Часть вторая. Линейные электрические цепи переменного тока

1. Основные параметры электрических цепей переменного тока

2.1. Индук­тивность. Явление электромагнитной индукции Явление самоиндукции Правило Ленца Энергия, плотность энергии

=Li

Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью. Индуктивность как элемент схемы замещения реальной цепи дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в магнитном поле катушки

Индуктивность L зависит от геометрических размеров контура(катушки) и от числа витков , но не зависит от величины тока протекающего по катушке, если сердечник катушки неферромагнит­ный или ферромагнитный, но его магнитная проницаемость постоянна, Индуктивность измеряется в

всека=омсек=генри(гн) Таким образом,

(2.1)

Следовательно, э. д. с. самоиндукции в катушке пропорциональна скорости изменения тока в этой катушке. Она равна нулю, если ток не изменяется.

Положительное направление э. д. с. совпадает и с положительным направлением тока. |

Знак минус в формуле (2.7) свидетельствует о том, что мгновенное значение э. д. с. отрицательно

если приращение тока положительно

Для катушек с ферромагнитным сердечником потокосцепление является нелинейной функцией тока  (i) и э. д. с. самоиндукции по правилам дифференцирования сложной функции i

(2.2)

Производную называют дифференциальной индуктивностью и обозначают .Она является функцией токаi

Значение определяется произведением, где —  соответствуют взятому моменту времени t.

2.2. Взаим­ная индуктивность. Явление наведения э. д. с. в каком-либо контуре при изменении тока в другом кон­туре называют взаимоиндукцией.

Коэффициенты пропорциональности обозначают буквой М с соот­ветствующими индексами. Так,

₂₁=М₂₁ i₂; (2.15)

₁₂=М₁₂ i₁; (2.16)

Коэффициенты М₂₁ и М₁₂ численно равны друг другу (доказа­тельство см. в § 2.6):

М₂₁=М₁₂=М. (2.17)

Коэффициент М называют взаимной индуктивностью контуров (катушек). Он имеет ту же размерность, что и индуктивность L. Полная э. д. с., индуктируемая в первом контуре,

(2.18)

во втором контуре

(2.19)

Э. д. с. взаимоиндукции

; (2.20)

(2.21)

В выражениях (2.20) и (2.21) знак минус соответствует согласному направлению потоков самоиндукции и взаимоиндукции, а знак плюс— встречному. При таком обозначении взаимная индуктивность М всегда положительна.

Как элемент схемы замещения реальной цепи М позволяет при расчете учесть явление взаимоиндукции и явление накопления энергии в магнитном поле магнитно-связанных катушек.

В литературе встречается и другой способ записи э. д. с. взаимоиндукции:

; (2.20`)

; (2.21`)

Считают, что коэффициент М может быть либо положительным (при согласном направлении потоков самоиндукции и взаимоиндукции), либо отрицательным (при встречном направлении потоков).

Взаимную индуктивность М определяют как отношение ₂₁/i₂ или ₁₂/i₁. Ни от ₂₁, ни от i₂ (и соответственно от ₁₂ и i₁) порознь она не зависит, если сердечники катушек не ферромагнитные или сердечники выполнены из ферромагнитного материала с постоянной . Взаимная индуктивность М зависит только от взаимного расположения кату­шек, числа их витков, геометрических размеров катушек и от постоян­ной для данного сердечника .

При любой форме и любом расположении магнитно-связанных катушек взаимную индуктивность М между ними без затруднений можно определить опытным путем на переменном токе (см. § 3.38). Расчет же М при сложном распределении магнитного поля в силу трудностей математического характера производят обычно для кату­шек простейших геометрических форм.

Если магнитно-связанные катушки имеют ферромагнитные сердечники с непостоянной , например обмотки намотаны на одном сердечнике,  которого является функцией результирующей напряженности магнит­ного поля, то М — непостоянная величина.

2.6. Принцип взаимности взаимной индукции. Проделаем два опыта. В первом из них изменяющийся во времени ток i₁ (t) про­пустим по первой катушке (контуру) -и измерим (подсчитаем) э. д. с. взаимоиндукции, возникающую во второй катушке (контуре), магнитно-связанной с первой: '

Во втором опыте тот же ток (той же амплитуды и изменяющийся по тому же закону во времени, что и в первом опыте), назовем его г'2, пропустим по второй катушке и измерим (подсчитаем) э. д. с.„. взаимоиндукции, возникающую в первой катушке:

По условию опыта,i₁(t)=i₂(t) поэтому e_1M =e_2M , т. е. э. д. с. взаимоиндукции в описанных опытах одинаковы. Это положение называют принципом взаимности взаимной индукции .

Так как M₁₂ = М₂₁ =М, то при определении М следует выбирать наиболее простой и удобный путь из двух возможных.

Пусть, например, через равномерно нанесенную на сердечник обмотку про­ходит произвольно расположенный внутри сердечника провод Рис. 2.7 (рис. 2.7). Этот провод является частью одновиткового контура, пол-

ностью не показанного на рисунке. Требуется найти аналитическое выраже­ние для М. между обмоткой сердечника и одновитковым контуром. Это можно сделать двумя пу­тями.

Первый путь: мысленно пропустим по перво­му контуру (обмотке ₁ сердечника) ток i₁, най­дем потокосцепление второго (одновиткового) кон­тура ₁₂ с потоком первого и определим М=₁₂/ i_1,

Второй путь: мысленно пропустим по второму (одновитковому) Рис. 2.7 контуру (обмотке ₂=1) ток i₂, найдем потокосцепление первого контура ₂₁ с по­током второго и определим М=₂₁/ i₂.

В расчетном отношении эти пути не эквива­лентны. Первый путь много проще второго. Объ­ясняется это тем, что поток, создаваемый пер­вым контуром, весь замыкается внутри сердечника и полностью сцепляется с одновитковым контуром. Следовательно, потокосцепле­ние ₁₂ можно легко найти. Определить же поток, создаваемый одновитковым контуром и сцепляющийся со вторым контуром, если провод расположен внутри сердечника произвольно, затруднительно.

Поток сердечника

Потокосцепление ₁₂=₂Ф₁=Ф₁(₂=1).

Взаимная индуктивность между обмоткой ₁ и одновитковым контуром