- •3. Операторный метод расчета переходных процессов
- •3.1. Введение к операторному методу
- •3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов
- •3.3. Включение rL-цепи на постоянное напряжение
- •3.4. Теорема разложения
- •3.5.Фиктивные операторные источники начальных условий
- •3.6. Закон Ома в операторной форме
- •3.7. Первый закон Кирхгофа в операторной форме
- •3.8. Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •3.9. Расчет переходных процессов операторным методом
- •3.11. Разложение сложной дроби на простые составляющие
- •3.12. Дополнения к операторному методу
- •3.14. Вопросы для самопроверки
3. Операторный метод расчета переходных процессов
3.1. Введение к операторному методу
Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот— функции переменной р отвечает определенная функция времени.
Переход от функции времени к функции от р осуществляют с помощью прямого преобразования Лапласа.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.
Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.
В операторном методе расчет делится на две части:
1. Осуществляют переход в область изображений (оригинал переводят в изображение не как в фотографии, а преобразование). С помощью преобразования Лапласа дифференциальные уравнения переходных процессов удается заменить алгебраическими;
2. Находят решения в операторной области и осуществляют возврат в область оригинала. В общем случае обратное преобразование осуществляют с помощью интеграла Бромвича. В электрических задачах этим интегралом не пользуются, а применяют теоремуразложенияилиинтеграл сверток.
Здесь:
Оригинал– это любая функция или параметр цепи в области времени.
Изображение – это преобразованный оригинал с помощью интеграла Лапласа.
р- оператор Лапласа (в общем случае может быть комплексным числом).
Интеграл прямого преобразования Лапласа имеет вид:
.
Если есть оригинал f(t), от которого можно взять интеграл Лапласа, то ему соответствует изображениеF(p).
3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов
Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины
Пусть оригинал является постоянной величиной f(t)=U0 =const. Вычислим интеграл Лапласа:.
Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор «р».
Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.
Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона: C(p)=pF(p).
Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.
Изображение показательной функции
Если , то изображение:
Таким образом: .
Отсюда вытекает ряд важных следствий. Положив =j, получим
Функции еtсоответствует изображение:
Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например, ЭДС , тоE(p), при, равно:
.
Изображение по Лапласу комплексной величины
Пусть, тогда, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения. Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:.
Изображение по Лапласу производной функции времени
Известно, что функции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной, если известно, что значение функцииf (t)приt=0равно f(0).
Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:
Интегрирование произведем по частям. Обозначив и,
Имеем:
Следовательно, .
Но a
Таким образом,
Изображение напряжения на индуктивности
Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктивности:
По формуле определим изображение производной тока:
где t (0)- значение тока i при t=0.
Следовательно, . Если i(0)=0, то
Изображение второй производной
Следовательно, изображение второй производной тока i.
Изображение интеграла функции времени
Требуется найти изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).
Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:
и возьмем интеграл по частям:
Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функцияf(t)если и растет с увеличениемt, то все же медленнее, чем растет функцияеat, гдеа– действительная частьр. При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль. Следовательно, еслито
Изображение напряжения на конденсаторе
Напряжение на конденсаторе часто записывают в виде, где не
указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись: где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекавшим через конденсатор в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжениемкоторое на нем было при t=0. В соответствии с формулой Лапласа изображениеравно, а изображение постояннойесть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом:
Оригинал. |
Изображение
|
f(t) |
F(p) |
i(t) |
I(p) |
U0
|
|
|
pF(р) – f(0) |
|
|
LpI(p) – Li(0_ ) | |
|
|
|
|
Emsin(wt) |
|
|
|
Сведем все преобразования в таблицу.