- •6. Синтез электрических цепей
- •6.1. Характеристика синтеза
- •6.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников
- •6.3. Реализация двухполюсников путем последовательного выделения npocтейших составляющих (метод Фостера).
- •6.4. Метод Бруне
- •6.5. Практическое приложение к разделу
- •6.6. Вопросы для самопроверки
6. Синтез электрических цепей
6.1. Характеристика синтеза
Синтезом линейной электрической цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов R, L, С по известным операторным выражениям этой цепи или по временным характеристикам при воздействии на вход импульса определенной формы. Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры. Поэтому, после того как получено несколько решений, выбирают из них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончательном выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устройства.
Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотехнике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих устройств.
Синтез развивался главным образом по двум направлениям:
1)по известным операторным функциям [по Z(p) для двухполюсников и по передаточной функции для четырехполюсников];
2) по временным характеристикам, т. е. по известному временному отклику системы при воздействии импульса обычно прямоугольной формы.
Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг друга. В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на первом из упомянутых направлений.
Методика синтеза цепей по заданным временным функциям здесь не рассматривается.
В теории автоматического регулирования распространен синтез, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и полупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем, производят, используя спектральный метод.
6.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников
Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р,
(6.1)
то должны выполняться следующие пять условий:
1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3);
2) наивысшая степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей степени полинома знаменателя (т) более чем на 1. То же и в отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;
3) если условиться значения р, при которых Z(p)=0, называть нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p)=, называть полюсамиZ(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р;
4) нули, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;
5) если вместо р в выражение Z(p) подставить , то при любом значениидолжно бытьRe Z()0.
Поясним эти требования. Известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида и обязательно должны затухать во времени;pk— корни уравнения Z(p)==0. Но затухать свободные процессы (слагаемые вида ) могут только в том случае, если действительная частьpk, отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения Z(р)=0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р.
Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника Y(р)=Z(p)/k, где k-некоторый коэффициент, имеющий размерность Ом2, то входное сопротивление дуального двухполюсника равно k/Z(р). Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены в левой части плоскости р.
Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения N(р)=0, то соответствующие им слагаемые в решении берутся в виде . Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня , то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может. Все коэффициенты a и b в числителе и знаменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица, среди корней уравнения Z(p)=0 появились бы корни с положительной действительной частью.
Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цепной) схемы по типу рис. 6.1 в которой продольные сопротивления названыZ1, Z3, Z5, ... и поперечные проводимости -Y2, Y4, Y6, ..., могут быть представлены непрерывной дробью.
Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к зажимам тп. Она равна .Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимамтп c учетом ветви с проводимостью Y4 равна . Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам
Далее определим входное сопротивление всей схемы, равное:
(6.2)
Таким образом, возникает задача о переходе от (6.1) к (6.2), т. е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов лестничной схемы ( Z1, Z3, … ; Y2, Y4, Y6, … ) по выражению (6.1). С этой целью:
1) располагаем полиномы N(р) и М(р) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;
2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1;
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к расположению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допустима.
При делении полинома N на полином М будет получено частное Z1 остаток O1/M, т. е.
При делении O1/M, будет получено частное Y2 и остаток .
Но . Поэтому .
На основании изложенного процесс последовательного определения элементов можно представить следующей схемой:
N | M
MZ1| Z1
M | O1
O1Y2 | Y2
O1 | O2
O2Z3 | Z3
O2 | O3
O3Y4| Y4
O3| O4
Z5O4| Z5
……………………………………
……………………………………
На рис. 6.1 изображена соответствующая схема.
В заключение отметим, что могут встретиться такие сопротивления Z(p), которые невозможно представить лестничной схемой. В этом случае применяют второй способ реализации (метод Фостера). [Второй способ применяют не только в случае невозможности представления Z(p) лестничной схемой.]
Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Бруне.