			1																			2tg		x	1
																																											x			1																					x
			1			arctg (2tg													x		)			С									1									2 2																2								2
111.																										. 112.										ln												С		. 113.													arctg							С .
			2															2																5									x		1

																																								tg																			15							15

																																											2		2

§6.2. Определѐнный интеграл и его приложения. Несобственные интегралы

Вычислите определѐнные интегралы:

	1						1			dx
1.		1	xdx.		2.					dx		.

	0						2 (11			5x)3
	1					1			xdx
4.		(ex	1)4 exdx.		5.				xdx		.

	0					0		(x2		1)2
	0					0		(x2		1)2
	e3		dx			1				dx
7.			dx		8.					dx			.
				.
	1 x							x2		4x 5
	1 x		1 ln x			0		x2		4x 5

9			x			1	dx.
3.


4				x		1
e						dx
6.						dx			.


		x			1	ln2 x
1		x			1	ln2 x

9.	4 cos3 xdx							.
			3
					sin x
					sin x
	2

10. 1

dx				3	xdx
dx		2		3	xdx
			12.
3 2x x2	.	11. x cos xdx.			sin 2 x .
		0
		0	4
			4

	e		1								1												3
	e		1								2 arcsin xdx.												3
13.			ln( x					1)dx.		14.	2 arcsin xdx.											15.			xarctgxdx.
	0										0												0
											0
	9										8
16.	9				xdx				.	17.	8			xdx						.		18.	29		3		(x				2)2 dx				.
16.	4			x 1					.	17.	3			1 x						.			3 3					3 (x 2)2							.
	4			x 1							3			1 x									3 3					3 (x 2)2

																		dt				21.	1				1				x		2
19.	2							dx		20.								dt			.	21.					1				x			dx.
								dx																				x2						dx.
												3					2 cos t
		0 1 sin x cos x									0													2
											0

																							2
	Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-
мость):
			dx										ln x														dx
22.						.				23.									dx			24.
22.	1		x2			.				23.	2			x					dx			24.			1				x2
										26.									dx						arctgx

25.		0 sin xdx												x2					4x 9			27.	0			x2				1 dx
25.		0 sin xdx												x2					4x 9			27.	0			x2				1 dx
											1												1
														dx
28.			xe				x 2	dx		29.				dx									2				dx
																						30.
															x
	0										0														0 x ln				2		x
	0										0


											2			dx		.							3				dx
	2									32.	2			dx								33.	3				dx					.
31.			ctgxdx							32.												33.			0 (x				1)		2	.
31.			ctgxdx											x
											1			x
	0										1
	0

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

34.	y		x2		, y		4		2	x	2	.
		3						3

36.	y	3			2x, y			x2 .
38.	xy			2,		y	x	3.
40.	x2	y2		6x		2y	8	0,
y	x2		6x			10 (две фигуры).

		1					x2
35.	y			,	y			.
		1 x	2
							2


37.	y	x2 , y				x2	, y 2x.
37.	y	x2 , y				2	, y 2x.
						2
39.	y	ln x,			y	ln 2 x.
41.		a(1			cos		) .

42.

cos .

43.

4sin2 .

44.

acos3 .

45.

a cos t, y

bsin t

(эллипс).

46.

a(t

sin t) ,

47.

a cos

t ,

a sin

t (аст-

a(1

cos t) , 0 t 2 (одна

роида).

арка циклоиды),

Найдите объѐмы тел, образованных вращением фигур, ограничен-

ных заданными линиями, вокруг указанных осей координат:

48.

x2 , y

0 (x

0) ,а) вокруг Ox; б) вокруг Oy.

49.

ex ,

a) вокруг Ox; б) вокруг Oy.

50.

2, а) вокруг Ox; б) вокруг Oy

51.

sin x,

, вокруг Ox.

52.

x3 ,

8, вокруг Oy.

Вычислите длины дуг кривых:

53.

от точки О (0;0) до точки А (4;8).

54.

ln cos x, отсечѐнной прямыми x

55.

x)3 ,

отсечѐнной прямой x

56.

a cos3 t, y

a sin 3 t

(астроида).

57.

a(t

sin t),

a(1

cos t), 0 t

(одна арка циклоиды).

58. 4(1 cos ) (кардиоида).

59. aeот 0 до .

			Ответы. 1.																2							2.				7				. 3.	7		2	.	4.		0,2(e				1)5. 5.							1			.	6.					. 7. 2. 8.
																					( 8		1).							7							2															1
																					( 8		1).							72						3															4									2
															3															72						3															4									2
					1								3
	arctg							. 9.									(73									10.							. 11.						1.		12.				(9				4	3)				1		ln		3	. 13. 1.				14.
																					4		12).																						(9				4	3)
				7																										6						2
													32
													32																																		36				2					2
																										3																	32
																																																					3			3
				3						1. 15. 5arctg3																	.		16.				7		2ln 2. 17.										.		18. 8						3			3				.	19. ln 2.
12				2						1. 15. 5arctg3																2	.		16.				7		2ln 2. 17.									3	.		18. 8				2									.	19. ln 2.
12				2																						2																		3							2
20.						.			21. 1											. 22. 1.						23. Расходится. 24.																	. 25. Расходится.																		26.					.
																		4																																														5
				5														4																																														5
				2									1																1
27.						.			28.				1		. 29. 2. 30.														1			. 31. Расходится. 32.Расходится.																												33. Расхо-
27.						.			28.						. 29. 2. 30.																	. 31. Расходится. 32.Расходится.																												33. Расхо-
			8										2															ln 2
дится.							34.					32				. 35.										1		.	36.				10		2	.		37.		4.		38.				3				2 ln 2.						39.				3		e.	40.
дится.							34.						3			. 35.							2			3		.	36.				10		3	.		37.		4.		38.			2					2 ln 2.						39.				3		e.	40.
													3										2			3									3										2
		1	;		3						1			.	41.							3	a	2	.	42.					9		. 43.					6	.		44.			1		a		2	.	45.						ab.				46.		3	a		2	.
2		3	;	2							3			.	41.						2		a		.	42.				2			. 43.					6	.		44.			4		a			.	45.						ab.				46.		3	a			.
2		3		2							3										2									2														4
			3						2											256							8									(e2			1)					2							178										21

