Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§3.1. Прямая на плоскости

1. Составьте уравнение		прямой, проходящей через точку

К(-3;1) параллельно вектору	a	= (4;-1). Найдите угловой коэффициент

этой прямой и точки ее пересечения с осями координат. Лежат ли на ней точки А(-3;1) и В(5;-1)?

2.Дана прямая х-3у+6=0. Найдите: а) ее угловой коэффициент, б)

еенормальный вектор, в) точки пересечения с осями координат, г) площадь треугольника, заключенного между этой прямой и осями координат, д) точку пересечения этой прямой с прямой 5х-2у-9=0.

3.Среди прямых: а) 4х-2у+3=0, б) х+2у-7=0, в) у=2х+5, г)

5х+10у+1=0, д) у=	1	х, е) -6х+3у+5=0 укажите параллельные и пер-
	2

пендикулярные.

4.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок в = 7.

5.Найдите прямую, проходящую через точку пересечения прямых х+2у+1=0, 2х+у+2=0 и образующую угол 135о с осью Ох.

6.Даны сторона прямоугольника 3x4у+5=0 и две его вершины А(1;-3) и С(1;2). Составьте уравнения остальных сторон.

7.Составьте уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2х-у-5=0 и 3х+2у+3=0 а) параллельно оси Ох; б) параллельные оси Оу; в) параллельно прямой 5х-2у+3=0; г) перпендикулярно пря-

мой 7х+3у-1=0.

8.Найдите точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника с вершинами А(-4;2), В(2;-5), С(5;0).

9.В треугольнике с вершинами А(0;-4), В(3;0), С(0;6) составьте уравнения стороны АВ, высоты СН, медианы BM, биссектрисы AK, найдите длину высоты CH и расстояние от вершины С до биссектрисы АК.

10.Составьте уравнения сторон треугольника, зная его вершину А(0;2) и уравнения высот х + у = 4 и у = 2х.

11. Найдите проекцию В точки А (5; 7) на прямую х+2у-4=0 и точку С, симметричную точке А относительно данной прямой.

12.Составьте уравнения биссектрис углов между прямыми

3х+4у-20=0 и 8х+6у-5=0.

13.Найдите расстояние от точки М(2:-1) до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 8, в = 6.

14.При каком значении m прямые 7х-2у-5=0, х+7у-8=0 и mх+mу-8=0 пересекаются в одной точке?

15.Постройте треугольник со сторонами x+y-4=0, 3x-y=0, x-3y-8=0. Найдите его углы и площадь.

Ответы. 1. х+4у-1=0; k=-	1	;	0;	1	, (1;0); да. 2. а)	1	; б) (1; 3); в)
	4			4		3

(0;2), (-6;0); г) 6; д) (3;3). 3. параллельны а,в,е; б,г,д; перпендикулярны а,г; в,б 4. х+у-7=0. 5. х+у+1=0. 6. 3х-4у-15=0, 4х+3у+5=0, 4х+3у-10=0. 7. а) у=-3, б) х=1, в) 5х-2у-11=0, г) 3х-7у-22=0. 8. (1;-1), ( 83 ;-2). 9. АВ:

4х-3у-12=0; СН: 3х+4у-24=0; ВМ: х+3у-3=0; АК: 3х-у-4=0; СН=6; 10 . 10. х-у+2=0, х+2у-4=0; 2х+у-8=0. 11. В(2;1), С(-1;-5). 12. 14х+14у-45=0,

2х-2у+35=0. 13. 4,4. 14. 4. 15. tgА= 43 , tgB=tgC=2, S=16.

§3.2. Кривые второго порядка

1.Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки А(-1;5), В(-2;-2), С(5;5).

2.Дана точка А(-4; 6). Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.

3.Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(1;2).

4.Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(7;7) и В(-2;4), если ее центр лежит на прямой 2х-у-2=0.

5.Составьте уравнения касательных к окружности (х-3)2+(у+2)2=25, проведенных в точках пересечения ее с прямой х-у+2=0.

6.Постройте эллипс х2+4у2=16, найдите его фокусы и эксцентриси-

тет.

7.Запишите каноническое уравнение эллипса, зная, что а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось в=3; б) большая полуось

а=6, а эксцентриситет =0,5.

8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит

через точки М(2; 3 ) и В(0;2). Напишите его уравнение и найдите расстояние точки М от фокусов.

9.Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку М(1;1) и имеет эксцентриситет = 53 . Составьте уравнение эллипса.

10.Составьте уравнение эллипса, у которого длина большой оси равна 2, а фокусы F1(0;0) и F2(1;1).

11.Постройте гиперболу х2-4у2=18 и ее асимптоты. Найдите фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

12.Составьте каноническое уравнение гиперболы, зная, что а) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами 8; б) действи-

тельная полуось равна 25 , а эксцентриситет 1,2 .

