Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра Задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

3( y2 ax); б)

2 y

; в)

; г)

x (x y)

(x y)

y x

;

д)

;

е)

;

ж)

y2 (x

y2 )

sin

;

ln x;

з)

cos

;

cos

;

и)

ctg

;

ctg

3. a) 0,96; б) 4,998; в)-0,3. 6.

2 y

8x 8y z 4 0;

x 2 y 1 z 4

;

б)

27x 9y z 3 0;

x 1

;

в)

. 7. zmin (

;

)

zmin (1;

)

zmax

8 .

10.

zmin (

3 ,

3,47. 12. zmin (

2;0)

zmax (

3 . 11. zmax (6;4)

5ln 2

13.

3;0)

z(0;

3);

1).

14.

z(1;3) ,

1;3) .

15.

13,5

3;3);

4,5

z(3;3) .

16.

2;0)

z(2;0) ;

z(0;2)

z(0; 2).

17.

;

);

z(3;3).

18.

Убывает,

15,2.

19.

j. 20. 900. 21.

(

;

);

(

;

22. 0,82. 23.

(убывает),

(возрастает),

наиб.

5 в

направлении

Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§8.1. Дифференциальные уравнения I порядка

1. Проверьте, является ли указанная функция решением данного уравнения:

a) y	Cx, y x y 0 ;	б)	y	sin x, y	y	0 ;
в) y	sin x 2 cos x, y cos x y sin x 1;			Cx4, xy		x2		.
в) y	sin x 2 cos x, y cos x y sin x 1;	г)	y	Cx4, xy	4 y	x2	y	.

Проинтегрируйте дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если даны начальные условия, найдите частные решения:

ydy

xdx

0, y(3)

5 .

(2x

5)dy

ydx

0, y(0)

3, y(6)

10 .

0, y(0) 4 .

1 x

2 y x 9 y2

0 ,

3xdx 2xdy

dy .

y(0) 0 .

y sec5x

0, y( )

y tgx

1, y

10.

, y(e) 1.

11. (xy2

x)dx

( y

x2 y)dy

0 .

ln x

Проинтегрируйте однородные дифференциальные уравнения:

12.

2xyy

4x2 .

13.

(x y)dx

(x y)dy 0 .

14.

(2xy

y2)dx

(2xy

x2)dy

0 .

15.

xdy

ydx

ydy .

16.

xtg

0 .

17.

25x2 y2 .

18.

xy cos

y cos

x .

19.

y(1

ln y

ln x) .

Проинтегрируйте линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли:

20.

2 y 4x .

21.

5x4 y

ex5 .

22.

ytgx

sec x, y(0) 0 .

23.

y sin x

sin x sin

24.

ln x

25.

xy 2 0 .

26.

y3e

0 .

27.

y 2 ln x .

y 2

4x(x 1)

0 .

4y x 2

28.

29.

y .

30. Определите тип дифференциального уравнения:

а) x 3 y

y( y 2

x 2 ) ;

б) y

e 2 x

e x y ;

в) y

y 1

;

г) (x 2

1) y xy x(x 2 1) ;

д)

2x 3 y 3

2xy ;

е)

xdy

ydx

0 ;

ж)

x 2

;

з)

;

x 2

и)

y cos x

y sin x ;

к) (1

x 2 )dy

2xydx

0 .

Ответы. 1. а) да; б) нет; в) да; г) нет.

2. y2

C ;

y 2

16 .

3. y

;

y 2

6x C ;

6x 64 .

;

4 x

x2 .

3sin(C

1 x2 ) ;

ln C(2x

3sin(

1) .

Cesin 5 x ;

sin5x

C sin x

2 sin x

10.

C ln x ;

ln x .

11.

(1 x2 ) (1 y2 ) C .

12.

4x2

8Cx 0 .

13.

arctg

C .

14.

xy(x

15.

ln y

C .

16.

x sin

C .

17. y

5x sin ln Cx

18.

sin

ln x

C .

19.

xeCx .

20.

y Ce 2 x

2x 1 .

21.

y (x C)ex .

22.

23.

cos x

2sin

24.

ln x

25.

26.

x ln Cx

ex2

27.

y(ln x

Cx)

1 .

28.

4x2

Ce 2 x .

29.

x4 (ln

C)2 . 30. в), е), к)

– с разделяющимися переменными; а),

ж), з) – однородные; б), г), и) – линейные; д) – Бернулли.

§8.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найдите общие решения или общие интегралы дифференциальных

уравнений:

y x sin x .

y IV

x .

y 0 .

(1 x 2 ) y

y 2

1 0 .

y ln

x 2 y

1 .

y 2 .

2 y 3

y 2 y

y 2 .

