Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

17.

Ответы. 1.

– точка разрыва II рода. 2.

x 0 – точка устра-

нимого разрыва. 3. Функция непрерывна. 4.

– точка устранимого

разрыва. 5. Функция непрерывна. 6. x

0 – точка устранимого разрыва,

n (n Z, n

– точки разрыва II рода. 7.

2 – точка разрыва I

рода. 8. x

1 – точка устранимого разрыва. 9.

3 – точка разрыва

I рода. 10.

1 – точка разрыва I рода. 11.

0 – точка разрыва II ро-

да. 12. x

0 – точка разрыва I рода. 13.

0 – точка устранимого раз-

рыва. 14. x

– точка разрыва I рода. 15. Функция непрерывна. 16.

3 – точка разрыва II рода. 17. x

2 – точка разрыва I рода, x 3

– точка разрыва II рода.

Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§5.1. Дифференцирование функций

Найдите производные функций:

1.	y	1	x5	2x	4	2	x3	3	x2	4x 5 .	2.	y	1	1		1		.
													2x2		3x3		5x5
		5			3		2

	y 44 x3			33 x2							4.	y		ln 2 .
3.							2 x .
													x

5.y x2 cos x .

7.	y	sin x		cos x				.
7.	y							.
		sin x		cos x
9.	y	x3 ln x				x3	.
9.	y	x3 ln x	3				.
			3
11.	y	1 x2		arctg x x					.
11.	y		2						.
			2
13.	y	cos(3 4x) .
15.	y	sin 4 x		cos 4 x .
17.	y	2x2	7 3 .
19.	y	sin2 x	.
19.	y	cos x	.
		cos x
21.	y	ln x2		5x 6 .
23.	y	ln 2 x .
25.	y	esin 2 x .
27.	y	arcsin 2x .

29.	y	arctg		x .

31.	y	arccos			x .
33.	y	arctg ln x .
35.	y	tg2 5x .

6.	y	ax					b				.
6.	y										.
		ax					b
8.	y	2t sin t											(t 2 2) cos t .
		x5
10.	y			.
10.	y	ex		.
12.	y	sin				x		.
12.	y	sin			2			.
					2
14.	y	cos3 x .

16.	y		x4								2x			3 .
18.	y		ctg3 x											3 ctg x 3x .
20.	y	cos 2 x2 .
22.	y	ln ln x .
			sin			x
			sin
24.	y	a			4 .
26.	y	ecos2 x .
28.	y		arcsin										1		.
28.	y		arcsin										x2		.
30.	y	arctg								1		.
30.	y	arctg										.
										x

32.	y	arctg										4x		1 .
34.	y		1						.

		ln 2 x
36.	y	5e x2 .

37.	y	lg sin x .

39.	y	3	a		bx3 .
		3

41.	z		y			y .
				ex		e x
43.	y	ln					.
43.	y	ln		ex		e x	.

38.	y	3		2x2		4 .
40.	y	3		2 sin x 5 .
42.	y			1		1			.

		3 cos3 x					cos x
					5 tg			x	4
		2
44.	y		arctg			2				.

		3				3

	1		x	cos x				1	sin x
45. y		lntg				46.				2 arctg sin x .
					.		y ln
	2		2	2 sin 2 x
								1	sin x

Найдите производные степенно-показательных функций:

47.

xcos x .

48.

sin x x .

49.

x .

50.

x x .

51.

arctg x x .

52.

cos x sin x .

Найдите производные функций, заданных неявно:

53.

a3 .

54.

tg y .

55.

e y

x y .

56.

0,3sin y x .

57.

arctg

58.

x y

y x .

Найдите производные

d 2 y

функций, заданных параметри-

dx2

чески:

59.

ln t,

60.

arctg t,

t 3 .

ln 1

t 2 .

61.

arcsin t,

62.

a cos3 t,

t 2 .

a sin3 t.

cos 2t,

arctg t,

63.

64.

sin 2 t.

t 2 .

Найдите n-ю производную от функций:

65.

e 3 x .

66.

ln 1

x .

67.

68.

sin x .

69. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно

вычислите: а) arctg1,05 ;

б)

e0,2 ;

в) ln1,01 .