13.Напишите каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.

14.Докажите, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.

15.Дан эллипс 9х2+25у2=1. Напишите уравнение софокусной равнобочной гиперболы.

16.Определите траекторию точки М, которая движется так, что ос-

тается вдвое дальше от точки F(-8;0), чем от прямой x= 2.

17.Постройте параболы, заданные уравнениями: а) у2=4х, б) у2=-4х, в) х2=4у, г) x2=-4y, а также их фокусы и директрисы. Запишите уравнения директрис.

18.Напишите уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы у2=8х и касающейся ее директрисы. Найдите точки пересечения параболы и окружности.

19.Составьте уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0) и от прямой у = 2. Найдите вершину параболы, точки пересечения ее с Ох, постройте ее.

20.Используя параллельный перенос осей координат, приведите уравнения к каноническому виду; постройте кривые:

а) 2х2+5у2 -12х+10у+13=0;

б) х2-у2+6х+4у-4=0;

в) у2+4у=2х; г) 36х2+36у2-36х-24у-23=0;

д) 16х2+25у2-32х+50у-359=0;

е) 14 х2- 91 у2 -х+ 23 у-1=0;

ж) х2+4у2-4х 8у+8=0;

з) х2+4у2+8у+5=0; и) х2-у2-6х+9=0;

к) 2х2-4х+2у-3=0;

л) х2-6х+8=0; м) х2+2х+5=0.

21. Дайте геометрическую иллюстрацию системы неравенств:

x2	y2	9,	x	2	y2 16,
а) x	0,	б)
			x		2;
y	0;

в)	(x	2)2	( y	3)2 25,	г) x2	4 y2	9	2x,
	x	2;			2x	y	2;
	x2	y 2	7 6 y,		y x2		4x,
д) x y 2 0,					е) x y 2,
	x	2;			x	y 4.
	Ответы. 1.			(2;1); 5.	2. х2+у2+4х-6у=0.		3.	(х-1)2+(у-1)2=1 или

(х-5)2+(у-5)2=25. 4. (х-3)2+(у-4)2=25. 5. 3х-4у+8=0, 4х-3у+7=0 6. а=4, в=2,

													3											x2				y2											x2					y2						x2					y2
		3 ,											3											x2				y2											x2					y2						x2					y2
с=2									=						. 7. а)											+			=1;						б)						+					=1. 8.						+				=1,
с=2									=			2			. 7. а)									25		+		9	=1;						б)			36			+		27			=1. 8.		16				+		4		=1,
												2												25				9										36					27					16						4

																																																				5
r=4 3 . 9. 16х2+25у2=41. 10. 3х2+3у2-2ху-2х-2у-1=0. 11.																																																=				5		; 53о8'.
r=4 3 . 9. 16х2+25у2=41. 10. 3х2+3у2-2ху-2х-2у-1=0. 11.																																																=			2			; 53о8'.
																																																			2
						x2					y2										x2				y2										x2				y2								x2				y2
12.	а)								-				=1,					б)					-				=1 13.										-					=1			или			-					=1. 15.
					16						9									20				4										16				9									9				16
2 2			8											x2					y2											2		2																	x2
х -у =									. 16.								-					=1. 18. (х-2)									+у			=16; (2;									4). 19. у=х-									; О1(2;1).
х -у =			225						. 16.				16				-	48				=1. 18. (х-2)									+у			=16; (2;									4). 19. у=х-					4				; О1(2;1).
			225										16					48																														4
20. а)				X 2				+		Y 2			=1, О1(3;-1); б) X2-Y2=9, О1(-3;2); в) Y2=2X; г) X2+Y2=1,
20. а)			5					+					=1, О1(3;-1); б) X2-Y2=9, О1(-3;2); в) Y2=2X; г) X2+Y2=1,
			5								2
О1(	1	;		1	);				д)				X		2	+			Y	2		=1, О1(1;-1); е)														X		2		-		Y 2			=1, О1(2;3); ж) точка
О1(	2	;	3		);				д)				25			+		16				=1, О1(1;-1); е)													4					-	9				=1, О1(2;3); ж) точка
	2		3										25					16																	4						9
(2;1); з)							X		2		+	Y 2			=-1 (мнимый эллипс), и) Y=																											X (пара пересекающих-
(2;1); з)					1						+		1		=-1 (мнимый эллипс), и) Y=																											X (пара пересекающих-
													1
													4
ся прямых), О1(3;0); к) X2=–Y, О1(1;																																5	); л) прямые х=2, х=4; м)																						(мни-
ся прямых), О1(3;0); к) X2=–Y, О1(1;																																2	); л) прямые х=2, х=4; м)																						(мни-
																																2

мые прямые).

