1. Множества и отношения

Эта глава посвящена операциям над множествами, перечислительным задачам, отношениям и их приложениям.

Множеством называется совокупность некоторых объектовx, которая рассматривается как отдельный объектA. Объектыxназываются его элементами. ЗаписьxAбудет означать в дальнейшем, чтоx– элемент множестваA.

Ниже мы будем применять следующие стандартные обозначения:

• N– множество неотрицательных целых чисел0, 1, 2, 3, …,

• Z– множество целых чисел,

• Q– множество рациональных чисел, гдеm– целое число, аn– положительное целое число,

• R– множество вещественных чисел,

• C– множество комплексных чисел.

Для знакомства с отношениями и их приложениями рекомендуем книгу [1]. Лучше всего связь отношений с базами данных описана в [8].

1.1. Способы задания множеств

Пусть AиB– множества. МножествоAназываетсяподмножествоммножестваB, если каждый элементxмножестваAявляется элементом множестваB. В этом случае применяется обозначениеAB.

Множество можно задавать перечислением его элементов, или как подмножество элементов, обладающих некоторым свойством, или как образ некоторого множества относительно отображения:

1. M = { a₁ , a₂ , ∙∙∙ , a_k  }, нет равных элементов a_i и a_j ,при i ≠ j.

2. M = { x A: P(x) },где P(x) – некоторое свойство, выполнение которого зависит от элемента x множества A.

3. M = { f (x): x A },где A – множество.

Свойство P(x) может быть получено из простейших формул вида u =v иu vс помощью логических операций: & (и),  (или), ~ (не),  (следует) и кванторов (для всех),  (существует). Например, свойство P(x) , выраженное формулой

P(x) = (x  Z) & (x>0) & (y)((y  Z)& (x=y+y)),

имеет место, если и только если x – положительное целое число, кратное 2. В этом случае M = { x Z: P(x) } будет множеством, состоящим из чисел 2, 4, 6, 8, … .

1.2. Операции и их свойства

Будем предполагать, что рассматриваемые далее множества A,B,C, …,A_i,I, над которыми выполняются операции, являются подмножествами некоторого множестваU, которое называетсяуниверсумом. Ниже через{x: P(x)}будет обозначать множество элементовxU, удовлетворяющих условиюP(x).

Определим операции с помощью следующих формул:

• AB={x: xA & xB} называется пересечением множеств A и B,

• AB={x: xA  xB} – объединением,

• A\B={x: xA & ~(xB)} – теоретико-множественной разностью множеств,

• AB= A\B  B\A – симметрической разностью,

• =U\A – дополнениеммножества A,

• A_i ={x :(iI)xA_i} -- объединением семейства множеств,

• пересечение семейства множеств A_i ={x:(iI) xA_i} ,

Через |A| будем обозначать количество элементов конечного множества.

Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:

1. AB=BA, AB= BA, (коммутативность).

2. A( BC) = (A B)C, A(BC)=(AB)C, (ассоциативность).

3. A(AB) = A(AB)= A (закон поглощения).

4. A(BC) = (AB)(AC),

A(BC) = (AB)(AC) (дистрибутивность).

5. , .

6. AA=A, AA=A.

7. AU=U, A=.

8. A=A, AU=A.

9. .

10. ,(законы де Моргана).

Доказательство. Докажем, например, первое из свойств дистрибутивности (равенство 4). Для этой цели нужно доказать, что левая часть равенства содержится в правой, и наоборот. Пусть x A(BC). ТогдаxAиx BC. И значит(xA и x B)или(xA и xC). Следовательноx(AB)(AC).

Эти свойства иллюстрируются с помощью показанных на рис.1.1 диаграмм Эйлера-Венна. Точки прямоугольников соответствуют элементам универсума U. Точки кругов – подмножествамA, B, C. Слева элементы множествBиCзаштрихованы вертикальными линиями. Отсюда область, заштрихованная вертикальными линиями будет соответствовать объединениюBC. Элементы изAзаштрихованы горизонтальными линиями. Следовательно, областьA(BC)будет заштрихована в клетку. Справа областьBзаштрихована косыми линиями, а областьA– горизонтальными. ОбластьABбудет заштрихована косыми и вертикальными. Аналогичное верно для областиAC. Из рис.1.1 видно, что область, показанная слева и заштрихованная горизонтальными и вертикальными линиями равна области, показанной справа, заштрихованной косыми и горизонтальными линиями. Значит, соответствующие множестваA(BC)и(AB)(AC)равны.

B C

A

B C

A

Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна