7 Обработка экспериментальных данных

В инженерной практике часто встречаются задачи обработки данных, полученных экспериментальным путем. Под такой обработкой понимается проведение аппроксимации с целью получения аналитической зависимости, которую можно использовать в последующих расчетах.

Рассмотрим поочередно каждый из видов обработки опытных данных.

7.1 Интерполяция

Интерполяция – это такой вид обработки опытных данных, при котором аппроксимирующая функция должна пройти через все опытные точки. Встроенные функции MathCAD позволяют при интерполяции проводить через опытные точки графики функций разной кривизны.

Линейная интерполяция

При линейной интерполяции аппроксимирующая функция соединяет опытные точки отрезками прямых линий. Для этого используется функция

linterp(x,y,t),

где x – вектор опытных значений аргумента (в увеличивающемся порядке);

y – вектор опытных значений функции;

t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение функции (t может быть и массивом значений).

Кубическая сплайн-интерполяция

В большинстве случаев желательно соединять опытные точки не ломанной линией, а гладкой кривой. Для этого используется сплайн-интерполяция, которая позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой будут непрерывны в каждой точке. Для данной интерполяции используется функция:

interp(vs,x,y,t),

где vs – вектор вторых производных;

x – вектор опытных значений аргумента (в увеличивающемся порядке);

y – вектор опытных значений функции;

t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение функции.

Вектор vs определяется перед использованием функции interp с помощью одной из следующих функций:

а) lspline(x,y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к прямой линии в граничных точках;

б) pspline(x,y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к квадратичной параболе в граничных точках;

в) cspline(x,y) – создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к кубической параболе в граничных точках;

7.2 Регрессия

Функции регрессии создают кривые с минимальным отклонением от имеющегося набора данных. В отличие от интерполяции эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая проходила через опытные точки.

Функции регрессии делятся на два вида:

1) функции, возвращающие коэффициенты аналитической функции и позволяющие записать аппроксимирующую функцию в явном виде;

2) функции, возвращающие численные результаты в виде таблиц или графиков.

Первая группа функций:

а) expfit(x,y,V) – регрессия экспонентой вида ;

б) sinfit(x,y,V) – регрессия синусоидой вида ;

в) pwrfit(x,y,V) – регрессия степенной зависимостью вида ;

г) lgfit(x,y,V) – регрессия логистической функцией вида ;

д) logfit(x,y,V) – регрессия логарифмической функцией вида ;

е) line(x,y) – регрессия прямой линией вида ;

ж) lnfit(x,y) – регрессия логарифмической функцией вида .

В данных функциях x – вектор значений аргумента (в порядке возрастания); y – вектор значений функции; V – вектор начальных приближений коэффициентов; t – значение аргумента, для которого вычисляется функция (может быть вектором).

С помощью указанных функций формируется вектор коэффициентов и найденные значения подставляются в уравнение кривой.

Вторая группа функций:

а) регрессия с использованием одного полинома (реализуется комбинацией функций регрессии и интерполяции):

interp(s,x,y,t),

regress(x,y,n),

где x – вектор значений аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;

y – вектор значений функции того же размера;

s – вектор коэффициентов для построения аппроксимирующего полинома, создаваемый функцией regress;

t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция;

n – степень аппроксимирующего полинома (может быть любой).

б) регрессия с использованием нескольких отрезков полинома (реализуется комбинацией встроенных функций регрессии и интерполяции):

interp(s,x,y,t),

loess(x,y,span),

где x, y, t – см. выше;

s – вектор коэффициентов для построения аппроксимирующего полинома второй степени, создаваемый функцией loess;

span – параметр (>0), определяющий размер отрезков полинома (на практике 0,2<span<2).

В данных видах регрессий искомая функция определяется с помощью функции interp.