6 Решение уравнений

Для решения уравнения можно использовать указанную выше символьную операцию solve. Но есть специальные функции для нахождения корней нелинейных уравнений (полиномов). А если требуется решить систему уравнений, то без этих функций не обойтись.

6.1 Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений необходимо сформировать матрицу коэффициентов при неизвестных, вектор свободных членов и расширенную матрицу, содержащую коэффициенты и свободные члены (при этом число уравнений должно быть равно числу неизвестных).

Перед нахождением корней системы уравнений можно убедиться существуют ли решение. Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы, то система совместна и имеет решение. Ранг матрицы можно определить с помощью функции rank(M).

Для нахождения неизвестных используется встроенная функция lsolve(A,B), где А – расширенная матрица, В – вектор свободных членов.

6.2 Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейного уравнения заключается в нахождении множества корней этого уравнения. Для решения используется функция root(f(x),x), где f(x) – функция, равная нулю, а x – начальное значение аргумента. Аргумент x может быть задан и как дискретная переменная, тогда поиск корней будет производиться в указанном диапазоне и в качестве ответа будет получен вектор значений корней. Стоит отметить, что при этом корни в полученном векторе могут повторяться.

Для нахождения корней полинома, то есть выражения вида y(x)=∑(a_i∙xⁱ), используется функция polyroots(K). Переменная K является вектором коэффициентов при аргументе. Формирование вектора рассмотрим на примере.

Пусть задан полином вида y(x)=2+3∙x²-2.5∙x⁴. Если в полиноме отразить аргумент с пропущенными степенями, то получим выражение вида y(x)=2∙x⁰+0∙x¹+3∙x²-0∙x³+2.5∙x⁴. На основании данного выражения и формируется вектор K, который будет содержать элементы (2;0;3;0;2.5).

6.3 Решение систем нелинейных уравнений

Для решения системы нелинейных уравнений используется блокGiven. После записи данной команды необходимо записать исходные уравнения. При этом в качестве знака равенства используется знак логического равно « », который расположен на математической панели Boolean (см. рис. 1). Количество уравнений должно равняться числу неизвестных.

Для нахождения самих корней используются две функции:

1) Find(x₁, x₂,…, x_n) – вычисляет значение одной или нескольких переменных; используется, когда существует точное решение;

2) Minerr(x₁, x₂,…, x_n) – вычисляет значение одной или нескольких переменных; используется, когда существует приблизительное решение с минимальной среднеквадратичной погрешностью.

В рамках блока Given наряду с уравнениями можно задавать ограничения в виде неравенств, если это требуется по условиям задачи.

Для решения уравнений требуется также перед командой Given задать начальные приближения искомых величин.

6.4 Решение дифференциальных уравнений

В MathCAD имеется много встроенных функций для решения дифференциальных уравнений. Все они, кроме функции odesolve, требуют определенной непростой формы записи исходного уравнения. Функция odesolve позволяет записывать уравнение в блоке решения в привычном виде, как обычно записывают уравнение на листе бумаги.

Для решения дифференциальных уравнений выполняется следующая последовательность команд:

1) команда Given;

2) дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений;

3) начальные или граничные условия;

4) функция, с помощью которой находится решение

одного дифференциального уравнения

Odesolve (x,k,n), где x – имя переменной, относительно которой решается уравнение; k – конец интервала интегрирования; n – число шагов интегрирования (необязательный параметр).

системы дифференциальных уравнений

Odesolve (V,x,k,n), где V – вектор имен неизвестных.

Дифференциальные уравнения можно записывать как с использованием оператора дифференцирования, так и со штрихом. Граничные условия следует записывать только со штрихом. Для ввода штриха используется сочетание клавишCtrl+F7. В качестве знака равенства при записи уравнений и условий используется знак логического равно « ».