		Ответы.							1.			x4		8x3		2x2			3x		4 .	2.						1			1			1		.			3.
		Ответы.							1.			x4		8x3		2x2			3x		4 .	2.						x3			x4					.			3.
																												x3			x4			x6
3			2			1																										2ab
										.		4.			.	5. x(2 cos x						x sin x) .				6.											.		7.
														x2																			b 2
4 x				3 x				x						x2																	ax		b 2
			2						. 8.			t 2 sin t .			9.	3x2 ln x .					10.			5x4	x5		. 11.				x arctg x .								12.
sin x					cos x 2				. 8.			t 2 sin t .			9.	3x2 ln x .					10.			ex			. 11.				x arctg x .								12.
sin x					cos x 2																			ex
1	cos		x		.	13.				4 sin(3			4x) .			14.				3cos2 xsin x .						15.					sin 4x .								16.
2	cos		2		.	13.				4 sin(3			4x) .			14.				3cos2 xsin x .						15.					sin 4x .								16.
2			2
	2x3 1						.		17.			12x 2x2			7	2	.	18.		3 ctg4 x . 19.						sin x(sec2 x 1) .													20.

	x4			2x		3
	x4			2x		3
												2x	5					1					2 ln x						1	asin		x			x
	2x sin 2x2 . 21.																																cos					ln a .
	2x sin 2x2 . 21.														. 22.					.	23.				. 24.							4	cos					ln a .
											x2 5x 6							x ln x						x		4							4

25.		2 cos 2xesin 2x .
		1				.	30.


2			x (x	1)
2			x (x	1)
		1			.		34.

			ln 2
	x(1		ln 2	x)

26.			sin 2xe					cos 2	x	. 27.			2

												1	4x2
												1	4x2
1					.		31.			1			. 32.

		x2		1
		x2		1							x x	2
											x x
2						.	35.		10 tg 5x sec2 5x .
	x ln 3					.	35.		10 tg 5x sec2 5x .
	x ln 3			x

. 28.			2			.	29.


		x	x4	1
		x	x4	1
	1				.		33.



2	4x3		x2
36.		10xe		x 2 .			37.

ctg x lg e .						38.			16x 3 2x2				3	.		39.				bx2				.		40.			10cos x 3					2sin x 4 .

																			3 a		bx3 2
																			3 a		bx3 2
41.				1		2			y			. 42.			sin3 x				. 43.					4					. 44.			1				. 45.
																	4					e	2 x			e		2 x			5		4 sin x
											2				cos		4	x					2 x					2 x
6			y 3				y			y	2
6			y 3				y			y
	1	.				46.					2					.			47.			xcos x						sin x ln x				cos x		.		48.
		.				46.										.			47.			xcos x						sin x ln x						.		48.
	sin 3 x										cos x sin x																						x
	sin x x		ln sin x							x ctg x .				49.					x x	1		ln x .						50.				2 1			1 ln x .
	sin x x		ln sin x							x ctg x .				49.					x x	1		ln x .						50.		x	x	2 1			1 ln x .
																																1

																					x2													2
51. arctg x x lnarctg x																x				.
51. arctg x x lnarctg x														x2						.
											1			x2		arctg x
52. cos x					sin x			cos x ln cos x					sin x tg x .												x2						y cos2 y
																				53.							.		54.							. 55.
																				53.					y 2		.		54.	1		x cos2 y				. 55.

1						1		.	56.				10		.	57.	y 1 x2			y2	. 58.		x ln y y y			.
	e y							.	56.						.	57.			x2	y2	. 58.					.
	e y	1		x		y	1			10			3cos y				x 1		x2	y2			y ln x	x x
		9t3 . 60.					2t 2													1
59.									2	. 61.				1 t 2 . 62.						1		. 63.		0 . 64.

																			3a cos 4 t sin t
																			3a cos 4 t sin t
	1 t	2	1 3t			2	. 65.			3	n	e	3x	. 66.		1	n 1	n 1 !		. 67.			1 n 1 n!		. 68.
	1 t		1 3t				. 65.			3		e		. 66.		1		1 x n		. 67.		1 x n		1	. 68.
																		1 x n				1 x n		1
sin		x	n			. 69. а) 0,81; б) 1,2; в) 0,01.
sin		x	n		2	. 69. а) 0,81; б) 1,2; в) 0,01.

