5.2. Составление дифферен­циальных уравнений для однород­ной линии с распределенными па­раметрами

Пусть R₀ —продольное активное сопротивление единицы длины линии (рис.5.2);L₀— индуктивность единицы длины линии;С₀—емкость единицы длины линии;G₀—по­перечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводи­мостьG₀не является обратной величиной продольного сопротивле­нияR₀.

Разобьем линию (рис.5.2) на участки длинойdx, гдеx—рас­стояние, отсчитываемое от начала линии. На длинеdxактивное сопротивление равноR₀dx,индуктивность —L₀dx,проводимость утечки —G₀dxи емкость —С₀dx.Обозначим ток в начале рассматри­ваемого участка линии черезiи напряжение между проводами линии в начале участкаи.И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линиихи времениt. Поэтому в даль­нейшем в уравнениях использованы частные производные отииi по времениtи расстояниюх.

Если для некоторого момента времени tток в начале рассматри­ваемого участка равенi, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен:, гдескорость изменения тока в направлении х. Ско­рость, умноженная на расстояниеdx,является приращением тока на пути dx.

Аналогично, если напряжение в начале участка и,то в конце участка для того же момента времени напряжение равноu+dx.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx,обойдя его по часовой стрелке:

-u+R₀dxi+L₀dx +u+dx=0.

После упрощения и деления уравнения на dxполучим:

-=L₀+R₀i(5.1)

По первому закону Кирхгофа,

i=di+i+dx (5.2)

Ток di(рис. 5.2) равен сумме токов, проходящих через проводи­мостьG₀dxи емкостьС₀dx:

di=(u+dx)G₀dx+C₀dx(u+dx).

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получаем

di=uG₀dx+C₀dx. (5.3)

Подставим (5.3) в (5.2), упростим и поделим уравнение на dx:

-=G₀u+C₀. (5.4)

Уравнения (5.1) и (5.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

5.3. Решение уравнений линии с распределенными парамет­рами при установившемся синусоидальном режиме

Пусть напря­жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся комплексно символическим методом.

Изображение тока где .

Изображение напряжения:

где .

Комплексы и являются функциями расстояниях,но не яв­ляются функциями времени. Множителье^jwtесть функция времениt, но не зависит отх.

Представление изображений тока и напряжения в виде произве­дения двух множителей, из которых один является функцией только х, адругой - функцией толькоt,дает возможность перейти от уравне­ний в частных производных [уравнений (5.1) и (5.4)] к уравнениям в простых производных. Действительно,

, (5.5)

, (5.6)

Подставим уравнения (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и (5.4), сократив в получен­ных уравнениях множитель е^jt:

(5.7)

(5.8)

где

Z₀=R₀+jL₀; (5.9)

Y₀=G₀+jC₀; (5.10)

Решим систему уравнений (5.7) и (5.8) относительно .С этой целью продифференцируем (5.7) пох:

(5.11)

В уравнении (5.11) вместо подставим правую часть уравнения (5.8):

(5.12)

Уравнение (5.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение:

.(5.13)

Комплексные числа ив решении (5.13) есть постоянные интегрирования, ко­торые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линии.

Комплексное число

, (5.14)

принято называть постоянной распространения. Формулу (5.14) можно предста­вить в виде:

=+j, (5.15)

где —коэффициент затухания[характеризует затухание падающей волны на единицу длины линии, скажем, на 1 м (км)];—коэффи­циент фазы;он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии [на 1 м (км)]:

[]=[]=[]=1/км.

Ток найдем из уравнения (5.7):

(5.16)

Отношение в решении (5.16),имеющее размерность со­противления с учетом обозначений (5.9) и (5.10), обозначаютZ_ви называютволновым сопротивлением:

(5.17)

где z_b—модуль;_в—аргумент волнового сопротивленияZ_в.

Следовательно решение (5.16), с учетом (5.17)