7. Классический метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

Динамические процессы перехода (во времени) от одного установившегося режима к другому в линейных электрических цепях называют переходными. Переходные процессы бывают двух видов:

1. коммутация (включение; отключение; переключение) - мгновенный переход цепи из одного состояния в другое;

2. произвольный переход.

В классическом методе анализа рассматриваются переходные процессы первого вида - коммутация в линейных электрических цепях. Переходный процесс в цепи возникает, например, при замыкании ключа (рис. 1.1). При анализе переходных процессов классическим методом рассматривается процесс послекоммутационного периода времени по дифференциальным уравнениям, составленным на основе уравнений Кирхгофа. Затем все уравнения сводятся к одному дифференциальному уравнению, которое и решают.

1.1. Включение rL-цепи на постоянное напряжение

Пусть дана цепь (рис.1.1), которая подключается к источнику постоянного напряжения. Параметры цепы заданы: r, L, ключработает на замыкание.

Определить: i (t) = ?

Решение:

В последний момент времени перед замыканием ключа ток в цепи отсутствовал

i(0-) = 0,

где t = 0-.

При t = 0₊ ключ замыкается. Здесь t = 0₊ - первый момент времени после совершения события (замыкания ключа).

Ключ замкнулся, образовался контур. Составим для него уравнение второго закона Кирхгофа:

.

Это уравнение аналогично математическому дифференциальному уравнению первого порядка (ax’ + bx = y).

Решение имеет вид:

,

где - принужденная составляющая решения, А – постоянная интегрирования, которая может быть найдена из граничных условий.

По характеристическому уравнению: Lp + r = 0 определим корень: .

Обратная величина модуля корня называется постоянной переходного процесса (τ):

,

а время переходного процесса равно: t_п.п = (4…5) τ.

В момент времени определим постоянную интегрирования А. Подставим в решение для тока этот момент:

.

Отсюда А равно:

.

Окончательное решение для тока:

.

Напряжение на индуктивности можно определить по формуле:

.

Мгновенная мощность источника:

.

Мгновенная мощность нагрузки (r):

.

Мгновенная мощность нагрузки (L):

.

Для расчета переходных процессов в цепях классическим методом необходимо знать законы коммутации. В электрических цепях этих законов два.

1.2. Законы коммутации Закон коммутации на индуктивности

Закон коммутации на индуктивности можно сформулировать так: при коммутации ток индуктивного элемента (рис 1.2) не может изменяться скачком. Закон коммутации можно записать следующим образом:

.

Покажем, что при коммутации ток индуктивного элемента не может изменяться скачком на, основе закона сохранения энергии.

Учитывая, что и- одна и та же величина поопределению закона, запишем выражения энергии:

в момент (0_-): ,

в момент 0₊: .

За несуществующий промежуток времени энергия не может измениться, тогда

,

отсюда следует:

.

Докажем закон коммутации для любой (корректной и некорректной) коммутации (рис. 1.3). Некорректной называют коммутацию, сопровождающуюся дугой. Для некорректной коммутации формула не может быть использована.

При размыкании ключа появится дуга между размыкающимися контактами (рис. 1.3),которая будет гореть до тех пор, пока токи не сравняются. При таких коммутациях должно выполняться условие равенства суммарных потокосцеплений. Получим это выражение.

Потокосцепление связано с током:, тогда энергия равна:

.

Эта энергия не может измениться, то есть

.

Отсюда

.

Эта формула и представляет собой обобщенный закон коммутации.

В случае коммутации (рис. 1.3) имеем:

или

.

Временная диаграмма для рассматриваемого примера приведена на рис. 1.4.