10. yy

y (1

y )

0 .

Найдите решения, удовлетворяющие заданным начальным услови-

ям:

11.

y y 3

y=1, y =1 при x=0,5.

12.

y 2

1; y=1, y =1 при x=0.

13.

y (1

ln x)

2 ln x; y=0,5, y =1 при x=1.

14.

15.

2. y

y y 2 y ( y xy xy 2 y

Ответы. 1. y

x5 C1x3

120

1) 0; y=2, y =2 при x=0. 0; y=2, y =1 при x=2.

6 sin x c1x c2 .

C x2	C x C	4	. 3. y C C	2	ln	x	.
2	3	4	1	2

																								x	1
4. y (1 C 2 ) ln							x C					C x C			. 5. y (C x C 2 )eC1										1
4. y (1 C 2 ) ln							x C					C x C			. 5. y (C x C 2 )eC1										C	2	.
				1					1				1	2					1			1				2
6. y	1	(ln			x	)2		C ln			x		C	. 7. 1 C y2						C	2	C1x		2	. 8.	y C eC2 x .
	1																					C1x		2

	2							1					2				1					2					1
	2																	1				2
9. x	1		ln			y			C			. 10.		y C eC2 x						. 11. 2 y 2					4x2		1.
9. x	1		ln			y			C			. 10.		y C eC2 x						. 11. 2 y 2					4x2		1.
	C1				y C1				2						1			C2
	C1				y C1													C2
										x2			. 14. y 2e			x							x2
12. y x 1 . 13.								y									. 15.		y 2 ln						.
12. y x 1 . 13.								y	2								. 15.		y 2 ln				4		.
									2														4

§8.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го и высших порядков с постоянными коэффициентами

Найдите общие решения линейных однородных дифференциаль-

ных уравнений:
1. y' ' 16 y 0 .	2. y' ' 3y' 0 .
3. y' ' 2y' 3y 0 .	4. y' ' 4y' 4 y 0 .
5. y' ' 16 y 0 .	6. y' ' 4y' 20y 0 .
7. y' ' 8y' 5y 0 .	8. y IV	4 y' ' 0 .
9. y' ' ' 3y' ' 3y' y 0 .	10. yVI	3y IV 4 y' ' 0 .

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан-

ным начальным условиям:
11.	y' '	3y'	2y	0 ; y(0)=1, y' 0	1 .
12.	y' '	4 y	0 ;	y 0 0, y' 0	2 .

Определите вид частных решений неоднородных дифференциальных уравнений:

13. y' '	2 y'	x2	1 .	14. y' '	y'	3xe x .
15. y' '	y'	3xe	x .	16. y' '	4 y	x3	3 .
17. y' '	4 y	cos 2x .		18. y' '	3y'	4 y'	x sin x 2 cos x .
19 y' '	6 y'	9 y	e3x .	20. y' '	2 y'	5y	xe x cos 2x x 2 e x sin 2x .

Найдите общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

21. y' '	4 y'	4 y	x 2 .	22. y' '	2 y' y		e2 x .
23. y' '	y	e x .		24. y' '	y	cos x .
25. y' '	y'	6 y	xe 2 x .	26. y' '	y'	2y	8sin 2x .
27. y' '	y'	5x	2e x .	28. y' '	2 y'	y	e x e x .
29. y IV	2 y' ' '		y' ' e x .	30. y IV	y' ' '		cos 4x .

Найдите частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

31.	y' '	y' 2 1		x	; y 0		y' 0	1 .
32.	y' '	2 y'	ex	x	1	; y 0	y' 0		2 .
33.	y' ' 4y		sin x ; y 0				y' 0	1 .
34.	y' ' ' 2y' '		2y'		y	x ; y 0		y' 0	y' ' 0 0 .

Ответы. 1.

C e 4 x

e4 x . 2. y

e 3x .

3. y

C e x

e3x . 4.

2 x C

x . 5. y

C cos 4x

sin 4x .

6. y

e2 x

C cos 4x

sin 4x . 7. y

C cos

sin

8. y

C x

C cos 2x

C sin 2x . 9.

x2 .

10.

2 x

cos x

sin x . 11.

e x .

12. y

sin 2x . 13.

Ax 2

C x . 14. Ax

B ex

. 15.

B xe x .

16. Ax3

Bx3

D . 17.

Acos 2x

B sin 2x x .

18.

B sin x

D cos x . 19. Ae3x x2 .

20. xe x

Ax 2

C cos 2x

Dx2

F sin 2x .

21.

y C C

x e2 x

2x2

4x 3 . 22. y C C

x e x

e2 x .

23.

C ex

e x

xe x . 24.

C cos x

sin x

x sin x .