47.			8				a . 48. а) 15																; б)									49. а)						2			; б)					. 50. а) 15											; б)				2	. 51.
47.			8				a . 48. а) 15																; б)									49. а)						2			; б)					. 50. а) 15											; б)				2	. 51.

. 52.	38,4	. 53. 8 (10 10	1). 54. 1 ln 3. 55.	28 . 56. 6а. 57. 8а. 58. 32.
2

				3
2		27	2	3

59. 2a(e 1).

Глава 7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§7.1. Частные производные и полный дифференциал

1. Найдите и изобразите области определения функций:

а)

y2 ;

б)

ln(x

y);

в) y

;

г) z

1 x2

1 y2 ;

д)

ln( x2

y);

е)

2. Найдите частные производные и полные дифференциалы функ-

ций:

а)

3axy;

б)

;

в) z

;

г) z

y2 ;

;

д)

ln(x

y2 );

е)

arctg

ж)

x y ;

esin

з)

;

и)

ln sin

3. Вычислите приближѐнно:

а) (0,98)2,01;

б)

(4,05)2

(2,93)2 ;

в) ln(0,93

0,093 ).

4. Покажите, что

2 z

3 z

если

x y

y x

x2 y

y x2

x y x

а) z x4 3x3 y5 2x6 y y4

б) z 4x5 y7

3x3 y4 3x4 2y5

5. Покажите, что данные функции удовлетворяют заданным урав-

нениям:

а) z tg 3 (2x 3y); 3

б) z

ln( x

);

в) u x

;

y z

г) z

arctg

;

2 z

y 2

2 z

(x2

) y2

д) z e x ;

е) z

ln( x

y );

2 z

x y

ж) z xe

; x2

2xy

x y

6. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностям:

а)	z	2x2		4 y2	в точке		(2;1;4);
б)	z	3y2		9xy	y	в точке (1;3;3);
в)	z	sin	y	в точке		(1;	;0).
			x

§7.2. Экстремумы функций двух переменных.

Исследуйте на экстремум следующие функции:

7.	z x2		xy y2	2x 3y .
8.	z	4(x y) x2		y2 .
9.	z	x3	8 y3 6xy 5 .

10.	z	x3		xy 2	6xy .
11.	z	3 ln		x	2 ln y	ln(12 x	y) .
11.	z	3 ln		6	2 ln y	ln(12 x	y) .
				6
12.		x	(x y2 ) .
12.	z	e 2	(x y2 ) .
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
		x2		y2		x	0,
13.	z	x2		y2	xy x	y, D : y	0,
						x	y 3.

14. z	x2		xy,	D :	1	x	1,
				0		y	3.
		x2			y		x2	,
15. z		x2	xy,	D :	y		3	,
15. z	2		xy,	D :			3
	2				y	3.
					y	3.
16. z	x2		y2 ,	D : x2		y2		4.
							x	1,
17. z		xy(4 x		y),	D :		y	0,
							x	y 6.

§7.3. Производная по направлению. Градиент

18.

Как изменяется функция z

2x3 y 3x2 y2 в точке

(

1;2) в на-

правлении

8 j ?

19.

ln(2x2

y3 ). Найдите направление наибольшего возрастания

функции z в точке

(3;1).

20.

arcsin xy. Найдите угол между градиентами этой функции в

точках

(1;0) и (0;4).

21. Найдите точку, в которой градиент функции z

ln(x

) равен

22.

Найдите

наибольшую

скорость возрастания

функции

arctg (xy 2 )

в точке (2;1).

23.

Сравните скорость изменения функции z

2x2

xy в точке

(

1;2)

в направлении

3i 4 j

и в направлении b

4 j. Како-

ва наибольшая скорость изменения функции в точке А? Каково направление наибольшего возрастания функции?

Ответы. 1. а) единичный круг с центром в начале координат; б)

полуплоскость, расположенная над прямой x	y	0;	в) вся плоскость
за исключением начала координат; г) квадрат	1	x	1,		1 y	1; д)
часть плоскости, расположенная выше параболы		y	x2 ;	е) вся плос-
кость за исключением точек прямых x=1 и y=0.		2.	a)	z	3(x2	ay),

				x
				x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.201617.47 Mб5VGUES TIMES #4 Новогодний выпуск.pdf
#
13.04.20151.08 Mб49Vvedenie_v_parlamentskie_debaty_Britansky_for.pdf
#
13.04.20151.55 Mб30Winning_debates_RU (1).pdf
#
13.04.2015157.18 Кб18worldpolicy2009prog_new.doc
#
23.11.20193.11 Mб5XIII.doc
#
13.04.20152.48 Mб9Алгебра Задачник.pdf
#
15.03.201637.92 Кб36Английский 2 модуль 2 вариант.docx
#
19.08.2019214.02 Кб1БВ_либерализм_2012_на_семинар.doc
#
13.04.20151.05 Mб777БЖД.pdf
#
15.03.201649.32 Кб13БИЛЕТЫ 7-12.docx
#
13.04.201556.12 Кб29Бухгалтерский учет.docx