§3.3. Прямая и плоскость в пространстве

1.Постройте плоскости: а) 4х+2у+3z-12=0; б) 5х-у+2z-10=0; в) 3х+у-2z=0; г) 2х-3z-6=0; д) 3у-z=0; е) 3х-5=0.

2.Даны точки М1(0;-1;3) и М2(1;3;5). Составьте уравнения: а) прямой М1М2; б) плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно

М1М2.

3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости 3х-2у+z+7=0.

4. Найдите уравнение плоскости, проходящей а) через точки Р(4;-2;1), Q(2;4;-3) и начало координат; б) через ось Оу и точку (4;0;3);

в) через точку М(0;2;1) параллельно векторам a =(1;1;1) и b =(1;1;-1).

5. Какой угол образует плоскость х+у+2z-4=0 а) с вектором

	x 1	=	y	3	=	z
a =(1;2;1); б) с прямой							; в) с плоскостью 3х-у+3z-5=0;

	2			1	3

г) с плоскостью 2х-z+3=0; д) с плоскостью 2х+2у+4z+5=0.

6.Найдите расстояние плоскости х-2у-2z+4=0 а) от точки А(5;1;-1); б) от плоскости 2х-4у-4z+5=0.

7.Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат а) перпендикулярно плоскости

3х-5у+2z-3=0; б) параллельно прямой

8. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых,

заданных общими уравнениями

2x y 2z 5 0

2x 3y z 6 0.

Найдите угол между этими прямыми.

9. Покажите, что прямые

перпендикулярны.

10. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0)

параллельно прямой

2 y z 4 0,

11. Покажите, что прямая

параллельна плоско-

сти 2х+у-z=0, а прямая

лежит в этой плоскости.

12.

Найдите

точку

пересечения

прямой

и плоскости:

а)

x 1

и 3х-у+4z-24=0; б)

и х-2у+z-5=0.

13. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно

прямой

14. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно плоскости х+у-2z-6=0.

15. Покажите, что прямые	x	z	2,	и	x	2	=	y	4	=	z	2	пере-
	y	2z	1			3			1			1

секаются, и составьте уравнение плоскости, в которой они расположены.

Ответы. 2. а)

; б) х+4у+2z-2=0. 3. 3х-2у+z=0. 4. а)

х+7у+10z=0; б) 3х-4z=0; в) х-у+2=0. 5. а) arcsin

; б) arcsin

; в)

arccos

;

г)

90о;

д)

0о.

6. а)

б) 0,5.

7. а)

;

3t ,

114

5t,

2t ;

б)

;

2t, y

t, z

5t .

8. arccos

10.

. 12. а) (3;-3;3); б)(1;-1;2). 13. (

;

). 14. (3;3;-3).

15. х+2у-5z=0.

Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

§4.1. Предел функции

Найдите следующие пределы:

а) lim

;

б) limarcsin x ;

в) lim

;

x 1

е) lim

;

г) lim

;

д) lim

;

tg3x

x 0

e x

ln x

и) lim

ж) lim

;

з) lim

;

ctg (2x

x 2

а)

в)

д)

ж)

и)

л)

а)

в)

д)

lim

3x2

;

lim

;

lim

2x4

5x3

7x2

8x 9

;

lim

;

lim

;

9x4

2x3

lim

...

(2n

;

... n

lim

5x3

;

x 0

lim

;

x 6

lim

3x2

;

x 2

б) lim

4x4

2 1

;

г) lim

10x3

6x2

7x 5

;

8 4x

е) lim

4n2

;

з) lim

;

к) lim

...

;

2x2

м) lim

3 x .

б) lim

;

x 1

г) lim

3x2

;

x 1

е) lim

;

x 5

ж) lim

;

x 1

и) lim

3x4

2x3

5x 5

;

x 1

л) lim

5x 33

x 3

а) lim

;

x 5

в) lim

;

x 0

д) lim

;

x 1

ж) lim

;

x 8

и) lim

3 1

;

x 0

а) lim(

x) ;

в) lim

;

x 3

а) lim

sin 5x

;

x 0

в) lim

;

tg 2x

x 0

д) lim

cos 5x

;

cos 3x

x 0

ж) lim

sin x

;

x 0

и) lim

sin(x 1)

;

x 1

з) lim	x2		6x		8	;
		x		4
x 4
к) lim		x4	3x2			4	;
	x	3	x	2	x 2
x 2

б) lim	x2	9		;

	x 1		2
x 3	x 1		2

г) lim			2x		3	1		;

				x	7	3
x 2				x	7	3
е) lim					x		;

	3
	3	1			x
x 0		1			x	1

з) lim

;

x 8

к) lim

x 1

б) lim(

4 x2 x ) ;