25. y C e2 x

e 3x

e2 x .

26.

C ex

e 2 x

3sin 2x

cos 2x .

27.

y C C

e x

5x . 28. y C C

e x

ex .

29. y C C

x C C

ex .

30.

C x2

e x

4 cos 4x

sin 4x . 31.

ex x2 .

1088

32.

e2 x

x . 33.

cos 2x

sin x

sin 2x .

34. y

e x

e 2

cos

sin

2 .

Глава 9. РЯДЫ

§9.1. Числовые ряды

Напишите простейшую формулу n-го члена ряда:

1.	1		1		1		1		...	2.	1		1		1		1		...

			3		5		7						4		9		16
			3		5		7						4		9		16
3.		1		1		1		1	...	4.		3		4		5		6		...
3.	2		4		6		8		...	4.	4		9		16			25		...
	2		4		6		8				4		9		16			25
5.	1		2		3		4		...	6.	1		1		1 1		1 1 ...

			2		4		8
			2		4		8

По известному общему члену ряда an

ряда:
7.	3		n	2			( 1)n n
	an				8.	an
			2
		n		1			2n
		n		1			2n

найдите 1-й, 4-й и 7-й члены

2( 1) n 1

9.an n 2

Исследуйте сходимость рядов с положительными членами:

10.	1			2				n	11.		n			1		12.	1


n 1 n 5										n 1 3n 1						n 1 2n 1
	2n											n		1	n	15.			1
13.									14.


n 1 n										n 1 2n 1						n 1		n(n 1)
n 1 n										n 1 2n 1								n(n 1)
16.	sin			1					17.		1						(n		1)		2
									17.	n 2 n ln n						18.	(n		1)
						2
n 1					n														n
n 1																n 1	3		n
																n 1	3
				3n					n				n		2n 1	21.					1
19.									20.
																			1) ln 2 (n

																n 1 (n							1)
n 1		3n					1			n 1 3n				1		n 1 (n							1)
22.	ln			1			1		23.		n!					24.					1
22.	ln			1					23.	n 1 n n						24.
n 1								n		n 1 n n						n 1 (3n			2)(3n				1)
25.	1								26.			n				27.	arcsin			1
25.									26.	n 1 3n3						27.	arcsin
n 1 n!										n 1 3n3				1		n 1						n
28.			n 2						29.			3n		1	n	30.	3n
	2n 2

n 1							1			n 1 2n 3						n 1 n!

Исследуйте сходимость знакочередующихся рядов. В случае сходимости исследуйте на абсолютную и условную сходимость.

31.						( 1) n 1										32.						( 1) n 1								33.				( 1) n n
31.			n 1 2n 1													32.		n 1					n 2							33.		n 1 6n 5
			n 1 2n 1															n 1					n 2									n 1 6n 5
34.							( 1) n									35.					(		1)n n							36.			( 1)n 1				n		1 n
																							3n
			n 1															n 1																			2n 1

								4n 3																								n 1
						(	1)		n	3	n								(				1)		n	ln n							( 1)n 1tg						1
37.						(	1)			3						38.			(				1)			ln n				39.									1
37.			n 1 n 2													38.														39.
			n 1 n 2							2								n 1							n							n 1						n n
40.						( 1) n n 2										41.						( 1) n								42.					( 1) n
40.			n 1 3n 2								2					41.		n 1 (n							1)!					42.		n 1 (n			1) ln(n				1)
			n 1 3n 2								2							n 1 (n							1)!							n 1 (n			1) ln(n				1)
				Ответы. 1.								1					.	2.	1				. 3.			1	. 4.				n	2	. 5.		n	. 6.			1	n 1	. 7.
																			n2							2n						1 2			2n 1
													2n			1			n2							2n				n		1 2			2n 1
	1	;		10	;			19	.	8.				1	;		1	;		7				.	9. 3;			1	;		3	. 10. Сходится. 11. Расхо-
2		;	17		;		50		.	8.		2			;	4		;	128					.	9. 3;		16		;	49		. 10. Сходится. 11. Расхо-
2			17				50					2				4			128								16			49

дится. 12. Расходится. 13. Расходится. 14. Сходится 15. Расходится. 16. Сходится . 17. Расходится. 18. Сходится. 19. Расходится. 20. Сходится . 21. Сходится . 22. Расходится. 23. Сходится. 24. Сходится. 25. Сходится. 26. Сходится. 27. Расходится. 28. Расходится. 29. Расходится. 30. Сходится. 31. Сходится условно. 32. Сходится абсолютно. 33. Расходится. 34. Сходится условно. 35. Сходится абсолютно. 36. Сходится абсолютно. 37. Расходится. 38. Сходится условно. 39. Сходится абсолютно. 40. Расходится. 41. Сходится абсолютно. 42. Сходится условно.

