Варианты заданий

2nn(n+1) 2n/n 2nn2 2n/(n(n+1)) 3nsin(2n) 3ncos(2n) 4nn(n+1) 4n/n 4nn2 4n/(n(n+1))

6n/n 3nsin(4n) 3ncos(4n) 7nn(n+1) 7n/n 7nn2 7n/(n(n+1)) sin(7n) cos(7n) 5nn(n+1)

5n/n 6nn2 5nn2 5n/(n(n+1)) 5nsin(5n) 5ncos(5n) 3nn(n+1) 3n/n 3nn2 3n/(n(n+1))

Пример решения задачи 4

Задание. Найти производящую функцию последовательностиa_n= 10ⁿ/(n(n+1).

Решение. Производящая функция будет равна сумме ряда.

Поскольку , то

.

С помощью преобразования ,

получаем

Вычислим =

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Задача 5. Решить рекуррентное уравнение.

Варианты заданий

1. un+2= 3un+1–2un , u0=1, u1=2	2. un+2= 3un+1–2un , u0=2, u1=1
3. un+2= 4un+1–3un , u0=1, u1=2	4. un+2= 4un+1–3un , u0=2, u1=1
5. un+2= –3un+1+4un , u0=1, u1=2	6. un+2= –3un+1+4un , u0=2, u1=1
7. un+2= –un+1+2un , u0=1, u1=2	8. un+2= –un+1+2un , u0=2, u1=1
9. un+2= –2un+1+3un , u0=1, u1=2	10. un+2= –2un+1+3un ,u0=2, u1=1
11. un+2= 5un+1–6un , u0=1, u1=2	12. un+2= 5un+1–6un , u0=2, u1=1
13. un+2= un+1+2un , u0=1, u1=2	14. un+2= un+1+2un , u0=2, u1=1
15. un+2= 4un+1 , u0=1, u1=2	16. un+2= 4un+1 , u0=2, u1=1
17. un+2= –un+1+6un , u0=1, u1=2	18. un+2= –un+1+6un , u0=2, u1=1
19. un+2= 2un+1+3un , u0=1, u1=2	20. un+2= 2un+1+3un , u0=2, u1=1
21. un+2= un+1+6un , u0=1, u1=2	22. un+2= un+1+6un , u0=2, u1=1
23. un+2= 3un+1+4un , u0=1, u1=2	24. un+2= 3un+1+4un , u0=2, u1=1
25. un+2= –3un+1–2un , u0=1, u1=2	26. un+2= –3un+1–2un ,u0=2, u1=1
27. un+2= –4un+1–3un , u0=1, u1=2	28. un+2=–4un+1–3un ,u0=2, u1=1
29. un+2= –5un+1–6un , u0=1, u1=2	30. un+2= –5un+1–6un ,u0=2, u1=1

Пример решения задачи 5

Задание. Решить рекуррентное уравнение

u_n+2=u_n+1+12u_n ,u₀=1,u₁=3.

Решение. Вычислим корни характеристического уравнения²––12=0 с помощью формулы нахождения корней квадратного уравнения₁₂=. Они будут равны₁ = 4 ,₂= –3. Поскольку корни различны и вещественны, то решение рекуррентного уравнения ищется в видеu_n =A4ⁿ+B(–3)ⁿ. Подставляя известные значенияu₀иu₁, приходим к системе линейных уравнений

Решая эту систему, находим A=,B=. Следовательно,.

В частности, при n=2 будем иметь. Поскольку

u₂=u₁+12u₀ = 3+121, то приn=2 полученная формула верна.

Ответ: .

Задача 6. (Коды Прюфера). Построить дерево по его коду Прюфера и сделать проверку.