г) lim

x 4

б) lim

sin 6x

;

x 0

tgx

г) lim

arcsin x

;

x 0

arctg 3x

е) lim

tgx

sin x

;

sin

x 0

з) limx sin

;

к) lim

cos 4x

;

x sin x

x 0

sin 3x

л) lim

;

м) lim

tgx

;

sin 5x

sin 2x

н) lim

arcsin(1

2x)

;

о) lim

cos x

;

п) lim

sin x

cos x

а)

lim

;

б) lim(1

3x) x ;

в) lim 1

;

г) lim(1

sin x) x ;

sin 3x

x 2

д) lim

;

е) lim

;

ж) lim(4

x) x2

9 ;

з) lim(cos x) x ;

1 x

и) lim

;

к) lim

а)

ln(1

4x)

;

б) lim x(ln(x

ln x) ;

lim

в) lim

e x

;

г) lim

sin 2 3x

;

x 0

ln (1 2x)

д) lim

e2 x

;

е) lim

ln cos x

;

ln(1

)

4x)

ж) lim

sin(ex 1

ln x

Ответы. 1. а) 0; б)

; в)

; г) 0; д)

; е) 0; ж)

; з)

; и) 0. 2. а)

3; б)

; в) 0; г) –5; д) 0; е) 1; ж) 6; з) 0; и)

; к)

; л) 2; м) –1.3. а) 0; б)

; в)

; г)

; д)

; е)

; ж)

; з) 2; и)

; к) –

; л)

.4. а) –40;

б) 24; в) 1; г) 6; д) –											1		; е) 3; ж) 12; з) –2; и)											2	; к)			3	. 5. а) 3; б) 2; в)							1	;
б) 24; в) 1; г) 6; д) –											2		; е) 3; ж) 12; з) –2; и)										3		; к)		4		. 5. а) 3; б) 2; в)							9	;
											2												3				4									9
г) –		1		.6. а)		5		; б) 6; в)						5	; г)		1	; д)	25	; е)		1	; ж) 6; з) 1; и)									1	; к) 8; л)			3	;
		8				3							2			3		9			2											3				5
			1				1			1
м) –			1		; н) –		1		; о)	1		; п) –				2		. 7. а) е 4 ; б) е 3							; в) е 6 ; г) е; д) 0; е) 9; ж)
м) –					; н) –				; о)			; п) –						. 7. а) е 4 ; б) е 3							; в) е 6 ; г) е; д) 0; е) 9; ж)
		2				2			2							4
	1																				1					9				1				1
е 6		; з) 1; и) +							;0; к) е 4 .8. а) 4; б) 1; в) –												1		; г)			9	д) –			1	; е) –			1	; ж) 1.
																					3				4		2					2

§4.2. Непрерывность функции

Исследуйте непрерывность функции, найдите точки разрыва, укажите характер разрыва, постройте график функции в окрестности точки разрыва.

1.	y	8						.

				x		4
3.	y			x		3				.

				x2		1
5.	y			sin x							1		.

				x2			x				7
7.	y			x		2			.
7.	y			x		2			.
				x		2
9.	y		x			x					3	.
9.	y		x			x					3	.
						x					3
							1
11.	y	1 2 x .
13.	y				x3	1,							x	0,
13.	y					2,							x	0.
						2,							x	0.
					x2	9					, x			3,
15.	y				x	3					, x			3,
					x	3

						6,							x	3.

2.	y		sin x				.
2.	y				x		.
					x
4.	y					x			3			.

			x2				4x			3
6.	y				x		.

			sin x
8.	y		x2				2x			3			.
8.	y					x			1				.
						x			1
10.	y	arctg							1		.

							1			x
					1
12.	y		2 x				1		.
12.	y				1				.
					1
			2 x				1
14.	y			x			3,			x				0,
14.	y			x			2,				x			0.
				x			2,				x			0.
		1						,					x	3,

					x		3
16.	y					x2 ,							3	x 1,
				3x			2,						x 1.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.201617.47 Mб5VGUES TIMES #4 Новогодний выпуск.pdf
#
13.04.20151.08 Mб49Vvedenie_v_parlamentskie_debaty_Britansky_for.pdf
#
13.04.20151.55 Mб30Winning_debates_RU (1).pdf
#
13.04.2015157.18 Кб18worldpolicy2009prog_new.doc
#
23.11.20193.11 Mб5XIII.doc
#
13.04.20152.48 Mб9Алгебра Задачник.pdf
#
15.03.201637.92 Кб36Английский 2 модуль 2 вариант.docx
#
19.08.2019214.02 Кб1БВ_либерализм_2012_на_семинар.doc
#
13.04.20151.05 Mб777БЖД.pdf
#
15.03.201649.32 Кб13БИЛЕТЫ 7-12.docx
#
13.04.201556.12 Кб29Бухгалтерский учет.docx