§5.2. Правило Лопиталя-Бернулли

	Вычислите пределы, используя правило Лопиталя-Бернулли:
1.	lim			3x2						3x	1	.			2.	lim			e x		.
1.	lim		2					x x2				.			2.	lim			x5		.
	x		2					x x2								x			x5
3.	lim					x3				3x	2	20	.		4.	lim	tg x						sin x				.
3.	lim						x2						.		4.	lim			x		sin x						.
	x		2				x2				2x					x 0			x		sin x
5.	lim					tg x			.						6.	lim	sin x						e2 x x					.
																	sin x						e2 x x

	x				tg3x											x 0			5x		2				x	3
	x	2			tg3x											x 0					2					3

7.	lim				ln x			.							8.	lim		1						1		.
7.	lim							.							8.	lim										.
	x x4															x 0		x			sin x
9.	lim ln x ln x 1 .														10.	lim			x					1				.
9.	lim ln x ln x 1 .
	x	1																x 1							ln x
	x	1														x 1
																x 1
			1									5			12.	lim		1				x				.
11.	lim													.
																									x
						x	3				x2	x 6				x 1 1				sin
	x	3
	x	3																						2
																								2

13. lim 1	x tg	x	.
		2
x 1

15.lim x x .

x 0

17.lim ctg x sinx .

x 0

14.				1
14.	lim x x .
	x
16.	lim		1		tgx .
16.	lim		x		tgx .
	x	0	x
							1
	lim		sin x				1 cos x
18.						.
18.					x	.
	x	0			x


	Ответы. 1. –3. 2. . 3. –12. 4. 3. 5. 3. 6.			2		. 7. 0. 8. 0. 9. 0. 10.		1	. 11.
	Ответы. 1. –3. 2. . 3. –12. 4. 3. 5. 3. 6.			5		. 7. 0. 8. 0. 9. 0. 10.		2	. 11.
				5				2
1	. 12. . 13.	2	. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18.		1		.
	. 12. . 13.		. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18.				.
5					3 e

§5.3. Исследование функций с помощью производных

1. Определите промежутки возрастания и убывания функций:

а) y 1 4x x2 ;

б) y x2 x 3 ;

в)

;

г) y x ln x .

x 2

2. Исследуйте на экстремум функции:

а) y x3

3x2

3x 2 ;

б)

;

в)

x 2e

x ;

г)

arctg x .

3. Найдите интервалы вогнутости и точки перегиба графиков

функций:

а) y x3

6x2

12x 4 ;

б) y

3 4x3

12x ;

в) y x2 ln x ;

г) y 1 x2 e x .

4. Найдите асимптоты кривых:

а)

;

б)

;

в)

;

г) y ln 1 x .

1 ex

5. Исследуйте функции и постройте их графики:

а) y x

;

б)

2x 2

;

г)

tg x .

в)

;

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на ука-

занных отрезках:

а)

3, 2;1 ;

б)

1;3 ; в) y

x2 ,

2x 1, 2;1 .

7. Из прямоугольников, у которых сумма трех сторон равна 100, выберите тот, который имеет наибольшую площадь.

8.Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определите размеры окна при заданном периметре, имеющего наибольшую площадь.

10.В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите этот объем.

Ответы. 1. а)

и 2;– возрастает,

0; 1e – убывает,

; 2 – возрастает, 0;2 – убывает; в)

1e ;– возрастает.

ymax	2 при x 0 ; в) ymin 0 при x

2;		– убывает; б)			;0
	;2	и 2;		– убывает; г)
2.	а)	экстремумов			нет;	б)
0	, ymax		4	при x	2 ;	г)

			e2

экстремумов нет. 3. а)

– выпуклый,

– вогнутый,

M 2;12

– точка перегиба; б)

;

3 и

– вогнутый,

3;0

– выпуклый, точки перегиба

и O 0;0

; в)

– вы-

M1,2

3;0

пуклый,

;

–

вогнутый,

;

–

точка перегиба;

г)

2e3

;

–

вогнутый,

– выпуклый,

точки перегиба

и M 2

. 4. а) x 1 , x 3 , y 0 ; б) x

1 , y

(левая),

(правая);

в)

0 ,

(левая),

(правая);

г)

1 .

а)

y max

при

0 , y min

4 при

2 ,

точка перегиба

M 1; 2 ; б)

y max

2 при

0 ,

y min

при

2 , асимптоты x

1 ,

в)

точки перегиба

M1 0;1

M 2 1;0

асимптота

x ;

г)

функция

нечетная,

y max

2 k

при

k ,

y min

2 k

при x

k , точки перегиба M k

k;2 k , асим-

птоты

Z .

а) m

f (

2 ,

f (

11;

б)

m	f (3)			5	,		M			f (0) 1 ; в) m f (0) 1 , M f ( 2) 3 .7.
m	f (3)		13		,		M			f (0) 1 ; в) m f (0) 1 , M f ( 2) 3 .7.
			13

25	50 . 8.	3				3					V
											V
				2V				2V		3	4 . 9. Высота прямоугольника равна радиусу
					4 R3					3
					4 R3
полукруга. 10.									.