§9.2. Степенные ряды

Найдите интервалы сходимости степенных рядов, исследуйте сходимость на концах интервалов:

1.	x n .	2.		x n	.
			1 n2 n
n	0	n

		1 n 2n 1 2 x n .					x n
4.					5.			.
4.					5.			.
n 1						n 1 n!
		n	x	n			x 3 n
7.				.	8.				.
7.	n	1	2	.	8.		n5n		.
n 1	n	1	2			n 1	n5n
n 1						n 1

		1 n 1 x n
3.			.

	n 1	n

6.n! x n .

n 1

		x	1	2n
9.					.
9.	n 1		n9n		.
			n9n

	x 3 n				n n x 3 n .					x 2 n
10.			.	11.				12.			.
10.	n2		.	11.				12.		2n 1 2n	.
n 1	n2			n 1					n 1	2n 1 2n
		x 1 n			n! x 2	n				n2 x 5 n
13.				14.			.	15.				.
13.	n 1 ln 2 n 1			14.	3n		.	15.		4n		.
n 1	n 1 ln 2 n 1			n 1	3n				n 1	4n

Напишите разложения следующих функций в ряд Маклорена и найдите интервалы сходимости:

16.		e x	e x		.	17. x2 e 2 x .		18. sin x2 .
			2

19.	1			.		20. ln 1	x 2 .	1		3x
								21. ln					.
			x2
	1								1	3x
											x	.

22.	1		x2 .			23. 3 27	x .	24. arctg
										2

Пользуясь соответствующими разложениями, вычислите с точностью до 0,001:

			0,5	sin x	dx		1 e x2 dx
25. 3 10	26. sin 18	27.				28.

			0	x			0

x 2

29. Сколько нужно взять членов ряда ln(1 x) x ..., чтобы

вычислить ln2 с точностью до 0,01? До 0,001?

	30. С какой точностью будет вычислено число																											,	если воспользо-
	30. С какой точностью будет вычислено число																										4	,	если воспользо-
																	x 3	x 5
ваться рядом arctgx												x							..., взяв сумму его первых пяти чле-
ваться рядом arctgx												x				3		5	..., взяв сумму его первых пяти чле-
																3		5
нов при x=1?
	Ответы. 1. (-1;1). 2.															-2;2). 3. (-1;1 . 4. (-1;1). 5. (- ;														). 6. x = 0. 7. (-
2;2). 8. -2;8). 9. (-2;4). 10.																	-4;-2 . 11. x = -3. 12. 0;4). 13. [-2;0]. 14. x = -2.
							x2n 1											17. ( 1)n						2n xn 1	,	x
15. (1;9). 16.							x2n 1						,	x		.								2n xn 1					.
15. (1;9). 16.													,	x		.													.
						n 0	(2n 1)!												n 0					n!
	( 1)n				x2(2n 1)													x2n ,		x		1. 20.					x2n
18.					x2(2n 1)			,	x					. 19.													x2n		,	x	1.
18.								,	x					. 19.															,	x	1.
n	0				(2n		1)!											n 0							n 1		n
21. 2				32n 1			x2n 1 ,				x				1		.
				32n 1											1
	n 0		2n			1								3
	n 0		2n			1								3
22.1		x2				(	1)n 1			1		3		5...(2n				3)	x2n ,		x		1.
		x2								1		3		5...(2n				3)
	2														(2n)!!
	2			n		2									(2n)!!

23. 3

( 1)n 1

2 5 8...(3n 4)

xn ,

27. 24.

( 1)n

x2n 1

27 n 2

34n 1 n!

n 0

22n 1 (2n 1)

2 . 25. 2,154. 26. 0,309. 27. 0,493. 28. 0,747. 29. 99; 999. 30.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.201617.47 Mб5VGUES TIMES #4 Новогодний выпуск.pdf
#
13.04.20151.08 Mб49Vvedenie_v_parlamentskie_debaty_Britansky_for.pdf
#
13.04.20151.55 Mб30Winning_debates_RU (1).pdf
#
13.04.2015157.18 Кб18worldpolicy2009prog_new.doc
#
23.11.20193.11 Mб5XIII.doc
#
13.04.20152.48 Mб9Алгебра Задачник.pdf
#
15.03.201637.92 Кб36Английский 2 модуль 2 вариант.docx
#
19.08.2019214.02 Кб1БВ_либерализм_2012_на_семинар.doc
#
13.04.20151.05 Mб777БЖД.pdf
#
15.03.201649.32 Кб13БИЛЕТЫ 7-12.docx
#
13.04.201556.12 Кб29Бухгалтерский учет.docx