Новая папка / Глава 2 (Интеграл Дюамеля)

38

2. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

2.1. Переходная функция

Метод интеграла Дюамеля позволяет рассчитать любой переходный процесс, начиная от коммутации и заканчивая любым произвольным воздействием.

Пусть к источнику непрерывно изменяющегося напряжения любой формы , например, (рис. 2.1) подключается произвольный пассивный или активный линейный двухполюсник (рис. 2.2).

Требуется найти ток или напряжение в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа в момент времени t=0₊ .

Задачу решим в два приема. Сначала найдем искомую величину при включении двухполюсника (рис. 2.3) на единичное напряжение (т.е. когда включаемое напряжение постоянно и по величине равно единице). Пусть искомые величины ток и напряжение. Эти ток и напряжение могут быть выражены так:

; .

Функция , численно равная току, называется переходной проводимостью.

Функция , численно равная напряжению, называется переходной функцией напряжения.

Обе эти функции называются переходными функциями или переходными характеристиками.

Например, для схемы r, L , (рис. 2.4), переходная проводимость и переходная функция равны:

Тогда, так как , получаем:

; ; .

Для цепи r, С, (рис. 2.5), переходная проводимость и переходная функция:

; ; .

Тогда получаем:

; ; .

Таким образом, переходную проводимость и переходную функцию напряжения любой схемы пассивного двухполюсника можно найти любым из известных методов (например, классическим методом). Поэтому в дальнейших расчетах и будем считать известными.

Для пассивного двухполюсника при токи и напряжения в любой ветви равны нулю. Поэтому при следует считать любую переходную проводимость и любую переходную функцию напряжения .

2.2. Вывод формулы интеграла Дюамеля

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток.

Непрерывно изменяющееся напряжение (рис.2.6) заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками . Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при ₊ на постоянное напряжение . А затем, как включение элементарных постоянных напряжений , смещенных друг от друга на интервалы времени и имеющих знак плюс или минус, смотря по тому, рассматривается возрастающая или падающая ветвь заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряжения равна . Составляющая тока в момент от элементарного скачка напряжения , включаемого в момент времени , (рис. 2.6), равна . Здесь аргументом переходной проводимости служит время , поскольку элементарный скачок напряжения начинает действовать на время позднее включения рубильника или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом начала действия этого скачка и моментом времени равен .

Элементарный скачок напряжения может быть выражен следующим образом, (рис. 2.6):

Поэтому искомая составляющая тока:

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента , для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения , получаем:

Можно было представить все остальные "ступени", но из - за громоздкости (рис.2.7) этого не делается, к тому же все остальные действия достаточно понятны.

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения называется формулой или интегралом Дюамеля. Это выражение часто называют первой формой записи формулы Дюамеля.

Этой формулой пользуются тогда, когда воздействие описывается одной или несколькими формулами.

Если же воздействие не поддаётся аналитическому описанию, то вместо интеграла пользуются суммой Дюамеля:

Кроме этих формул благодаря различным математическим действиям можно получить ряд других форм записи интеграла Дюамеля.

Так, например можно привести пример четвертой формы записи формулы Дюамеля:

Ту или иную форму записи выбирают, руководствуясь удобством и простотой вычислений.

2.3. Пример расчета переходного процесса методом интеграла Дюамеля

Приведем пример расчета переходного процесса методом интеграла Дюамеля.

Пусть дана схема электрической цепи (рис. 2.8) и задана форма напряжения (рис. 2.9).

Требуется найти функцию тока .

Воспользуемся выше изложенным материалом и запишем переходную проводимость и переходную функцию для данной цепи:

, тогда: ; ;

.

Найдем функцию напряжения: , тогда:

; ; ; .

Теперь есть все данные для нахождения тока, для этого воспользуемся известной формулой Дюамеля в интервале времени (0 – t₁):

В интервале времени (t₁ - ):

Можно упростить полученные выражения, но это в цели поставленной задачи не входит.

Представим функцию тока на временном графике, (рис. 2.10):

При подстановке числовых данных возможны некоторые отклонения от представленного графика, но общая форма не изменится.

2.4. Практическое приложение к расчету переходных процессов методом

интеграла Дюамеля

2.1^* Для цепи, изображённой на рис. 2.11. записать в общем виде переходные функции по току и напряжению.

Решение: Для расчёта переходных функций цепи по току и напряжению необходимо рассчитать переходный процесс, имеющий место после подключения длинной цепи к источнику постоянного напряжения U₀=1 B;

Используем операторный метод. Входное сопротивление цепи будет равно:

Ток в неразветвлённой части цепи:

Переходим к оригиналу по теореме разложения:

Корни уравнения N(p)=0:

Производная

Подстановка корней в М(р) и

Ток в неразветвлённой части цепи численно будет равен переходной функции по току (переходной проводимости цепи):

Переходную функцию по напряжению можно найти, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа:

З десь мы учли, что U₀=1 B, а выходное напряжение равно напряжению конденсатора.

2.2. Получить выражение переходных функций по напряжению для схем, изображённых на рис. 2. 12.

2 . 3^* На входе цепи r, L (рис.2.12, г) напряжение имеет форму, изображённую на рис. 2. 13. Рассчитать ток в r-элементе.

Решение: Для цепи r, L переходная проводимость записывается в виде: . Расчёт тока ведём по интервалам. На первом из них:, u(0)=U₀; u(t)=U₀; u′(t)=0.

Поэтому из общей формулы интеграла Дюамеля: остаётся только первое слагаемое, включающее начальный скачок напряжения: .

На втором интервале: T ≤ t ≤ ∞, u(T)= -2U₀; u(t)= -U₀e^-αt; u′(t)=αU₀e^-αt; u′(x)=αU₀e^-αt

Интеграл Дюамеля, с учётом тока на предыдущем интервале запишется в виде:

2 .4. Рассчитать напряжение на выходе четырёхполюсника, (рис. 2.14), если U₀=20B; r=100 Ом;С=100 мкФ; Т=2^.10^-2 с.

2 .5. Определить выходное напряжение четырёхполюсника (рис 2.15), если U₀=20B; L=0,1 Гн; r=20 Ом; Т=0,01 с.

2.6.Цепь задачи 2.5 включается на последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.16). Получить в общем виде выражение для u₂(t)

2 .7. Четырёхполюсник задачи 2.5 подключается к источнику прямоугольного напряжения (рис.2.17). Получить в общем виде выражение для выходного напряжения четырёхполюсника -u₂(t).

2.8. Найти выходное напряжение u₂(t) и построить его график для цепи (рис.2.18,а) если L = 0,1 Гн; C = 200 мкФ; r = 50 Ом; U_m = 100 В; T = 0,02с, а входное напряжение представлено на (рис.2.18,б).

2.5. Вопросы для самопроверки

1. Что такое переходная функция? Как она используется в расчетах.

2. Что лежит в основе метода интеграла Дюамеля?

3. Сделать вывод формулы интеграла Дюамеля.

4. Метод наложения в расчетах переходных процессов.

5. Как определить переходную функцию для электрической цепи? Что для этого нужно сделать?

6. Как рассчитать переходный процесс методом интеграла Дюамеля? Опишите порядок расчета.

7. Как связаны между собой классический метод и метод интеграла Дюамеля?

8. Что такое воздействие и как оно представляется в методе интеграла Дюамеля?

9. Что такое отклик цепи на воздействие?

10. Как рассчитать переходный процесс, если формула воздействия не поддается интегрированию?