5.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление

Как говори­лось ранее (формула (5.15)), постоянная распространения равна:

=+j= (5.18)

Для линии постоянного тока =0 и потому

. (5.19)

Для линии синусоидального тока без потерь (R₀=G₀=0)

. (5.20)

Запишем формулы для приближенного определения ив линии с малыми потерями, когда (R₀/L₀)<<1 и (G₀/C₀)<<l. С этой целью перепишем фор­мулу (5.18) следующим образом:

и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда [т. е. воспользуемся соотношением ]. Получим

(5.21)

Из формулы (5.21) следует, что коэффициент затухания и коэффициент фазыравны:

 = ;

 =.

Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока =0 из (5.17) с учетом (5.19) следует, что

Для линии синусоидального тока без потерь (R₀=G₀=0) с учетом (5.20)-

.

Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда

5.5. Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

Как и раньше, через хбудем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней (рис.5.3)

Пусть в начале линии при х= 0 напряжениеи ток. Соста­вим уравнения для определения постоянныхичерези. Из (5.13) и (5.16) следует(х=0):

=+(5.22)

Z_в=-(5.23)

Для определения из (5.22) вычтем (5.23):

=0,5(-Z_в)=A₁e^jo ; (5.24)

=0,5(+Z_в)=A₂e^jп, (5.25)

где A₁ —модуль,₀ — аргумент комплекса; А₂ —модуль,_п—аргу­мент комплекса.

Подставим (5.24) и (5.25) в (5.13):

Введем гиперболические функции. Известно, что

ch x = 0,5(e^x+e^-x), sh x = 0,5(e^x-e^-x).

Поэтому 0,5(e^x+e^-x)= ch x;0,5(e^x-e^-x)= sh x.

Следовательно, . (5.26)

Аналогичные преобразования, примененные к (5.16), дают

. (5.27)

5.6. Падающие и отраженные волны в линии

Подставим в фор­мулу (5.13) A₂e^jпвместо , A₁e^jовместо и, заме­нив на+j, получим

. (5.28)

Аналогичную операцию проделаем с формулой (5.16), причем в дополнение заменив Z_в наz_вe^jв[см. формулу (5.17)]:

(5.29)

Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям времени умножим правые части формул (5.28) и (5.29) на и от произведений возьмем мнимую часть:

; (5.30)

. (5.31)

Падающей электромагнитной волной(рис.5.4) называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в на­шем случае в направлении уве­личения координатых.Элек­тромагнитное состояние опре­деляется совокупностью электрического и магнитного полей. Падающая волна, распростра­няясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, за­ключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной(рис.5.5) называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения координатых.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения [второе слагаемое формулы (5.30)] и падающей волной тока [второе слагаемое формулы (5.31)]. Отраженная электромагнит­ная волна образована отраженной волной напряжения [первое сла­гаемое формулы (5.30)] и отраженной волной тока [первое слагаемое формулы (5.31)].

Знак минус у отраженной волны то­ка свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отражен­ная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет с со­бой падающая волна.

Каждая компонента падающей вол­ны (волна напряжения или волна то­ка) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается по мере роста х (множитель е^-x), а аргумент является функ­цией времени и координаты х.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны за­тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (множитель е^x. Физически эффект умень-шения амплитуд падающей и отражен­ной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием по­терь в линии.

На рис. 5.4 изображены графики распределения падающей волны напря­жения вдоль линии (в функции x) для двух смежных моментов времени:t₁иt₂>t₁.Падающая волна распростра­няется слева направо. При построении принятоt₁+_п=0.

На рис. 5.5 представлены графики распределения отраженной волны напряжения для двух смежных моментов времени: t₁иt₂>t₁Отраженная волна распространяется справа налево.

Коэффициент отражения.

Отношение напряжения отра­женной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отраженияпо напряжению и обоз­начаютК_и.В соответствии с формулой (5.13)

При согласованной нагрузке К_и=0,при холостом ходеК_и=1. Коэффициент отражения по токуК_i=- К_и

Фазовая скорость.

Фазовой скоростью_ф называют ско­рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость—это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соответствии с фор­мулой (5.28)

t+_п- x = const.

Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства:

(t+_п-x)=0, или—=0

Отсюда

_ф=dx/dt= /. (5.32)

Длина волны.

Под длиной волны понимают расстояние, на которое распространяется волна за один периодT=1/f

=T= /f.(5.33)