					3	3
					3	3

Глава 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§6.1. Неопределенный интеграл

Найдите неопределенные интегралы, применяя основные правила интегрирования:

6x2 8x 3 dx .

a bx3 2dx .

3x6

2x5

3x4

dx .

x 1 x

x 1 dx .

1 x

3 x2

x 2

cos 2x dx

3 tg

10.

dx .

2 x sin2

cos

sin2 x

11.

sin3 x

dx .

12.

ctg2 x dx .

sin 2 x

13.

dx .

14.

dx .

x 1

Найдите неопределенные интегралы, используя свойство диффе-

ренциала

d kx

b :

e x

3dx .

15.

16.

17.

3 x

11dx .

x 4

18.

cos

dx .

19.

sin 5x dx .

20.

34 x dx .

21. cos 2 x .

24.		dx		.


		4x2 5
		4x2 5
		dx
27.			.
27.	1 7x		.

22.		dx		.	23.			dx			.

		9x2	16			1		25x2
		9x2	16			1		25x2
25.	e4x		3dx .		26.	dx			.
25.	e4x		3dx .		26.	e5x		1	.
						e5x		1
28.		5x	3 6 dx .		29.		dx			.

						2		3x 3
						2		3x 3

									dx
					x	3	31.		dx		.			dx
						3
												32.			.
30.	4		1				dx .		sin 2	x

														2x 5
				2


								4		3
	Найдите неопределенные интегралы, используя подведение под
знак дифференциала:
		ln 2 x					34.	ecos x sin x dx .				35.	sin6 x cos x dx .
33.			x	dx .			34.	ecos x sin x dx .				35.	sin6 x cos x dx .
33.			x	dx .

36.ctg x dx .

39.sin x dx . cos5 x

42. 1 2sin x dx . cos2 x

45. x6 dx .

x14 5

48.2 dx .

	x
51.	ln x 3 dx .

x ln x

54. x 1 5 ln x 5 .

earctg x

37. 1 x2 dx .

40.	etg x			dx .
	cos 2		x

43.		x3dx			.

		x8		3

46.x6dx .

x7 2

49.	arcsin x			x		dx .
						dx .

		1 x2

52.	3 2	ln x			dx .
52.		x			dx .
		x
	e4 x dx
55.			.
55.	5	2e4 x	.

Найдите неопределенные интегралы, вания по частям:

38.arccos x dx .

1 x2


41.	3 x			dx .

		x
		x
44.		ex dx				.

	5			e2x
	5			e2x
	sin			1
	sin		x2
			x2
47.					dx .
47.		x	3		dx .
		x	3

50.2x 3 dx . x2 4

53.41 6x5 x4dx .

56.	sin 2x dx			.

	5	cos2	2x

используя метод интегриро-

57.		x cos x dx .			58.	x sin 2x dx .					59.		xe	x dx .
60.		ln x dx			61.	x2	3x 2 ln x dx .				62.	arcsin x dx .
63.		x arctg x dx .			64.	xdx		.			65.		x cos x			dx .
						cos 2
							x						sin3 x
			x			x ln 2 x dx .						e x sin x dx .
66.		x2e 2 dx .			67.						68.
	Найдите неопределенные интегралы от рациональных дробей:
		dx							dx						2x		1 dx
69.				.		70.				.		71.						.
									3x 2 2
		3 x														x	2

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.201617.47 Mб5VGUES TIMES #4 Новогодний выпуск.pdf
#
13.04.20151.08 Mб49Vvedenie_v_parlamentskie_debaty_Britansky_for.pdf
#
13.04.20151.55 Mб30Winning_debates_RU (1).pdf
#
13.04.2015157.18 Кб18worldpolicy2009prog_new.doc
#
23.11.20193.11 Mб5XIII.doc
#
13.04.20152.48 Mб9Алгебра Задачник.pdf
#
15.03.201637.92 Кб36Английский 2 модуль 2 вариант.docx
#
19.08.2019214.02 Кб1БВ_либерализм_2012_на_семинар.doc
#
13.04.20151.05 Mб777БЖД.pdf
#
15.03.201649.32 Кб13БИЛЕТЫ 7-12.docx
#
13.04.201556.12 Кб29Бухгалтерский учет.docx