9.3. Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин. Правила ранжирования варьирующих величин были описаны ранее.

Величина коэффициента линейной корреляции Спирмена также лежит в интервале +1 и -1. Он, как и коэффициент Пирсона, может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

В принципе число ранжируемых признаков (качеств, черт и т. п.) может быть любым, но сам процесс ранжирования большего, чем 20 числа признаков – затруднителен. Возможно, что именно поэтому таблица критических значений рангового коэффициента корреляции рассчитана лишь для сорока ранжируемых признаков (n < 40). В случае использования большего, чем 40 числа ранжируемых признаков, уровень значимости коэффициента корреляции следует находить по таблице для коэффициента корреляции Пирсона.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

, (9.5)

где n – количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);

D – разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;

∑(D²) – сумма квадратов разностей рангов.

Используя ранговый коэффициент корреляции, решим следующую задачу.

Пример 9.2. Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников, и их средняя успеваемость в конце учебного года.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н₀: связь между показателями школьной готовности и итоговыми оценками первоклассников отсутствует.

Н₁: связь между показателями школьной готовности и итоговыми оценками первоклассников присутствует.

Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в таблице 9.2.

Таблица 9.2

№ учащихся п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Ранги показателей школьной готовности	3	5	6	1	4	11	9	2	8	7	10
Ранги среднегодовой успеваемости	2	7	8	3	4	6	11	1	10	5	9
D	1	-2	-2	-2	0	5	-2	1	-2	2	1
D2	1	4	4	4	0	25	4	1	4	4	1

Подставляем полученные данные в формулу (9.5) и производим расчет. Получаем:

.

Для нахождения уровня значимости обращаемся к таблице, в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции (таблица 2 приложения 1.). Подчеркнем, что в этой таблице, как и в таблице для линейной корреляции Пирсона, все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Поэтому еще раз напомним, что знак коэффициента корреляции учитывается только при его интерпретации.

Однако, в отличие от таблицы критических значений пирсоновской корреляции, в таблице нахождение уровней значимости осуществляется по числу n, т. е. по числу испытуемых. В нашем случае n = 11. Для этого числа находим ρ_кр = 0,61 для 0,05 ρ_кр = 0,76 для 0,01. В стандартной форме записи это выглядит следующим образом:

Строим соответствующую «ось значимости».

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью – иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Н₀) гипотезу о сходстве и принять альтернативную (Н₁) о наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Решим еще одну задачу с использованием коэффициента корреляции Спирмена. Эта задача взята из книги «Психологические исследования. Практикум по общей психологии для студентов педагогических вузов» [34]. В книге эта задача рассматривается как тест на самооценку.

Пример 9.3. Определить связь между ранговыми оценками качеств личности, входящими в представление человека о своем «Я реальном» и «Я идеальном».

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н₀: связь между ранговыми оценками качеств личности, входящими в представление человека о своем «Я реальном» и «Я идеальном», отсутствует.

Н₁: связь между ранговыми оценками качеств личности, входящими в представление че­ловека о своем «Я реальном» и «Я идеальном», присутствует.

При решении этой задачи мы взяли только 7 качеств, в то время как в психологических практикумах предлагается ранжировать 20 качеств. Решение подобных задач лучше всего оформлять сразу в виде таблицы. В первом столбце таблицы проранжированы 7 качеств личности по отношению к «Я реальному», в третьем столбце таблицы – по отношению к «Я идеальному». В четвертом столбце таблицы представлены величины разности рангов между «Я реальным» и «Я иде­альным» со знаками. В последнем столбце таблицы 9.3 эти величины возведены в квадрат.

Таблица 9.3

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5
Я реальное	Качества личности	Я идеальное	Di	D2i
7	ответственность	1	6	36
1	общительность	5	-4	16
3	настойчивость	7	-4	16
2	энергичность	6	-4	16
5	жизнерадостность	4	1	1
4	терпеливость	3	1	1
6	решительность	2	4	16
Сумма			0	102

Сумма D_i должна быть равна нулю. Это показатель правиль­ности подсчета разностей.

Производим подсчет коэффициента корреляции по формуле (9.5):

.

Обращаемся к таблице для критических значений коэффициентов ранговой корреляции (таблица 2 приложения 1). Для n = 7 находим r_кр = 0,78 для Р < 0,05 и 0,94 для Р < 0,01. Представим это в стандартной форме записи:

Строим соответствующую «ось значимости».

Полученная величина рангового коэффициента корреляции Спирмена попала в зону неопределенности. В данном случае, при столь малом числе анализируемых качеств, на 5% уровне значимости следует принять гипотезу Н₁, и отклонить гипотезу Н_о о сходстве. Учитывая знак коэффициента корреляции – отрицательный, можно утверждать, что у испытуемого достаточно низкая самооценка, поскольку большей величине «Я реального» соответствует меньшая величина «Я идеального».